高考物理一轮复习5.3万有引力定律应用二-卫星的变轨和和双星模型-(原卷版+解析)

考点16万有引力定律应用二---卫星的变轨和双星模型新课程标准1．会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。2．知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。3．初步了解相对论时空观。4．关注宇宙起源和演化的研究进展。命题趋势考查的内容多贴近生活实际，万有引力定律在航空航天领域的应用，人造卫星、月球探测、嫦娥系列、北斗系列等。考查考生的情境分析能力，理解和反思质疑能力，提取信息进行物理情境构建的能力，应用基本规律分析、推理和计算的能力。试题情境生活实践类人造地球卫星的比较学习探究类利用“重力加速度法”、“环绕法”卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，考向一卫星的变轨和对接问题考向二天体的“追及相遇”问题考向三双星或多星模型考向四星球稳定自转的临界和黑洞问题卫星的变轨和对接问题一、变轨原理当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。1．卫星轨道的渐变(1)当卫星的速度增加时，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力，月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。(2)当卫星的速度减小时，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r)，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r)，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。3．卫星变轨时一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。【典例1】（2021年天津市普通高中学业水平选择性考试）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火属上首次留下中国人的印迹．天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星．经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（）A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大【答案】D【解析】天问一号探测器在轨道Ⅱ上运行，曲线运动，一定有加速度，不是处于受力平衡状态，选项A错误；由开普勒第三定律可知在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，选项B错误；从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要减速，选项C错误；天问一号探测器在轨道I上运行，动能与引力势能之和保持不变，所以沿轨道Ⅰ向P飞近时引力势能减小，动能最大，速度增大，选项D错误。【典例2】宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是()A．飞船加速直到追上空间站，完成对接B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接【答案】B【解析】飞船在轨道上正常运行时，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r).当飞船直接加速时，所需向心力增大，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速不会追上空间站，C错误．练习1、（2021广东省新高考适应性测试）2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是（）A.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重B.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等C.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等D.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等【答案】D【解析】A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误；BC．嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ上P处的速率大于在轨道Ⅱ运行至P处时速率；加速后势能不变，动能增大，则机械能增大，故BC错误；D．根据得可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确。故选D。练习2、（多选）（2021年湖南省普通高等学校招生适应性考试）7.在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙”）要在环月轨道上实现对接，以使将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是（）A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙B.甲可以通过增大速度来抬高轨道C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大D.返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大【答案】BD【解析】A．在甲抬高轨道之前，两卫星均绕月球做匀速圆周运动，有可得线速度为因，则甲的线速度大于乙的线速度，故A错误；B．低轨卫星甲变为高轨卫星，需要做离心运动，则需要万有引力小于向心力，则需向后喷气增大速度，故B正确；C．在甲抬高轨道的过程中，离月球的距离r逐渐增大，由可知月球对卫星的万有引力逐渐减小，故C错误；D．因地球表面的重力加速度比月球表面的重力加速度大，则由可知月壤样品的重量在地表比在月表要大，故D正确。故选BD。【巧学妙记】航天器变轨问题的三点注意事项航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝eq\r(\f(GM,r))判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。考向二天体的“追及相遇”问题天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：1．角度关系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)2．圈数关系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)【典例3】(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有()A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次【答案】AD【解析】根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<eq\f(π,2)，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可知m＝0,1,2，…6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错，D对．【典例4】(多选)假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，某一时刻恰好处在一颗同步卫星的正下方．已知地球半径为R，同步卫星的离地高度h1＝5.6R，侦察卫星的离地高度h2＝0.65R，则有()A．同步卫星和侦察卫星的线速度之比为2∶1B．同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1C．再经过eq\f(6,7)h两颗卫星距离最远D．再经过eq\f(12,7)h两颗卫星距离最远【答案】BD【解析】同步卫星距地心r1＝R＋h1＝6.6R，侦察卫星距地心r2＝R＋h2＝1.65R，设地球质量为M，两卫星质量分别为m1、m2，根据万有引力提供向心Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，代入卫星到地心的距离可得eq\f(v同步,v侦察)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\f(1,2)，则同步卫星和侦察卫星的线速度之比为1∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，代入卫星到地心的距离可得eq\f(ω同步,ω侦察)＝eq\r(\f(r23,r13))＝eq\f(1,8)，根据T＝eq\f(2π,ω)，得同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1，故B正确；同步卫星T同步＝24h，由T同步∶T侦察＝8∶1，知T侦查＝3h，当两颗卫星相距最远时，两星转过的角度应相差θ1＝π＋2nπ(n＝0,1,2…)，且满足θ1＝(eq\f(2π,T侦察)－eq\f(2π,T同步))t，解得t＝(eq\f(12,7)＋eq\f(24,7)n)h(n＝0,1,2…)，当n＝0时，t＝eq\f(12,7)h，故C错误，D正确．练习3、假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动,地球半径约为6400km,地球同步卫星距地面高为36000km,宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为()A.4次 B.6次 C.7次 D.8次【答案】C【解析】根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。设宇宙飞船的周期为T，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，则eq\f(T2,242)＝(eq\f(6400＋4200,6400＋36000))3，解得T＝3h设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T0))t1＝π，解得t1＝eq\f(12,7)h再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T0))t2＝2π，解得t2＝eq\f(24,7)h由n＝eq\f(24－t1,t2)＝6.5次知，接收站接收信号的次数为7次。练习4、如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为()A.eq\f(T0,2\r(k3)＋1) B.eq\f(T0,\r(k3)－1)C.eq\f(T2,2\r(k3)－1) D.eq\f(T0,\r(k3)＋1)【答案】C【解析】由开普勒第三定律得eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，解得t＝eq\f(T0,2\r(k3)－1).故选C.【巧学妙记】在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．考向三双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).⑤双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2)).⑥双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G).2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)常见的三星模型理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．③三颗星的质量不同，三星系统绕共同圆心在同一平面内做稳定的圆周运动，三颗星的质量不同，其轨道如图所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。(3)常见的四星模型①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．【典例5】（多选）(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【答案】BC【解析】依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，联立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正确；质量之积m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))\s\up12(4),G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。【典例6】.宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体()A．线速度大小关系是vA>vB>vCB．加速度大小关系是aA>aB>aCC．质量大小关系是mA>mB>mCD．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC【答案】C【解析】三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B错误；设等边三角形ABC的边长为L，由题意可知三颗星受到万有引力的合力指向圆心O，以C为研究对象，有Geq\f(mAmC,L2)>eq\f(GmBmC,L2)，得mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确；由于mA>mB>mC，结合万有引力定律，可知A与B之间的引力大于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力，又知A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D错误．练习5、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T【答案】B【解析】设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r，双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r，对质量为M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)，得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L，即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝eq\r(\f(n3,k))T，选项B正确．练习6、(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并且两种系统的运动周期相同，则()A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B．直线三星系统的运动周期T＝4πReq\r(\f(R,5GM))C．三角形三星系统中星体间的距离L＝eq\r(3,\f(12,5))RD．三角形三星系统的线速度大小为eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))【答案】BC【解析】直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有Geq\f(M2,R2)＋Geq\f(M2,2R2)＝Meq\f(4π2,T2)R，解得T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Geq\f(M2,L2)cos30°＝Meq\f(4π2,T2)·eq\f(L,2cos30°)，又由题知两种系统的运动周期相同，即T＝4πReq\r(\f(R,5GM))，联立解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝eq\f(2πR,T)＝eq\f(2π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2cos30°))),T)＝eq\f(\r(3),6)·eq\r(3,\f(12,5))·eq\r(\f(5GM,R))，选项D错误．【巧学妙记】解决双星、多星问题解决双星、多星问题，要抓住四点(1)根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。考向四星球稳定自转的临界和黑洞问题当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是eq\f(GMm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R.【典例7】(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109kg/m3 B．5×1012kg/m3C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3【答案】C【解析】脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq\f(4,3)πr3，整理得密度ρ＝eq\f(3π,GT2)＝eq\f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32)kg/m3≈5.2×1015kg/m3.【典例8】.(多选)[2022·河南省九师联盟模拟(二)]2019年4月10日，数百名科学家发布了人类拍到的首张黑洞照片，如图2所示。理论表明，黑洞质量M和半径R的关系为eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知()A.该黑洞的质量M＝eq\f(v2r,2G) B.该黑洞的质量M＝eq\f(v2r,G)C.该黑洞的半径R＝eq\f(2v2r,c2) D.该黑洞的半径R＝eq\f(v2r,c2)【答案】BC【解析】设黑洞的质量为M，环绕天体的质量为m，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，化简可得黑洞的质量为M＝eq\f(v2r,G)，故B正确，A错误；根据黑洞的质量M和半径R的关系eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，可得黑洞的半径为R＝eq\f(2GM,c2)＝eq\f(2v2r,c2)，故C正确，D错误。练习7、北京时间2019年4月10日晚21点，人类史上首张黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果将大量物质集中于空间一点，其周围会产生奇异的现象，即在质点周围存在一个界面——事件视界面，一旦进入界面，即使光也无法逃脱，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天体周围事件视界面看做球面，球面的半径称为史瓦西半径。已知地球的半径约为6400km，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，光速为3.0×108m/s，假设地球保持质量不变收缩成黑洞，则地球黑洞的史瓦西半径最接近()A．1mmB．1cmC．1mD．1km【答案】B【解析】设地球半径为R，则第一宇宙速度v1＝eq\r(\f(GM,R))；当地球收缩成黑洞时，设半径为R0，根据题意，这时的第二宇宙速度v2′＝eq\r(2)v1′＝eq\r(\f(2GM,R0))≥c，联立可得R0≤eq\f(2veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),c2)R，代入数据得，R0的最大值R0max≈9×10－3m≈1cm，B正确。练习8、2022·苏州调研]一个物体静止在质量均匀的星球表面的“赤道”上。已知引力常量G，星球密度ρ，若由于星球自转使物体对星球表面的压力恰好为零，则该星球自转的角速度为()A.eq\r(\f(4,3)ρGπ) B.eq\r(\f(3π,ρG))C.eq\f(4,3)ρGπ D.eq\f(3π,ρG)【答案】A【解析】星球赤道上的物体，万有引力等于重力与随地球自转向心力的和，即：eq\f(GMm,R2)＝mg＋mω2R，且物体对星球压力N＝mg，若要使N＝0，则ω应加大到满足eq\f(GMm,R2)＝mω2R，得：ω＝eq\r(\f(GM,R3))，又因为M＝ρ·eq\f(4,3)πR3代入ω＝eq\r(\f(GM,R3))得：ω＝eq\r(\f(Gρ4πR3,3R3))＝eq\r(\f(4πGρ,3))，故A选项正确，B、C、D错误。1.(多选)(2022·辽宁省葫芦岛市高三(上)期末)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()A．每颗星做圆周运动的线速度大小为eq\r(\f(Gm,R))B．每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(\f(3Gm,R3))C．每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R3,3Gm))D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关2、(多选)(2022·湖北省名师联盟高三入学调研)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是()A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变3、(2022·四川省绵阳市高三二诊)2020年7月23日，天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射，中国航天开启了走向深空的新旅程．由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊、科学探测和离轨着陆六个阶段，其中的着陆巡视器于2021年5月15日着陆火星，则()A．天问一号发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度B．天问一号在“火星停泊段”运行的周期大于它在“科学探测段”运行的周期C．天问一号从图示“火星捕获段”需经过加速才能运动到“火星停泊段”D．着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆火星过程，机械能守恒4.(2022·辽宁省大连市高三双基测试)2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区。若飞船“天问一号”从地球上发射到与火星会合，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是()A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的加速度小于火星公转的向心加速度C．飞船“天问一号”在无动力飞行飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间5．(2022·江淮十校高三上第二次联考)一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为()A.eq\f(T0,T)B.eq\f(T,T0)C.eq\f(T02,T2)D.eq\f(T2,T02)6.(2022·湖北省部分示范高中教学协作体高三上期末)我国已掌握“高速半弹道跳跃式再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础．如图所示，假设与地球同球心的虚线球面为地球大气层边界，虚线球面外侧没有空气，返回舱从a点无动力滑入大气层，然后经b点从c点“跳出”，再经d点从e点“跃入”实现多次减速，可避免损坏返回舱．d点为轨迹最高点，离地面高h，已知地球质量为M，半径为R，引力常量为G.则返回舱()A．在d点加速度小于eq\f(GM,R＋h2)B．在d点速度等于eq\r(\f(GM,R＋h))C．虚线球面上的c、e两点离地面高度相等，所以vc和ve大小相等D．虚线球面上的a、c两点离地面高度相等，所以va和vc大小相等7．(2022·东营模拟)(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则()A．b星的周期为eq\f(l－Δr,l＋Δr)TB．b星的线速度大小为eq\f(πl－Δr,T)C．a、b两星的轨道半径之比为eq\f(l,l－Δr)D．a、b两星的质量之比为eq\f(l－Δr,l＋Δr)8、(2022·河北衡水中学三月份教学质量监测)我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝eq\f(GMmh,R（R＋h）)，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()A.eq\f(mg月R,R＋h)(h＋2R)B.eq\f(mg月R,R＋h)(h＋eq\r(2)R)C.eq\f(mg月R,R＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(\r(2),2)R))D.eq\f(mg月R,R＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(1,2)R))1..(2022·辽宁大连市第一次模拟)如图所示，已知地球半径为R，甲、乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是()A.卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度B.卫星甲的周期大于卫星乙的周期C.卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度D.在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积2．(多选)(2022·安徽省合肥市高三二模)如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星P、Q组成，P、Q质量分别为M、m(M>m)，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球上A点看过去，双星运动的平面与AO垂直，AO距离恒为L。观测发现质量较大的恒星P做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则()A．恒星Q的角速度为eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B．恒星Q的轨道半径为eq\f(ML·Δθ,2m)C．恒星Q的线速度为eq\f(πML·Δθ,mT)D．两颗恒星的质量m和M满足的关系式为eq\f(m3,m＋M2)＝eq\f(π2L·Δθ3,2GT2)3、(2022·福建省仙游高三上学期第三次质检)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是()A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年C．木星运行的加速度比地球的大D．木星运行的周期比地球的小4、(2022·济南模拟)(多选)如图所示是我国发射的“天问一号”火星探测器的运动轨迹示意图。首先在地面上由长征五号运载火箭将探测器发射升空，然后经过漫长的七个月地火转移飞行，到达近火点时精准“刹车”被火星捕获，成为环绕火星飞行的一颗卫星。以下说法中正确的是()A．长征五号需要把“天问一号”加速到第二宇宙速度B．近火点的“刹车”是为了减小火星对“天问一号”的引力C．从火星停泊轨道向遥感轨道变轨过程，“天问一号”还需要在近火点制动减速D．“天问一号”沿遥感轨道运行时在近火点处的动能最小5、（多选）(2022·陕西省咸阳市高三下5月检测)截至2020年底，中国在轨卫星数量大约400颗，居世界第二位。现有质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动，其中卫星a为遥感卫星“高分三号”，在半径为R的圆轨道上运行，经过时间t，转过的角度为θ，b、c为地球的同步卫星，某时刻卫星a、b恰好相距最近，已知地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则()A．若要卫星c与b实现对接，直接让卫星c加速即可B．卫星a和b下次相距最近还需的时间为t0＝eq\f(2πt,θ－ωt)C．地球质量为M＝eq\f(θ2R3,Gt2)D．卫星a的机械能大于卫星b的机械能6、(2022·安徽省六安市毛坦厂中学高三上月考)“双星系统”由相距较近的星球组成，每个星球的半径均远小于两者之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在彼此的万有引力作用下，绕某一点O做匀速圆周运动。如图所示，某一双星系统中A星球的质量为m1，B星球的质量为m2，它们球心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是()A．B星球的轨道半径为eq\f(m2,m1＋m2)LB．A星球运行的周期为2πLeq\r(\f(L,Gm1＋m2))C．A星球和B星球的线速度大小之比为m1∶m2D．若在O点放一个质点，则它受到两星球的引力之和一定为零7.(2022·安徽省合肥市高三第一次教学质量检测)如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球质量为M，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)()A.eq\f(3,4)mv2＋eq\f(3GMm,4r) B.eq\f(3,4)mv2－eq\f(3GMm,4r)C.eq\f(5,8)mv2＋eq\f(3GMm,4r) D.eq\f(5,8)mv2－eq\f(3GMm,4r)8、(多选)(2022·肇庆模拟)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是()A．两者之间的万有引力变大B．黑洞的角速度变大C．恒星的线速度变大D．黑洞的线速度变大9、(2022吉林一中一模)将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r1＝2.3×1011m，地球的轨道半径为r2＝1.5×1011m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为()A．1年 B．2年C．3年 D．4年10、(2022·辽宁省高三上高考模拟)2020年7月23日，中国火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场发射升空。如图所示，已知地球和火星到太阳的距离分别为R和1.5R，若某火星探测器在地球轨道上的A点被发射出去，进入预定的椭圆轨道，通过椭圆轨道到达远日点B进行变速被火星俘获。下列说法正确的是()A．探测器在椭圆轨道A点的速度等于地球的公转速度B．探测器由A点大约经0.7年才能抵达火星附近的B点C．地球和火星相邻两次相距最近的时间间隔约为2.2年D．探测器在椭圆轨道A点的加速度小于在B点的加速度11、(2022·河南省洛阳市高三下5月第三次统一考试)火星和地球之间的距离成周期性变化，每隔一定时间会为人类探测火星提供一次最佳窗口期。已知火星和地球的公转轨道几乎在同一平面内，公转方向相同，火星的轨道半径约是地球轨道半径的1.5倍，则最佳窗口期大约每隔多长时间会出现一次()A．18个月B．24个月C．26个月D．36个月12、(2022·沈阳模拟)如图所示为人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。已知某黑洞的逃逸速度为v＝eq\r(\f(2GM,R))，其中引力常量为G，M是该黑洞的质量，R是该黑洞的半径。若天文学家观测到与该黑洞相距为r的天体以周期T绕该黑洞做匀速圆周运动，则下列关于该黑洞的说法正确的是()A．该黑洞的质量为eq\f(GT2,4πr3)B．该黑洞的质量为eq\f(4πr3,GT2)C．该黑洞的最大半径为eq\f(4π2r3,c2)D．该黑洞的最大半径为eq\f(8π2r3,c2T2)13、(2022·湖北省宜昌市调研)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图5，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月球表面的重力加速度为g月．以月球表面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝eq\f(mg月Rh,R＋h).若忽略月球的自转，求：(1)“玉兔”在h高度的轨道上的动能；(2)从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功．1.(2021·北京高考)2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面2.8×102km、远火点距离火星表面5.9×105km，则“天问一号”()A．在近火点的加速度比远火点的小B．在近火点的运行速度比远火点的小C．在近火点的机械能比远火点的小D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动2、(2021·浙江6月选考)空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站()A．绕地运行速度约为2.0km/sB．绕地运行速度约为8.0km/sC．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒3、（多选）(2021·福建高考)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU(太阳到地球的距离为1AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出()A．S2与银河系中心致密天体的质量之比B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比C．S2在P点与Q点的速度大小之比D．S2在P点与Q点的加速度大小之比4.(2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则()A．v1＞v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1＞v2，v1＞eq\r(\f(GM,r))C．v1＜v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1＜v2，v1＞eq\r(\f(GM,r))5、（多选）（2021湖北省新高考适应性测试）9.嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图所示为嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中轨道I是月地转移轨道，在P点由轨道I变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是（）

A.在轨道Ⅱ运行时，嫦娥五号在Q点的机械能比在P点的机械能大B.嫦娥五号在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长C.嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等D.嫦娥五号分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点速度大小相等考点16万有引力定律应用二---卫星的变轨和双星模型新课程标准1．会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。2．知道牛顿力学的局限性，体会人类对自然界的探索是不断深入的。3．初步了解相对论时空观。4．关注宇宙起源和演化的研究进展。命题趋势考查的内容多贴近生活实际，万有引力定律在航空航天领域的应用，人造卫星、月球探测、嫦娥系列、北斗系列等。考查考生的情境分析能力，理解和反思质疑能力，提取信息进行物理情境构建的能力，应用基本规律分析、推理和计算的能力。试题情境生活实践类人造地球卫星的比较学习探究类利用“重力加速度法”、“环绕法”卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，考向一卫星的变轨和对接问题考向二天体的“追及相遇”问题考向三双星或多星模型考向四星球稳定自转的临界和黑洞问题卫星的变轨和对接问题一、变轨原理当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。1．卫星轨道的渐变(1)当卫星的速度增加时，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度增加很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时小。例如，由于地球的自转和潮汐力，月球绕地球运动的轨道半径缓慢增大，每年月球远离地球3.8厘米。(2)当卫星的速度减小时，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v。(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时eq\f(GMm,r2)<meq\f(v2,r)，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，eq\f(GMm,r2)>meq\f(v2,r)，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。3．卫星变轨时一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1＜E2＜E3。【典例1】（2021年天津市普通高中学业水平选择性考试）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火属上首次留下中国人的印迹．天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星．经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（）A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大【答案】D【解析】天问一号探测器在轨道Ⅱ上运行，曲线运动，一定有加速度，不是处于受力平衡状态，选项A错误；由开普勒第三定律可知在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，选项B错误；从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要减速，选项C错误；天问一号探测器在轨道I上运行，动能与引力势能之和保持不变，所以沿轨道Ⅰ向P飞近时引力势能减小，动能最大，速度增大，选项D错误。【典例2】宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是()A．飞船加速直到追上空间站，完成对接B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接【答案】B【解析】飞船在轨道上正常运行时，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r).当飞船直接加速时，所需向心力增大，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速不会追上空间站，C错误．练习1、（2021广东省新高考适应性测试）2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是（）A.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重B.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等C.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等D.嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等【答案】D【解析】A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误；BC．嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ上P处的速率大于在轨道Ⅱ运行至P处时速率；加速后势能不变，动能增大，则机械能增大，故BC错误；D．根据得可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确。故选D。练习2、（多选）（2021年湖南省普通高等学校招生适应性考试）7.在“嫦娥五号”任务中，有一个重要环节，轨道器和返回器的组合体（简称“甲”）与上升器（简称“乙”）要在环月轨道上实现对接，以使将月壤样品从上升器转移到返回器中，再由返回器带回地球。对接之前，甲、乙分别在各自的轨道上做匀速圆周运动，且甲的轨道半径比乙小，如图所示，为了实现对接，处在低轨的甲要抬高轨道。下列说法正确的是（）A.在甲抬高轨道之前，甲的线速度小于乙B.甲可以通过增大速度来抬高轨道C.在甲抬高轨道的过程中，月球对甲的万有引力逐渐增大D.返回地球后，月壤样品的重量比在月球表面时大【答案】BD【解析】A．在甲抬高轨道之前，两卫星均绕月球做匀速圆周运动，有可得线速度为因，则甲的线速度大于乙的线速度，故A错误；B．低轨卫星甲变为高轨卫星，需要做离心运动，则需要万有引力小于向心力，则需向后喷气增大速度，故B正确；C．在甲抬高轨道的过程中，离月球的距离r逐渐增大，由可知月球对卫星的万有引力逐渐减小，故C错误；D．因地球表面的重力加速度比月球表面的重力加速度大，则由可知月壤样品的重量在地表比在月表要大，故D正确。故选BD。【巧学妙记】航天器变轨问题的三点注意事项航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝eq\r(\f(GM,r))判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。(3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。考向二天体的“追及相遇”问题天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据eq\f(GMm,r2)＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：1．角度关系ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)2．圈数关系eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1、2、3…)解得t＝eq\f(nT1T2,T2－T1)(n＝1、2、3…)同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝eq\f(2n－1,2)(n＝1、2、3…)【典例3】(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有()A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次【答案】AD【解析】根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A对，B错；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<eq\f(π,2)，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时：eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3…)，可知m＝0,1,2，…6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错，D对．【典例4】(多选)假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，某一时刻恰好处在一颗同步卫星的正下方．已知地球半径为R，同步卫星的离地高度h1＝5.6R，侦察卫星的离地高度h2＝0.65R，则有()A．同步卫星和侦察卫星的线速度之比为2∶1B．同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1C．再经过eq\f(6,7)h两颗卫星距离最远D．再经过eq\f(12,7)h两颗卫星距离最远【答案】BD【解析】同步卫星距地心r1＝R＋h1＝6.6R，侦察卫星距地心r2＝R＋h2＝1.65R，设地球质量为M，两卫星质量分别为m1、m2，根据万有引力提供向心Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，代入卫星到地心的距离可得eq\f(v同步,v侦察)＝eq\r(\f(r2,r1))＝eq\f(1,2)，则同步卫星和侦察卫星的线速度之比为1∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，代入卫星到地心的距离可得eq\f(ω同步,ω侦察)＝eq\r(\f(r23,r13))＝eq\f(1,8)，根据T＝eq\f(2π,ω)，得同步卫星和侦察卫星的周期之比为8∶1，故B正确；同步卫星T同步＝24h，由T同步∶T侦察＝8∶1，知T侦查＝3h，当两颗卫星相距最远时，两星转过的角度应相差θ1＝π＋2nπ(n＝0,1,2…)，且满足θ1＝(eq\f(2π,T侦察)－eq\f(2π,T同步))t，解得t＝(eq\f(12,7)＋eq\f(24,7)n)h(n＝0,1,2…)，当n＝0时，t＝eq\f(12,7)h，故C错误，D正确．练习3、假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动,地球半径约为6400km,地球同步卫星距地面高为36000km,宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为()A.4次 B.6次 C.7次 D.8次【答案】C【解析】根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。设宇宙飞船的周期为T，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，则eq\f(T2,242)＝(eq\f(6400＋4200,6400＋36000))3，解得T＝3h设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T0))t1＝π，解得t1＝eq\f(12,7)h再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有(eq\f(2π,T)－eq\f(2π,T0))t2＝2π，解得t2＝eq\f(24,7)h由n＝eq\f(24－t1,t2)＝6.5次知，接收站接收信号的次数为7次。练习4、如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为()A.eq\f(T0,2\r(k3)＋1) B.eq\f(T0,\r(k3)－1)C.eq\f(T2,2\r(k3)－1) D.eq\f(T0,\r(k3)＋1)【答案】C【解析】由开普勒第三定律得eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝nB－nA＝eq\f(1,2)，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，解得t＝eq\f(T0,2\r(k3)－1).故选C.【巧学妙记】在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻．考向三双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1).⑤双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2)).⑥双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G).2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)常见的三星模型理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．③三颗星的质量不同，三星系统绕共同圆心在同一平面内做稳定的圆周运动，三颗星的质量不同，其轨道如图所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。(3)常见的四星模型①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．【典例5】（多选）(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【答案】BC【解析】依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，联立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正确；质量之积m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))\s\up12(4),G2)·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。【典例6】.宇宙空间有一种由三颗星A、B、C组成的三星体系，它们分别位于等边三角形ABC的三个顶点上，绕一个固定且共同的圆心O做匀速圆周运动，轨道如图中实线所示，其轨道半径rA<rB<rC.忽略其他星体对它们的作用，可知这三颗星体()A．线速度大小关系是vA>vB>vCB．加速度大小关系是aA>aB>aCC．质量大小关系是mA>mB>mCD．所受万有引力合力的大小关系是FA＝FB＝FC【答案】C【解析】三星体系中三颗星的角速度ω相同，轨道半径rA<rB<rC，由v＝rω可知vA<vB<vC，由a＝rω2可知aA<aB<aC，故A、B错误；设等边三角形ABC的边长为L，由题意可知三颗星受到万有引力的合力指向圆心O，以C为研究对象，有Geq\f(mAmC,L2)>eq\f(GmBmC,L2)，得mA>mB，同理可知mB>mC，所以mA>mB>mC，故C正确；由于mA>mB>mC，结合万有引力定律，可知A与B之间的引力大于A与C之间的引力，又大于B与C之间的引力，又知A、B、C受到的两个万有引力之间的夹角都是相等的，根据两个分力的角度一定时，两个力越大，合力越大，可知FA>FB>FC，故D错误．练习5、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))TD.eq\r(\f(n,k))T【答案】B【解析】设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r，双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝m(eq\f(2π,T))2·r，对质量为M的恒星：Geq\f(Mm,L2)＝M(eq\f(2π,T))2(L－r)，得Geq\f(M＋m,L2)＝eq\f(4π2,T2)·L，即T2＝eq\f(4π2L3,GM＋m)；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝