2021届跳出题海之高中数学必做100题73椭圆中的基本问题（解析版）

2021届跳出题海之高中数学必做100题

第73题辅圆中的基本问题

题源探究•黄金母题

如图，圆。的半径为广，A是圆。内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线/和半径OP

相交于点Q,当点尸在圆上运动时，点。的轨迹是什么？为什么？

【解析】连接QA,由于线段AP的垂直平分线/和半径OP【试题来源】人人教版A版选修2-1P49习

题2.1A组T7.

相交于点Q,则贝4QH+|Qq=|QH+|Qq=r,

［母题评析1定义法是求轨迹的一种方法,

由于A为圆内一点，贝川。4|＜八根据椭圆定义，点。的轨迹

本题动点Q满足到两个定点距离之和是一

是以。、A为焦点的椭圆.

个常数（大于两定点距离），符合椭圆定义,

可以利用定义法求出动点Q的轨迹.同理,

符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如

此.利用定义不仅可以求轨迹，也可以解

决很多相关问题，如求曲线方程、求离心

率等，因此在解决圆锥曲线问题时要时刻

牢记“勿忘定义”

【思路方法】根据题意找出动点是否符合

圆锥曲线的定义，如圆的定义，椭圆、双

曲线、抛物线的定义，考虑问题注意运用

线段的垂直平分线性质，两圆内切、外切

的条件等.

考场精彩•真题回放

【2020年高考全国m卷理数】已知椭圆C:工+工=1（0＜相＜5）的离心率为巫，A,B分别为C的左、

25m24

右顶点.

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点。在直线x=6上，且13Pl=|3QI,BP1BQ,求A4PQ的面积.

[命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、

【解析】（1）由题设可得叵五=史，得〃/=乌，

标准方程及其简单几何性质等.

5416

【考试方向】高考对这部分的考查主要集

22

工+*_]中在以下几个方面：（1）根据椭圆的定义

所以C的方程为三石'一.

求椭圆的标准方程（选择、填空，解答题

16

第一问，常与椭圆性质、其它圆锥曲线和

直线等综合考察）；（2）椭圆性质的初步

（2）设P（Xp,%）,Q（6,%）,根据对称性可设%＞0,由

运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）

题意知力＞0,求椭圆中距离、周长或者面积等；（4）求

直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答

1/U、题第二问）；（5）确定椭圆中的弦长、式

由已知可得8（5,0）,直线3尸的方程为y=----（X-5）,

为子的定值问题，确定与椭圆有关的曲线经

所以|8Q|=Ji7需，过的定点问题（解答题第二问）：（6）求

椭圆中的弦长（或其它量）的最值或者范

围（解答题第二问）.

因为18Pl=|8Q|,所以丹=1,将%=1代入。的方程，

解得％=3或-3.【学科素养】数学运算

【难点中心】1.利用定义解题，是数学常

由直线8P的方程得=2或8.

见题，灵活应用定义，一方面考查对定义

所以点P,Q的坐标分别为的理解，另一方面体现在灵活应用的“活”

字上，利用定义解题的题型很多，涉及求

6（3,1）,。（6,2）山（一3,1）,。2（6,8）.

离心率，求轨迹，求焦三角形的周长、面

积等.

I|=J16,直线PtQ}的方程为y=,点A(-5,0)到

直线［Qi的距离为巫，故△A4Q的面积为2.解决椭圆的离心率的求值及范围问题，

2其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或

L回X布=2.不等式，再根据a,"c的关系消掉匕得到

222

a,c的关系式，建立关于a,"c的方程或

710

1吕21=同，直线6Q的方程为丁=工8+/，点A到不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何

性质、点的坐标的范围等.

直线HQ,的距离为《圆，故△AEQ,的面积为

263.涉及直线与椭圆的位置关系的问题，只

要联立直线与椭圆的方程，借助根与系数

、叵回上

关系，找准题设条件中突显的或隐含的等

2262

量关系，把这种关系“翻译”出来，有时

不一定要把结果及时求出来，可能需要整

综上，△APQ的面积为2.

2体代换到后面的计算中去，从而减少计算

量.等于“中点弦问题”，可以利用“点差

法”处理.

三.理论基础•解题原理

考点一椭圆的定义

椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点尸I、尸2的距离的和等于常数(大于|尸』2。•的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这

两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

(2)代数式形式：集合P={M||MFJ+|MFJ=2a}|耳月|=2c.

①若a>c,则集合尸为椭圆；

②若。=c,则集合户为线段;

③若“<c,则集合尸为空集.

考点二椭圆的标准方程

L.椭圆的标准方程:

（1）焦点在x轴，^-+p-=l（a>/?>0）；

22

（2）焦点在y轴，5+三=1仅>。>0）.

a~b~

2.满足条件：2a>2c,a2=h2+c2,a>0,b>Q,o0

考点三椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

条件2a>2c,a2=b2+c2,a>0,。>0,c>0

y

y

'FX

图形4争

%

2222

标准方程/+.=l(a”>0)

范围卜\<b,\y\<a

对称性曲线关于轴及原点对称

顶点长轴顶点（士a,0）,短轴顶点（0,土»长轴顶点（0,±a），轴顶点（功，0）

焦点也,0）（0,土c）

焦距|耳用=Q,c(c2=a2-b2)

离心率e=—e（0,l）,其中。=丁/一。2

2b2

通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为一

a

四.题型攻略•深度挖掘

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、

双曲线为载体，考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识.

椭圆问题借助定义户N+户周=加，结合试题所给其它条件解题，特别是在焦三角形中，经常利用

三角形的边角关系（正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式）解题，注意归用+10闾‘忙用忖用

之间的联系，灵活应用定义解题.

椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方

程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题.

考向1楠圆的定义与焦点三角形

22

设P是椭圆£+（=1上一点，耳，骂是椭圆的两个焦点，PFtPF2=O,【温馨提醒】

角形中解决问题，注意

贝必耳尸居面积是.

椭圆定义的运用，还要

【答案】5注意余弦定理、三角形

_____面积公式的运用。

【解析】由椭圆方程可知。=5,。=衣仔=2逐，即归用+归闾=2。=10,

忻闾=2c=4君.因为P/Pg=0,,所以PK_LP写，所以

|巴菊+|至「=忻《「=80,因为

（|尸耳|+|P闻）2=|冏f+归玛『+2归用归局,解得归耳归闾=10.因为

所以M用

PF^PF2,S"=；|PG||P=5-

考向2椭圆的标准方程

求满足下列各条件的椭圆的标准方程:【温馨提醒】1.求椭圆

标准方程的方法

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；

求椭圆的标准方程，除

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为小；了直接根据定义外，常

用待定系数法(先定性，

(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点尸1(遂，1),

后定型，再定参).

小，一小).

当椭圆的焦点位置不明

2222222

【答案】⑴二或工或土+<；

+y2=l(2)+2_=1=1(3),+1确而无法确定其标准方

981912991293

程时，可设方程为

=1.

22-----1------1

【解析】(1错焦点在X轴上，设方程为马+]=l(a>b>0).mn

ab(m>0,〃>0且加7n)

.•・椭圆过点d(3,0),,可以避免讨论和繁杂

的计算，也可以设为

9

—=1,a=3,2tz=3x2b>22

aAx+5y=l(a>0,

.•.E.•・方程为卷B>0且A#B),这种形

式在解题中更简便.

若焦点在F轴上，设方程为、•+三=l(a>b>0).

椭圆的标准方程有两

a，o2.

9种形式，其结构简单，

:椭圆过点4(3,0),.…b=3,,

形式对称且系数的几何

意义明确，在解题时要

又2d=3x2b,「.a=9,.••方程为《+三=1.

819防止遗漏，要深刻理解

22、椭圆中的几何量

综上所述，椭圆方程为惹+y'l或看+5=1.

,a2

a,b,c,e,—

a=2ca=2\/3c等之间的

⑵由已知，有J厂，解得<一

©-c=<3[c=V3关系，并能熟.练地应用.

从而方—才―c-=9,.,.所求椭圆方程为n'十二=1,或7■十三=L

129912

(3)设椭圆方程为mx2+ny2=Um>0,n>0且，”力t).•椭圆经过点尸i,Pi,

6，〃+"=1,①

点尸I,8的坐标适合椭圆方程.则、「.人

1

所求椭圆方程为曰+与

①②两式联立，解得1=1.

考向3椭圆的几何性质（离心率、通径等）

【温馨提醒】椭圆的离

椭圆三+[=。＞。＞的左焦点为若尸关于直线的对

C：1（0）E,6x+y=O心率是椭圆最重要的几

ab

何性质，求椭圆的离心

称点A是椭圆。上的点，则椭圆。的离心率为.

率（或离心率的取值范

【答案】6-1围），常见有两种方法:

【解析】设厂为右焦点，则①求出a,c,代入公式

AF±AF',ZAF'F=AF=43AF',FF'=2AF',因此椭圆C的离心率

3

2cFF'

为五=②只需要根据一个条件

AF+AF'

得到关于a,b,c的齐

次式，结合b2=a2-c2

转化为a,c的齐次式，

然后等式（不等式）两边

分别除以a或a2转化为

关于e的方程（不等

式），解方程（不等式）

即可得e（e的取值范

围）.

考向4直线与椭圆位置关系

[技能方法】宜线与椭

已知椭圆C:5+y2=l，过椭圆c的左焦点厂的直线/交椭圆。于A、B两点,

圆的位置关系的判断应

其中点8是椭圆的上顶点，椭圆。的左顶点为。，直线A。、8。分别与直线由直线方程与椭圆方程

联立，根据方程组解的

加：x=-五一2相交于M、N两点.则又尬

)

S^MND

个数可判断交点的个

数，解决弦长问题，可

利用弦长公式求解。

【解析】由题意易得直线，：y=x+l,fi{T+r=1整理可得3/+4x=0,解得再=0用=-；.

y=x+l3

SBn例网sinZ皿Ijpl\DB\

而沁=f--------------=岛.£，再由三角形相似可得：

S^D沙4PM.sin/J/DNPM网

|AD||DB|w-卜3)%-(-6)

\DM\|DA^|-(-V2)-(-A/2-2)(-A/2)-(-72-2)

,一：-N)o-M)ji5

~(-V2)-(-V2-2)'(-V2)-(-V2-2)-23J

本题选择B选项.

考向五与椭圆有关的最值、取值范围问题

设为，尸分别是椭圆各方的左、右焦点，尸为椭圆上任一点，点的坐标

21M【技能方法】解决与椭

为(6,4),则圆有关的最值、取值范

围问题应注意椭圆定义

1PM+|PFi|的最大值为.

的运用，要注意分析几

何图形的特点。

【解析】如图，|PB|+|P&I=1O,甲矽|=10一|尸尸2|,|PM|+|PB|=10+|PM一甲尸2l，

易知点M在椭圆外，

连接MB并延长交椭圆于P点，此时1PM-1尸尸2|取最大值附尸21，故I尸M

+|「网|的最大值为10+|MF2|

=10+4(6—3)2+42=15.

考向六椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题

22pi【技能方法】解决椭圆

平面直角坐标系xOy中，椭圆C：}•+方=1(。＞〃＞。)的离心率是千，

有关的定值问题，本题

抛物线E：V=2y的焦点尸是。的一个顶点.求点M在定直线上，应

求出点M的坐标，根据

()求椭圆。的方程；

1坐标为常数，即可得到

点在定直线上。

(2)设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线/与。交于不同的

两点A,B,线,段AB的中点为。，直线。。与过P且垂,直于x轴的直线.交

于点

(i)求证：点M在定直线上；

(ii)直线/与丁轴交于点G,记APFG的面积为3，APZW的面积为S2,

q

求令的最大值及取得最大值时点P的坐

$2

标.

【解析由题意知庄f=g，可得：a=»,因为抛物线E的焦点为尸fo4],所以

a2I2

瞅桶耻防程为44产=1

（2）（1）设尸m.yj（m>0）,由/=2何为'=x,触直缆的斜率为a因此直线/脑程为

22nr

即〉=忸-?.设贻,力3（再,力）必及,外），的方程｛,一侬2，得

22八心1

4m2+1)%2—4m3%+m4—1=0,由A>0,得。〈/〃〈也+石且

%+/=信’因此/=詈=潦['将其代入尸皿一手得

2

m,因为国，一,所以直线。。方程为y=-'—x.联立

%

2(4疗+14"?4m

X。

>?—_1—Y11

方程｛,4m,得点M的纵坐标为即点M在定直线丁=一公上

x=m

22

ITTrn~

（II）由（I）知直线/方程为y=令尤=0得>=一所以

(小

G0,--

<2,

-m2

,所以

52(W+1)

7

m（2m2+1）q

S2=^\PM\-\m~^\所以，=

8（W+1）32+1

令"2"，畛=『却T+"当曷，艮"=2时,£

s?

9V2421^1

取得最大值;，此时加=一，满足A>0,所以点P的坐标为一,二，因此

42I24；

S9（A1、

心的最大值为了，此时点P的坐标为一/2,二

S24I24I

五.限时训练*提升素养

1.（2020•黑龙江期中）已知耳，鸟分别是椭圆］+—J=l（a>0）的左、右两焦点，过点居的直线交

aa-9

椭圆于点A,B,若A5耳为等边三角形，则。的值为（）

A.3B.3A/3C.3亚D.卓

【答案】B

【详解】

由题意可得，。2=/-（。2-9）=9,则c=3.

乂为等边三角形，得直线A5与x轴垂直，NA£苞=30。,

则|A6|=2|A£|,

\AFX\+\AF2\=2a,则|4周=,，可得卜闾=国4鸟,

即6=毡。，求得a=36.

3

故选：B

V

X

22

2.(2020•全国高三)已知椭圆C：L+匕=1,M,N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M

43

关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN=()

A.4B.8

C.12D.16

【答案】B

【详解】

设MN的中点为O,椭圆C的左右焦点分别为瓦，F2,

如图，连接DF2,

片是M4的中点，。是MN的中点，

二百。是zWW的中位线；

二|。耳|=g|AN|,同理|Z)6|=g|BN|；

.」A7V|+|3N|=2(|£>EI+|Z)6I),

QO在椭圆上,

•••根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知:

|。耳|+|理卜2。=4,.」AW|+|BN|=8.

故选：B.

22

3.（2020・安徽）如图，已知K，工分别是椭圆C：；+服=1的左、右焦点，过目的直线4与过工的直

线交于点N,线段6N的中点为M，线段耳N的垂直平分线叱与4的交点P（第一象限）在椭圆上,

若。为坐标原点，则\片OM斗\的取值范围为（）

I叫

C.（0,72）D.（0,1）

【答案】D

【详解】

如图所示，点尸在y轴右边,

因为PM为KN的垂直平分线，所以16M=|肱v|.

由中位线定理可得|。加|=曰工^.

设点P(%%)(飞>O,yo>0).

(Xo+c)2+p—》产

I22

=q-+2cx0+cr=a+CXQ<

同理可得归用="为，

所以优M=归耳|-|叫=2/,故=%),

历

因为a=8，C=4及，所以e=注，

2

/-V2

故10M卜出修，所以10M=三七>=%.

2\OF2\408

因为飞正（0,8）,所以，

8

\0M\/、

故标j的取值范围为（0』）

故选：D.

4.（2020•浙江）已知椭圆二+2=1(。>/>>0)，点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切与椭圆的

焦点，与y轴相交于p,Q,若MPQ为正三角形，则椭圆的离心率为（）

1

A.—B.L•----D,昱

2323

【答案】D

【详解】

不妨设M（/,%）在第一象限，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆右焦点，则x0=c,

又M在椭圆上，则%二—，，圆M的半径r=一，

aa

MPQ为正三角形，：.c=®r=^~

22a

V3c2—-\/3iz2+2ac=0>即+2e—=0，解得：e=

3

故选：D.

22

C:5+与=l（a>〃>0）e=—,A.B

5.（2020♦江苏省）已知椭圆a-b-的离心率2分别是椭圆的左、右顶点,

点尸是椭圆上的一点，直线9、PB的倾斜角分别为二、B,满足tana+tan£=l,则直线的斜率为

[答案】或土史

【详解】

1/、/、”2%।%=]

依题意£力=26设P（X°,%）（X°H0），则方+方=1，即/二，化

简得—4yj=XQ-a~.

由于A6是椭圆的左右顶点，所以A（—a,0）,8（a,0）,所以tana+tan/7=一9+―-

Q

与+xQ-a

V2V2

/=--亍ax^-a

，所以〈」或0「

V2V2

%=彳。［%=一彳

及〃Oa

------CL--------

所以当《时,tana

6缶

寸丁4_1—V2,所以直线口的斜率为立±1或匕立

当《时，=—

血正~222

----+a

%=一72

故答案为：变±1或匕2色

22

£+2_]

6.已知椭圆氏2)，点P(2,0，/为椭圆的左焦点，过点尸作椭圆的切线雨、PB,切点分别为A、

x2J/

—+1

B,则ABk面积的范围是.(经过椭圆。上一点(X0,州)的椭圆的切线方程是:

V.2V=|

/〃一)

【答案】仅,忘]

【详解】

解：设点A(X1,y),B(x2,y2),

所以切线抬的方程为当+Xy=1，切线依的方程为笋+%)'=1，

因为点P在切线Q4和切线PB匕

X.+ty.=1

所以《.所以直线AB的方程为x+“=l

X2+ty2=1

所以直线过定点0,0),且定点是椭圆E的右焦点F2,

x+ty=\

联立方程〈X2,,消去X得：(产+2)丁—2)-1=0,

—+y-=1

2-

2t-1

所以芦+%=不，,跖=不，

S"尸=；x|.|x|y-%1=Jx2x&乂+%）2-4X必=J（77X）2-4X7T?=2f;广

乙乙YII乙II乙LI乙

令，产+1=机21，则/=加？一1,mH—22,则12

-mm+—

m

c2>/2#+l2近m2V2/n/--I

则s，=r+W,=村:二武。,.」

m+—

m

故答案为：倒,0]

~5"+"^T=1（。＞8＞0）4Mn\

7.（2020.浙江）已知椭圆矿左右顶点为A—UJ,上顶点为8,该椭圆上一点P与A的

k、=_A

连线的斜率'4,中点为E,记°后的斜率为自3且满足后。E+4匕=。若C、。分别是x轴、＞轴

负半轴上的动点，且四边形A3C。的面积为2,则三角形COD面积的最大值是.

【答案】3-20

【详解】

解：设「（不，,）,A（x2,y2）,Q4中点£（%,%）,

2222

则有名+*=1,号+普=1,

a-b2crb2

两式相减得G+々坐r）+（y+型xf）=0,即一写,

ab玉+工2Mra

b2

则k、,kOE——-'

由A（2,0）为椭圆右顶点，所以。=2,

又勺=—k（）E+4kt=0,得到%E=1,b=\.

设C（T〃0）,。（0,—〃），m>0，〃>0,则由四边形A8CO的面积为2,乂3为上顶点，

则;（/〃+2）（〃+1）=2,B|Jinn+m+2n=2,

由基本不等式得2>mn+2y/2mn•解不等式得J嬴<2-J5，

11