工程图学基础第6讲-直线与平面-平面间相对位置

2.5直线与平面、平面与平面的相对位置2.5.12.5.2相交问题（重影点法）2.5.3垂直问题（特殊情况）2.5.4综合问题分析NEXTHOME2.5.1平行问题1直线与平面平行2平面与平面平行LASTNEXTHOME1直线与平面平行

若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可断定直线与平面不平行。PBDCALASTNEXTHOME

当平面为某一投影面垂直面时，只要其有积聚性的投影与直线的同面投影平行，则直线一定平行于该平面。例1过已知点K，作一水平线KM平行于已知平面△ABC。m

d

mdkk

b

a

abc

cXO

分析：△ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定的，因此过K点作平行于△ABC的水平线也是唯一的。作图步骤先在△ABC内任作水平线AD

再过点K作KM∥AD即km∥ad，k

m

∥a

d′，则直线KM为一水平线且平行于已知平面△ABC。LASTNEXTHOME例2过点K作一铅垂面P(用迹线和几何元素分别表示)，使之平行于直线AB。XOa′bab′k′kPVPXPH

过k作PH∥ab；过PX作PV⊥OX轴，则P平面为所求。

由于铅垂面的H投影为一直线，若作铅垂面平行于直线AB，则PH必平行于ab。LASTNEXTHOME2两平面平行

若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两相交直线，则这两个平面平行。ACBDFEPQLASTNEXTHOME两迹线平面平行

两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。VXOHPHQHPXPVQVXOPVPHPXQVQHQXLASTNEXTHOMEef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO

当两平面为同一投影面的垂直面时，若其在该投影面上的积聚性投影平行，则这两平面平行。LASTNEXTHOMEf

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

结论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行。LASTNEXTHOME例4已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXOLASTNEXTHOME2.5.2相交问题1积聚性法2辅助平面法（不要求）LASTNEXTHOME交点与交线的性质

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEFLASTNEXTHOME直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。PBKA直线与平面相交LASTNEXTHOMEMBCAFKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。平面与平面相交LASTNEXTHOME1积聚性法

当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在直线或平面上取点的方法求出另一投影。VHPHPACacNMkbBKLASTNEXTHOME1)投影面倾斜线与特殊位置平面相交b

ba

acc

m

mnn

k

kXOVHPHPACacNMkbBK

当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。LASTNEXTHOME直线可见性的判别b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够直接判别直线的可见性----观察法，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上k

m

为可见。XOVHPHPACacNMkbBKLASTNEXTHOME2)投影面垂直线与投影面倾斜面相交XOaa(b)b

c

d

cefdf

kk

分析：直线AB是铅垂线，H投影有积聚性，故交点的H投影k必和a（b）重合。又因交点K是△CDE上的点，因此可用求面上取点的方法，求出K点的V面投影k′。e

可见性判别----重影点法

点Ⅰ位于AB上在前。点Ⅱ位于平面上在后；故k

1

为可见。1

（2

）21LASTNEXTHOME3)投影面倾斜面与特殊位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。b

bacfdee

a

d

f

lkl

XOVHEdXOefclaLBkKCFDAc

LASTNEXTHOMEk

平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XOLASTNEXTHOME平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XOLASTNEXTHOME直观法即可判断4)两个垂直于同一投影面的平面相交XOa

c

b

d

e

f

abcdef1

(2

)

两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面垂直线。两正垂面△ABC与△DEF相交，交线ⅠⅡ为正垂线。a′b′c′与d′e′f′的交点1′(2′)即为交线的正面投影，由此在ac上求得2，在df上求得1，12为交线的水平投影。

平面水平投影的重叠部分，其可见性利用重影点进行判断。(3)43

4

12LASTNEXTHOME2.5.3垂直问题1特殊情况的垂直问题2一般情况的垂直问题（不要求）LASTNEXTHOME1特殊情况的垂直问题1)直线与投影面垂直面垂直

当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平面有积聚性的同面投影垂直。LASTNEXTHOME2)平面与投影面垂直面垂直

左图投影面倾斜面△ABC与正垂面△EFG垂直。在△ABC内与正垂面△EFG垂直的直线AD一定是一条正平线，且a′d′⊥e′f′g′。右图两铅垂面△ABC与EFGH垂直，其水平投影abc⊥ef(g)(h)。LASTNEXTHOME例6求点D到△ABC的距离。

求空间点到某平面的距离，可通过空间点向该平面作垂线，再求出所作垂线与该平面的交点(即垂足)，最后用直角三角法求出距离的实长。f

e

fem

mn

n所求距离作图步骤

(1)在△ABC平面上先作正平线CE和水平线AF。(2)过点D作△ABC的垂线DI。(3)过DI作铅垂面(辅助平面)，用PH表示，求出DI与△ABC的交点K(K点为垂足)。(4)用直角三角形法求出距离DK的实长。i

iPHkc

a

b

bd

XaOcdk

LASTNEXTHOME例7过点D作平面垂直于直线AB。

作图步骤

(1)过D点作水平线CD垂直于直线AB。(2)过D点作正平线ED垂直于直线AB。由两相交直线ED、CD所确定的平面垂直于直线AB。

直线垂直于平面，直线的水平投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面的正平线的正面投影。LASTNEXTHOMEg

he

ded

h

kk

c

a

b

abcgXO例8过直线KG作平面与已知平面△ABC垂直。LASTNEXTHOMEg

h

a

chac

kk

b

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fd

d结论：两平面不垂直。XO例9

试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。LASTNEXTHOME本章小结1.平行问题（1）熟悉直线、平面平行，平面与平面平行的几何条件；

（2）熟练掌握直线、平面平行，平面与平面平行