2018年全国卷理科数学真题和答案

一.选择题(共12小题)

1.设z=±L+2i,贝U|z|=()

1+i

A.0B.AC.1D.V2

2

【解答]解：z=±±+2/=lkiMkll+2/=-i+2i=i,

1+i(l-i)(1+i)

贝!l|z|=l.

故选：C.

2.已知集合4=口,2-尤-2>0},贝!]CRA=()

A.[x\-l<x<2]B.{x|-lWxW2}C.{x\x<-1}U{x|x>2}D.{4xWT}U

[x\x^2]

【解答】解：集合&={尤|，-尤-2>0},

可得A={x[x<-1或尤>2},

则：CRA={JC|-1W尤W2}.

故选：B.

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解

该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【解答】解：设建设前经济收入为。，建设后经济收入为2a.

A项，种植收入37%X2a-60%a=14%a>0,

故建设后，种植收入增加，故A项错误.

8项，建设后，其他收入为5%X2a=10%m

建设前，其他收入为4%a,

故10%。+4%。=2.5>2,

故B项正确.

C项，建设后，养殖收入为30%X2a=60%a,

建设前，养殖收入为30%a,

故60%。+30%。=2,

故C项正确.

。项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

(30%+28%)X2a=58%X2。，

经济收入为2a,

故(58%X2a)+2。=58%>50%,

故。项正确.

因为是选择不正确的一项，

故选：A.

4.记品为等差数列｛劭｝的前"项和.若3s3=S2+S4,。1=2,则05=()

A.-12B.-10C.10D.12

【解答】解：为等差数列｛斯｝的前〃项和，3s3=S2+S4,ai=2,

3X2d)=m+m+d+4Qi+.

•,-3X(3aib2

把“1=2,代入得d=-3

.•.Q5=2+4X(-3)=-10.

故选：B.

5.设函数/(x)=/+(6/-1)x1+ax.若/(x)为奇函数，则曲线y=/(x)在点(0,0)

处的切线方程为()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【解答】解：函数/(x)=/+(Q_1)/+以，若/(x)为奇函数，/(-X)=-/(X),

-4+(〃-1)/-ax--(4+(。-1)/+办)=-J-(。一])/一办.

所以：(«-1)X2

可得。=1,所以函数/(x)=x3+x,可得/(x)=3X2+1,

曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线的斜率为：1,

则曲线y=/(无)在点(0,0)处的切线方程为：y=x.

故选：D.

6.在△ABC中，为BC边上的中线，E为AD的中点，则而=()

A.1AB-1ACB.1AB-1ACC.IAB+^ACD.AAB+IAC

44444444

【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为4。的中点，

EB=AB-AE=AB-2AD

2

=AB-^LXA(AB+AC)

22

=O-IAC.

44

故选：A.

7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应

点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的

路径中，最短路径的长度为()

A.B.2旄C.3D.2

【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16,高为：2,

直观图以及侧面展开图如图：

B

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,

最短路径的长度：q22+4：2=2^^

故选：B.

8.设抛物线C：/=公的焦点为凡过点(-2,0)且斜率为2的直线与C交于M,N两

3

点，则前•而=()

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：抛物线C：V=4x的焦点为尸(1,0),过点(-2,0)且斜率为2的直线

3

为：3y=2x+4,

联立直线与抛物线C：y2=4x,消去x可得：/_6y+8=0,

解得yi=2,y2=4,不妨M(1,2),N(4,4),而=(0,2),而=(3,4)•

则筋而=(0,2X3,4)=8.

故选：D.

a丫二。

9.已知函数/(x)=<',g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a

lnx,x>0

的取值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【解答】解：由g(x)=0得/(x)=-x-a,

作出函数/(无)和>=-尤的图象如图：

当直线y=-x-a的截距-aWl,即时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g(x)存在2个零点，

故实数。的取值范围是L1,+8),

故选：C.

10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆

的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.AABC的三边所围成的区

域记为/,黑色部分记为II,其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自I,

II,III的概率分别记为pi,p2,p3,则()

A.pi—p2B.pi=p3C.P2=P3D.pi—p2+p3

【解答】解：如图：设BC=2ri,AB=2n,AC=2n,

ri2=r22+/32,

2

=」X4r2r3=2r2r3,5'n=JLx-rrn-Inn,

22

Sn=AxTTr32+—Xnr22-Sni=-^X-nr32+—Xnr22--Lx-rrrr+2r2r3=2r2r3,

22222

Si=Sn，

・・・尸1=尸2,

故选：A.

2

11.已知双曲线C:2--y2=i,。为坐标原点，尸为c的右焦点，过尸的直线与C的两条

3

渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形，则也见=()

A.3B.3C.2J3D.4

2

【解答】解：双曲线C工1-丫2=1的渐近线方程为：+返渐近线的夹角为:

3-3

60°,不妨设过尸（2,0）的直线为：y=e（x-2）,

f_VI厂

则：y3x解得M（3,XI）,

=

LyVs（x-2）

fv=V3

.y3x解得：N（3,V3）,

Ly=V3（X-2）_________________

则阿=J（3等2+（«可）2=3.

故选：B.

12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方体所

得截面面积的最大值为（）

A.3愿B.2愿c.&我D.返

4342

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面a所

成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a截此正方体所

得截面面积的最大，

此时正六边形的边长返，

2__

a截此正方体所得截面最大值为：6X亭X（多2=乎

故选：A.

二、填空题（4题）

x-2y-2<0

13.若x,y满足约束条件<x-y+l>0，则z=3x+2y的最大值为6

,Ko

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z—3x+2y得y--当+-iz,

22

平移直线y=--|-x+Xz,

由图象知当直线y=-经过点A（2,0）时，直线的截距最大，此时z最大,

最大值为z=3X2=6,

故答案为：6

।1।,1/‘[“1______।>

^4-2J~~3x

14.记S为数列｛斯｝的前〃项和.若S=2劭+1,则56=-63

【解答】解：为数列｛珈｝的前〃项和，S〃=2而+1,①

当〃=1时，〃1=2〃1+1,解得

当〃三2时，Sn-1=2ctn-1+1,（2）,

由（1）一（2）Ri得an=2dn-2dn-1,

・・Cln=2斯-1,

.••｛。,｝是以-1为首项，以2为公比的等比数歹U,

.•.56=7X(1-26)=一63,

1-2

故答案为：-63

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法

共有16种.（用数字填写答案）

【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21c4?=12,2女1男，有C22c3=4

根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，

33

方法二，间接法：C6-C4=20-4=16种，

故答案为：16

16.已知函数/(x)=2sinx+sin2龙，则了(无)的最小值是__为巧_.

—2—

【解答】解：由题意可得T=2ir是/(%)=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑/(x)=2sinx+sin2x在[0,2ir)上的值域，

先来求该函数在[0,2K)上的极值点，

求导数可得/(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2COS2X-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

令，(%)=0可解得cosx=4或cos%=-1,

2

可得此时X=2L,TT或且L；

33

...y=2siru+sin2x的最小值只能在点尤=3~,TT或且L和边界点x=0中取至(],

33

计算可得了()="反,f(互)=o,f(^2L)=--3愿,f(o)=o,

3232

•••函数的最小值为-咨，

2

故答案为：丑叵.

2

三.解答题(共5小题)

17.在平面四边形A8CD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos/AOB；

(2)若OC=2证,求8c.

【解答】解：(1)VZAZ)C=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

由正弦定理得：一绊一=BD,即——2——=

sin/ADBsin/Asin/ADBsin45

.'.sinZADB=2sin450=返，

55

'：AB<BD,：.ZADB<ZA,

cosZADB=J])2=y23,

(2)VZADC=90a,cosZBDC=sinZADB=

5

,:DC=2&,

BC=VBD2+DC2-2XBDXDCXCOSZBDC

18.如图，四边形ABC。为正方形，E,尸分别为A。，BC的中点,以。尸为折痕把△。/C

折起，使点C到达点P的位置，且PFLBF.

(1)证明：平面PE7LL平面A8F£)；

(2)求。尸与平面ABED所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：由题意，点E、尸分别是A。、BC的中点,

贝"皿蒋抄BF=yBO

由于四边形ABC。为正方形，所以顼LL8C.

由于EFCPF=F,贝!I平面PEF.

又因为3Fu平面ABFD,所以：平面平面A8FD

(2)在平面PEP中，过尸作PH_LEE于点H,连接。H,

由于所为面ABC。和面PEF的交线，PHIEF,

则《/_1_面ABFD,故PHLDH.

在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH,

因为£>£〃BF且PF±BF,

所以PFLDE,

又因为△「£>9也尸，

所以/"£>=/尸8=90°,

所以PFLPD,

由于。EnP£)=。，贝!]PF_L平面PDE,

故传一PDE忖PF・S&PDE，

因为BF//DA且班」面PEF,

所以。4_1_面PEF,

所以DELEP.

设正方形边长为2a,则P£)=2a,DE=a

在△2£>£中，PE=V3a，

所以S^PDE岑a2，

故VF-PDE=^-^,

6

又因为为)EF=1a・2a=a2,

所以PH=3VF-PDE二返

a22

所以在△2"£>中，sin/PZ)H=EK=Yl_,

PD4_

即/PCH为。P与平面ABED所成角的正弦值为：叵.

4

为(2,0).

(1)当/与无轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA^ZOMB.

【解答】解：(1)c=V2-l=l，

：.F(1,0),

:/与x轴垂直，

・・X=1,

AA(1.返)，或(1,-返)，

22_

直线AM的方程为y=-尊什&，/=亭・/5，

证明：(2)当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°,

当/与x轴垂直时，0M为AB的垂直平分线，

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为>=%(尤-1),上W0,

A(xi,yi),B(12,>2),则％X2<^2，

直线MA,MB的斜率之和为kMAi为05之和为kMA+kMB=----——+—,

x।-2乂2-2

2kXix-3k(xi+x)+4k

fflyi=kxi-k,y2=立2一女得kMA+kMB=--=--=2-=--2之---，

(X1-2)(X2-2)

2

将>=后(x-1)代入*_+y=1可得(2乒+1)A2-4&+29-2=0,

4k29k2-9

，Xl+%2=——......,XlX2=-=-^———,

2k2+12k2+1

/.2kxix2-3k(xi+尤2)+4%=(4户-4左-12/+8总+4左)=0

2k2+1

从而kMA+kMB—0,

故K4,M3的倾斜角互补，

：./OMA=/OMB,

综上/0MA=N0M2.

20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,

如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根

据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0

<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为了(0),求/(p)的最大值点po.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的以作为p

的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件

不合格品支付25元的赔偿费用.

M)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求

EX；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作

检验？

【解答】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),

218

则/(p)=c|0p(l-p))

f7(p)=c|o[2p(l-p)18-18p气1-p)17]=2C20P(1-p)17(l-10p),

令f(p)=0,得p=0.1,

当pe(0,0.1)时，f'(p)>0,

当pG(0.1,1)时，f(p)<0,

•••/(P)的最大值点po=O.l.

(2)(z)由(1)知p=0.1,

令y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知丫〜2(180,0.1),

20X2+257,即X=40+25K

：.E(X)=E(40+25y)=40+25£(K)=40+25X180X0.1=490.

(为)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，

,:E(X)=490>400,

...应该对余下的产品进行检验.

21.已知函数无)-x+alnx.

x

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)存在两个极值点尤1,我，证明：——-------?—<a-2.

xl-x2

【解答】解：(1)函数的定义域为(0,+8),

函数的导数/(无)=-1+包=-久一及+1,

XxX

设g(x)=/-ax+1,

当〃W0时，g(x)>0恒成立，即/(x)〈。恒成立，此时函数/(x)在(0,+8)

上是减函数，

当4>0时，判别式△=〃2-4,

①当0<〃W2时，△WO,即g(x)20,即/(x)WO恒成立，此时函数/(x)在(0,

+8)上是减函数，

②当〃>2时，x,f(x),f(x)的变化如下表:

X(0,a-J12-4(a-Va2-4aTa?-4(aZ「2—4

a-Va2-42222

24-oo)

/—4)

2

f(x)-0+0-

f(x)递减递增递减

综上当时，f(x)在(0,+8)上是减函数,

当a>2时，在(0,.封且2士,和(空L2M+8)上是减函数,

22

则("a2屋,史立*)上是增函数.

22

(2)由(1)知〃>2,0<xi<l<x2,XIX2=L

则/(%1)-/(X2)=(X2-xi)(1+——-——)+Q(Znxi-lnx2)=2(X2-xi)+。(/〃xi-Inxz),

xlx2

则f(x1)-f(x2)_^a(lnX1-lnx2)

IYiY-1>~|y

则问题转为证明——i-----?-<1即可，

xl-x2

艮证明Inxi-lnxi>x\-xi,

则lnx\-ln-^->xi-

X1X1

BPlnxi-^-lnxi>xi-—

X1

即证在(0,1)上恒成立，

X1

设/z(x)=2lnx-x+-k,(0<x<l),其中/i(1)=0,

x

求导得h'(x)=—-1-2-=-x-2x+l=_GV'<o,

v222

则/?（x）在（0,1）上单调递减,

/i(无)>h(1),BP2lnx-x+—>0,

x

故2lnx>x--,

x

f(x.)-f(x2)#一

则------------—<a-2成立.

x「X2

(2)另解：注意到了(工)=x---alnx=-f(x),

XX

即/(x)+f(A)=0,

X

由韦达定理得X1X2=1,Xl+x2=a>2,得0<Xl<l<X2,X1=_L_,

x2

可得/'(X2)+f=0,即/(XI)+f(X2)=0,

x2

f(X2)-f(x2)-f(X2)

要证------------—<a-2,只要证-------------—<a-2,

x「X2x「X2

即证2。。比2-OX2+-S—<0,(X2>1),

x2

构造函数/?(x)=2alnx-ax+—,(尤>1),h'(x)=N■区

'.h（无）在（1,+8）上单调递减,

：.h（无）<h（1）=0,

.,.2alnx-ax+—<0BPlalnxi-axi+-^—<0,（尤2>1