2022-2023学年湖南省益阳市大荣中学高一数学文期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省益阳市大荣中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了得到函数y=4cos2x的图象，只需将函数y=4cos(2x+)的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得y=4cos[2（x﹣）+]=4cos2x的图象，故选：D．2.已知向量，，则的最大值、最小值分别是（

）A.

B.

C.16,0

D.4,0参考答案：D3.已知直线ax+y+a+1=0，不论a取何值，该直线恒过的定点是（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）参考答案：A【考点】恒过定点的直线．【分析】由直线ax+y+a+1=0变形为a（x+1）+y+1=0，令，解得即可．【解答】解：由直线ax+y+a+1=0变形为a（x+1）+y+1=0，令，解得x=﹣1，y=﹣1，∴该直线过定点（﹣1，1），故选：A．4.已知圆截直线所得弦的长度为,则实数a的值为(

)A.－2 B.0 C.2 D.6参考答案：B【分析】先将圆化为标准式，写出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由垂径定理列方程解出即可.【详解】解：将圆化为标准式为，得圆心为，半径圆心到直线的距离，又弦长由垂径定理得，即所以故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交弦长，属于基础题.5.函数的零点所在的一个区间是A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知两个等差数列，的前项和分别为，，若对任意的正整数，都有，则等于(

)A.1 B. C. D.参考答案：B【分析】利用等差数列的性质将化为同底的，再化简，将分子分母配凑成前n项和的形式，再利用题干条件，计算。【详解】∵等差数列，的前项和分别为，，对任意的正整数，都有，∴．故选B.【点睛】本题考查等差数列的性质的应用，属于中档题。7.已知函数y=，若f（a）=10，则a的值是A．3或–3 B．–3或5 C．–3 D．3或–3或5参考答案：B8.已知幂函数的图象过（4，2）点，则（

）（A）

（B）2

（C）4

（D）参考答案：A由题意可设,又函数图象过定点（4，2）,,,从而可知，则.故选A

9.命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x＜﹣1或x≥1 B．若﹣1≤x＜1，则x2＜1C．若x≤﹣1或x＞1，则x2＞1 D．若x＜﹣1或x≥1，则x2≥1参考答案：D【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1≤x＜1”的逆否命题是：若x＜﹣1或x≥1，则x2≥1．故选：D．【点评】本题考查四种命题的否定关系，是基础题．10.某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，做出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水（）A．10吨 B．13吨 C．11吨 D．9吨参考答案： D【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据条件建立函数解析式，然后利用函数解析式进行求解即可．【解答】解：设用水x吨时，对应的收费为f（x），则由题意知，当0≤x≤8，∴f（x）=2x，此时最多缴费16元．当x＞8，超出部分为x﹣8，∴f（x）=2×8+4（x﹣8）=4x﹣16．即f（x）=．∵20＞16，∴该职工这个月实际用水x＞8，∴由f（x）=4x﹣16=20，即4x=36，解得x=9（吨），故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是

．参考答案：12.已知扇形的面积为4cm2,该扇形圆心角的弧度数是,则扇形的周长为

cm．参考答案：1013.方程的解为

．参考答案：x=－2令，则解得：或即，∴

14.已知，则的取值范围是

。参考答案：15.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1＞0，S4＝S8，则当Sn取最大值时，n的值为____________．参考答案：616.已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，若．，则______；______．参考答案：

－12

【分析】根据等差数列和项性质求.根据首项与公差求.【详解】因为等差数列中仍成等差数列，所以，因为,所以，【点睛】本题考查等差数列求和公式以及性质，考查基本分析求解能力，属中档题.17.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最大值为4，则a的值为____________.参考答案：－1或1【分析】对a分类讨论，利用函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a的值.【详解】解：由题意，当时，，即，；

当时，，即，；

综上知，的值为1或?1.

故答案为：1或?1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品x万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.（Ⅰ）写出该企业的年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润；（Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元；（Ⅲ）5年.【分析】（Ⅰ）根据，分段求得利润，将其写成分段函数即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所求，求分段函数的最值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求，解简单不等式即可求得.【详解】（Ⅰ）当时，年利润；时，.所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；时，，当且仅当万件时，乙获得的利润最大为24万元.综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元.（Ⅲ）由题意，设最早年后还清所有贷款，则有，解得，所以企业最早5年后还清所有贷款.【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，属综合基础题.19.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，在圆上．（1）求圆M的方程；（2）过点D(3,1)的直线l交圆M于E，F两点．①若弦长EF=8，求直线l的方程；②分别过点E，F作圆M的切线，交于点P，判断点P在何种图形上运动，并说明理由.参考答案：解：（1）设圆的方程为：，由题意可得解得，，，故圆的方程为．（2）由（1）得圆的标准方程为．①当直线的斜率不存在时，的方程是，符合题意；当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，即，由，可得圆心到的距离，故，解得，故的方程是，所以，的方程是或．②设，则切线长，故以为圆心，为半径的圆的方程为，化简得圆的方程为：，①又因为的方程为，②②①化简得直线的方程为，将代入得：，故点在直线上运动．

20.定义在数集U内的函数y=f（x），若对任意x1，x2∈U都有|f（x1）﹣f（x2）|＜1，则称函数y=f（x）为U上的storm函数．（Ⅰ）判断下列函数是否为[﹣1，1]内storm函数，并说明理由：①y=2x﹣1+1，②；（Ⅱ）若函数在x∈[﹣1，1]上为storm函数，求b的取值范围．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】（Ⅰ）逐一判定函数是否满足：对任意x1，x2∈U都有|f（x1）﹣f（x2）|＜1即可．（Ⅱ）依题意，若f（x）为storm函数，有f（x）max﹣f（x）min＜1，x∈[﹣1，1]，分类求出的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）①y=2x﹣1+1是[﹣1，1]内storm函数，理由：y=2x﹣1+1在[﹣1，1]上单调增，且，∵，∴满足?x1，x2∈U，|f（x1）﹣f（x2）|＜1；②是[﹣1，1]内storm函数，理由：在[﹣1，1]上，且，∵，∴满足?x1，x2∈U，|f（x1）﹣f（x2）|＜1；（Ⅱ）依题意，若f（x）为storm函数，有f（x）max﹣f（x）min＜1，x∈[﹣1，1]，的对称轴为x=b．1°若b＜﹣1，，∴，无解；2°若﹣1≤b＜0，，∴；3°若0≤b≤1，，∴；4°若b＞1，，∴，无解．综上，b的取值范围为．21.函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③．（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；（2）若f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．（2）利用函数的单调性将不等式转化为4x+a?2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指数不等式的性质求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：令x=，y=3得f（1）=[f（）]3，∵．∴所以f（1）＞1．令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]y，即f（x）=[f（1）]x，为底数大于1的指数函数，所以函数f（x）在R上单调递增．（2）f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，对任意x∈R，有f（x）＞0，故f（0）=1，f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a?2x+1﹣a2+2）≥f（0），由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a?2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立令2x=t，t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；ii）得．综上可知．22.已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x．（Ⅰ