2020-2021学年高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年名校高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合用={万比2<N={X|2T>1},则MClN=()

A.0B.[%|-1<%<0]

C.{x|-1<%<0}D.{x\-1<x<1]

2.设椭圆C的两个焦点为尻、尸2,过点Fi的直线与椭圆C交于点M,N,若IMF2]=|F/2l，且IM&I=4,

|NF/=3,则椭圆F的离心率为()

A.|B.|C.|D.|

3.已知函数/(%)=/+人工+。，其中0工b<4,0<c<4,记函数/(%)满足条件：/(2)412为

事件4则事件4发生的概率为()

22____________

4.已知双曲线京―a=1(。>0,b>0)的两条渐近线都与圆(％—c)2+y2=ac(c=7a?+炉相切,

则双曲线的离心率为()

6.设a,beR,则“a+6>2且ab>l”是“a>l且b>l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.直线Bx+y—2=0截圆/+V=4得到的劣弧所对的圆周角为（）

A-NByC.-D.-

8.已知P是抛物线f=4x上的一个动点，则点P到点4（0,1）的距离与点P到该抛物线准线的距离之

和的最小值为（）

A.V5B.yC.V3D.V2

9,将函数f（x）=cos（2x-$的图象向右平移g个单位，得到函数丫=gQ）的图象，那么下列说法正

确的是（）

A.函数g（x）的最小正周期为2兀

B.函数g（x）是偶函数

C.函数g（x）的图象关于直线》=-专对称

D.函数。（久）的图象关于点（或0）对称

10,数列｛5｝满足的=2,an=7^，其前n项积为%,则Row等于（）

A.\B.—C.6D.2

66

11.椭圆％2+my?=1的焦点在%轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）

A.71B.1iC.2D.4

42

12.已知0,尸2是双曲线5―A=l（a>0,b>0）的两个焦点，点P是该双曲线和圆久2+y2=a2+b2

的一个交点，若sin/PFiF?=2s讥NPF2F1，则该双曲线的离心率是（）

A.叵B.V5C.V10D.叵

42

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.抛物线久的准线方程为.

14.已知向量五=（1,恒）1=（l+m,2），若］与方的夹角为钝角，则实数徵的取值范围为.

15.已知A245c中，角a、B、C所对的边分别是a,"c,且2(/+/_/)=348,则

,2工

sin-------

2

16.已知正四棱锥P-4BCD的侧棱与底面所成角为60。，M为P4中点，连接DM,贝1JDM与平面P4C所

成角的大小是.

a

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.如图，在平面直角坐标系；cOy中，已知椭圆C：三+竺=1,设R(%o，yo)是椭圆。上的任一点，从

2412

原点。向圆R：(%—Ko)2+(y—yo)2=产作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.直线OP,0Q的斜

率存在，并记为后，fc2.

(1)若圆R与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆R的方程;

(2)若r=2&,①求证：2的心+1=0；②试问OP?+0Q2是否为定值？若是，求出该值；若

不是，说明理由.

18.已知曲线「：F(x,y)=0,对坐标平面上任意一点PQ,y),定义F[P]=F(x,y).若两点P、Q,满

足F[PrF[Q]>0,称点P、Q在曲线「同侧;若F[P卜F[Q]<0,称点P、Q在曲线「两侧.

(1)直线/过原点，线段4B上所有点都在直线/同侧，其中2(-1,1)、B(2,3),求直线[的倾斜角的取值

范围；

(2)已知曲线F(x,y)=(3%+4y-5)-74-%2-y2=0,。为坐标原点，求点集S=[P\F[P]-F[0]>

0｝的面积；

(3)记到点(0,1)与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,曲线「F(x,y)=x2+y2-y-a=0,若

曲线C上总存在两点M、N在曲线「两侧，求曲线C的方程与实数a的取值范围.

19.如图，三棱柱ABC-4B1C］的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直，且长为次，。是4C的

中点.

(1)求证：B1C〃平面&BD；

⑵求点4到平面4BD的距离.

20.如图所示的几何体中，四边形4BCD是等腰梯形，AD//CD,Z.DAB60°

FC-L平面4BCD,AE1BD,CB=CD=CF.

(1)求证：平面4BCC1平面AED；

(2)直线2F与面BDF所成角的余弦值.

21.已知圆。与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于乂(1,0),3(9,0)两点.

(I)求圆b的方程;

(n)若直线［过点4(1,0)且被圆c所截弦长为6,求直线1的方程.

22.已知椭圆烈的中心在坐标原点，焦点在雷轴上，椭圆圈■上的点到焦点距离的最大值为第，最小

值为:1.

(I)求椭圆。的标准方程；

(口)若直线肥:朋=甯邸耀与椭圆密相交于四，股两点(盘点不是左右顶点)，且以■强,为直径的圆

过椭圆。的右顶点，求证：直线看过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：W：1•1M=(%|-1<x<1],N={x\x<0},

Mr\N={x\—1<x<0].

故选：B.

可以求出集合M,N,然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基

础题.

2.答案：D

解析:解:设椭圆多2+32=l(a>b>0)，

a2b2

号(—c,0),F2(C,0),

\MF2\=\F1F2\=2C,/

由椭圆的定义可得|N&|=2a—INFJ=2a—3,(/).

|MF2|+\MFr\=2a,即有2c+4=2a,\7"/

即a_c=2,①

取的中点K,连接KF?，则KFzlMN,

22

由勾股定理可得IMF2/—|MK『=\NF2\-\NK\,

即为4c2—4=(2a—3)2—25,化简即为a+c=12,②

由①②解得a=7,c=5,

则离心率6=£=?.

a7

故选：D.

22

设椭•+3=1(。>6>0)，运用椭圆的定义，可得|NF2l=2a—|N0|=2a—3,|MF2l+|M0|=

2a,即有2c+4=2a,取MF1的中点K,连接KF2，则KF2，"N,由勾股定理可得a+c=12,解

得a,c,运用离心率公式计算即可得到.

本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，

属于中档题.

3.答案:D

解析：解：由氏C组成数对（b、C）,

<12,.-.2b+c<8,

事件4对应的区域如图梯形区域：

2+4.

事件4发生的概率为H=二

4X44

利用平面直角坐标系画出事件a对应的平面区域，利用平面区域的面积比求事件a发生的概率.

本题考查了几何概型的概率计算，画出事件a所对应的平面区域是解题的关键.

4.答案:D

解析：解：取双曲线的渐近线y=BPbx-ay=0.

22

・•,双曲线京一a=1（。>o，b>0）的渐近线与（％-c）2+y2=ac相切，

・・・圆心（c,0）到渐近线的距离d=r,

-^===4ac,化为=ac，

两边平方得ac=c2—a2,化为62—e—1=0.

e>1,

c--1+-V-5•

2

故选D.

22

双曲线京—a=1（。>0,匕>0）的渐近线与（尤—。）2+丫2=这相切，可得圆心（c,0）到渐近线的距

离d=r,利用点到直线的距离公式即可得出.

本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质托个基础知识

与基本技能方法，属于中档题.

5.答案：D

解析：

本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，属于基础

题.

由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆

锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图.

解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，

是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，

・•・侧视图是一个中间有分界线的三角形，

故选：D.

6.答案：B

解析：解：a>1且匕>1,

a+b>2且a。>1,

若已知a+b>2且a%>1,可取a=芯6=8,也满足已知,

.­.ua+b>2且ab>1”是“a>1且6>1”的必要不充分条件,

故选：B.

由题意看命题“a+6>2且ab>1”与命题“a>1且b>1"否能互推，然后根据必要条件、充分

条件和充要条件的定义进行判断.

本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于

命题概念的理解程度.

7.答案：D

解析：解：过。作。垂足为点C,

由圆的方程/+*=4,得到圆心。的坐标为(0,0),半径r=2,

•••圆心到直线8x+y-2=0的距离d=\OC\=|=L

直线被圆截得的弦|2B|=274^1=2V3,

•••sinZylOC=—,

2

77

・・・乙AOC=

3

Z-A“O八Bc=—27r

3

故选

由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r,利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d,

由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，利用三角函数即可得出结论.

此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，

勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，

再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题.

8.答案：D

解析：

本题考查抛物线的定义，解题的关键是点P到点(0,1)的距离与到抛物线准线的距离之和转化为点P到

点(0,1)的距离与P到焦点尸的距离之和，属于基础题.

先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|P4|NMF|,再求出|4F|的值即可.

解：依题设P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,4(0,1).

抛物线y2=4x,F(l,0),

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=\PF\,

则点P到点2(0,1)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=\PF\+\PA\>\AF\=V2.

故选：D.

9.答案：C

解析：解：将函数/(久)=cos(2x—》的图象向右平移g个单位，得到函数y=g(x)=cos(2%Y-

y)=cos(2x-壬的图象，

故函数g(x)的最小正周期为:=兀，故A错误.

显然，9。)是非奇非偶函数，故2错误.

令％=一盘求得g(x)=-1,为最小值，可得函数g(x)的图象关于直线尤=-专对称，故C正确.

令％=会求得g(x)=f,不是最值，也不是0,可得函数g(x)的图象不关于点G，0)对称，故D错

误，

故选：C.

由题意利用函数y=4s讥⑷久+租)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的性质

本题主要考查函数y=4s讥(3%+e)的图象变换规律，余弦函数的性质，属于中档题.

10.答案：D

解析：

本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列是周期为4的周期数列，且

aid2a3a4=1是关键，是中档题.

根据数列满足的=2,厮=产弓，可得数列｛%J是周期为4的周期数列，且aw2a3a4=1,即

可得出结论.

i+i-

解：an

1•1%=2,

=3,

1

a3=~

1

^4=3

=2,•••j

・••数列｛时｝是周期为4的周期数列，且2a3a4=1，

•••2017=4x504+1,

，72017=Q1=2.

故选：D.

11.答案：D

解析：解：椭圆％2+my2=1的焦点在%轴上，

c1/2

・,•/+-=1,

m

•••a=1,b=—.

m

•・・长轴长是短轴长的2倍，

12y/m

m

解得TH=4.

故选：D.

椭圆/+=1的焦点在x轴上，化为/+t=1,可得a=l,b=丝利用长轴长是短轴长的2倍,

mm

即可得出.

本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题.

12.答案：B

解析：解：尸2是双曲线总一卷=l(a>0/>0)的两个焦点，

・•・双曲线的焦点坐标为Fi(—c,O)、F2(G0),其中c=，a2+b2,

22

,・,圆方程为%2+y2=。2+人2,即％2+y=C,

・•・该半径等于C,且圆经过&和F2，

,・•点P是双曲线马一马=1与圆久2+y2=+接的交点，

a2bz

•••△尸&尸2中，|。尸|=c=5|&尸2|,ZF1PF2=90°,

•・.sinNPFiF?=2sinZ.PF2F19

，詈=誓，nPF2l=2|PFJ

设|PF/=x,则|PF2l=2x,

由双曲线性质得2%-x=x=2a,

・•・|PF/=2a,则|尸产2|=4a,

由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,

解得c=V5a,

：.e=-=V5.

a

故选：B.

由已知条件推导出APF1F2中，|OP|=c=?&尸21，^F1PF2=90°,\PF1\=2a,\PF2\=4a,由此

能求出双曲线的离心率.

本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的灵活运用.

13.答案：x=—1

解析：解：整理抛物线方程得p=4x,，p=2

•••准线方程为久=-1

故答案为x=-1

先把抛物线方程整理成标准方程，进而利用抛物线的性质求得准线方程.

本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.

14.答案：(―8,-2)u(-2,—》

解析：

【试题解析】

本题主要考查向量的夹角，

由题意可得且正石不共线，由此求得实数m的取值范围.

解：,•・向量五==(1+m,2),若五与3的夹角为钝角，

则N•3=(机+1)+2机<0，且五、3不共线，即山(巾+1)-240,

求得租<-且mW—2,

则实数小的取值范围为(—8,—2)U

故答案为：(-oo,-2)U(-2,-|).

15.答案:

8

解析：解：,a2+b2-c2=-ab,..cosC=?2+b2'c2=-,A+B=n-c,

22ab4

..2A+B_l-cos(A+B)_1+COSC7

.-Sil1————

2228

16.答案：45°

解析:设底面正方形的边长为a,由已知可得正四棱锥的高为0a，建立如图所示空间直角坐标系，

0

则平面24C的法向量为律=(1,0,0),。回，20,—叵］a,0,P叵|,M回，团=凶，所

以cosf0,n?=回=回，所以。M与平面P4C所成角为45。.

17.答案：(1)解：由题意可知c=Va2—炉=，24-12=2V

所以椭圆C右焦点的坐标为(2百,0),

因为圆R与%轴相切于椭圆C的右焦点，且点R是椭圆上一点，

所以圆心R的坐标为(2g,土遮)，半径为历，

则圆R的方程为(x-2V3)2+(y+V6)2=6或(x-2V3)2+(y—V6)=6：

(2)证明：①因为直线OP：y=/qx和。Q：y=七%都与圆R相切,

-i%o-yol

2V2厂”」=2V2

所以，7、国'

22_

两边平方可得心，七为(x()2一8)/c-2xoyok+(y08)=0的两根,

由点R在椭圆上,即首+缶=1,

可得2"2+l=2x寓+1

12——XQ2—8

=2x―—+1=-1+1=0;

与2-8

②解：方法一：当直线OP,0Q不落在坐标轴上时,

设P(x2i),Q(x2,y2),

由(2)知2,用+1=0,

所以^1=0，故资谚=那好，

4

因为P、Q在椭圆C上,

2

所以yj=12-|xj,y22=12-|%2,

则(12)(12-")=评据，

整理得/2+X22=24,

所以资+72=(12-|xf)+(12―那)=12,

所以0尸2+OQ2=xf+yf+%2+72

=(好+久分+(资+泥)=36；

方法二：当直线OP,OQ不落在坐标轴上时，

设PQi，yJ,Q(x2,y2),

y=krx

{%2+y2_],

24十12一

解得资=赢，比=需，

所以好+资=铃，

同理，得据+比=3翳，

由(2)2七七+1=0,得七七=-|1

OP2+OQ2=xf+yf+%2+72

_24(1+好)+24(1+必)

―1+2好1+2必

24(l+kJ)24卜+(一附]

一E十»(一笳

36+72kJ

=^F=36;

当直线OP,0Q落在坐标轴上时，显然有op2+0Q2=36.

综上：OP2+0Q2=36.

解析：本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及直线和圆的位置关系：相切，考查

定值问题及分类讨论的应用，属于难题.

(1)利用圆与x轴切于椭圆的右焦点，得出圆心与半径，即可得出圆的方程；

(2)①利用直线与圆相切，所以-=V，nrTT=2V2,两边平方可得自，的为0。2—8)1_

11+笈1J1+^2

2

2xoyok+(y0-8)=。的两根，

由点R在椭圆上，可得2七优+1=0；

②方法一：当直线。P,0Q不落在坐标轴上时，2七七+1=。，所以第+1=。，因为P、Q在椭

2

圆C上,则(12后)(12-枭分=那,整理得x/+x2=24,所以资+犬=(12+(12-

ZZ4Z

1%2)=12,所以OP?+OQ2=%i+yi+%2+72

=(斓+媛)+(yl+泥)=36；

y—k\X2

/二法所以以+资=黑容，同理，得

1=11十=1

{24---12

好+凫=彳翳，七七=—1，所以得出结论；当直线。P,OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=

36.

18.答案：解：(1)显然直线/斜率存在，设方程为y=k%=F(阳y)=/cX—y=0

则尸[4]•F[B]=(-/c-l)(2fc—3)>0=-1<k<；……(2分)

故倾斜角的范围是[0,arctan|)U(乎，兀)……(4分)

(2)因为F[0]<0=F[P]=(3x+4y-5)-74-x2-y2<0

故:<°，点集S为圆％2+y2=4在直线3x+4y-5=0下方内部.....(6分)

设直线和圆的交点为4、B,则。到4B的距离为1,故乙4。8=与

故所求面积为'维・22+、四<2=留+值……(9分)

232231

(3)设曲线C上的动点为(x,y),则Jx2+⑶一i)2+|y|=5,

化简得曲线C的方程为/=8(3-y)(0<y<3)和/=12(y+2)(-2<y<0),

其轨迹为两段抛物线弧……(12分)

【方法一】x2+y2—y—a=0=>x2+(y—^)2=a+

而曲线C上的点到(0,今的距离的范围是户,画],……(14分)

Z22

故|<Ja+：<(今6<a<24……(16分)

【方法二】当0WyW3时，F(x,y)=y2-9y+24-a6[6—a,24-a]；

当—2Wy<0时，F(x,y)—y2+lly+24—aG[6—a,24—a]；......(14分)

故若有F[M]-F[N]<0,则(6-a)(24-a)<0=>6<a<24........(16分)

解析：(1)直线l过原点，线段4B上所有点都在直线/同侧，其中2(-1,1)、B(2,3),设出直线方程，

通过新定义，转化求解直线，的倾斜角的取值范围；

(2)已知曲线F(x,y)=(3%+4y—5)•74-%2-y2=0,。为坐标原点，然后求解点集S=[P\F[P]■

F[O]>0｝的面积；

(3)点(0,1)与到久轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,画出图形，求出轨迹方程.

方法一：%2+y2-y-a=0=>%2+(y-；)2=a+；而曲线C上的点至!I(0,3)的距离的范围是户,理],

z4z22

转化求解a的范围.

方法二：当0<y<3时,F(x,y)=y2-9y+24-ae[6-a,24-a]；当一2<y<0时,F(x,y)=

y2+lly+24—aE[6—a,24—a]；利用•F[^V]<0,求解a的范围.

本题考查球心与方程的求法，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力.

19.答案：(1)证明：连结DM,

•••三棱柱ABC-的的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直,

四边形44//是矩形，

M为的中点.

••••D是4c的中点，••・MD是三角形AB1。的中位线，

MD//BrC.

•••MDu平面&BD,C平面&BD,

.­•8停〃平面4/。.

(2)解：设点4到平面4BD的距离为％,

•••A4i1平面ABC,BD=V3,

•••ArD=2,ArB=V7,

••・1BD,

•・应海=期时=8，

由吟I-BD4=吟-4遇。得/l=2=Y'

解析：此题重点考查了线面平行的判定定理，考查了利用等体积法求解点到平面的距离，属于中档

题.

(1)连结DM,证明MZV/BiC,即可证明BiC〃平面4BD；

(2)设点2到平面&BD的距离为伍利用等体积法即可求解.

20.答案:(1)证明：•.・四边形4BCD是等腰梯形，AB//CD,^DAB=60°,

•••^ADC=4BCD=120°,

又CB=CD,NCDB=30。，N4DB=90。，AD1BD,

又2E1BD,B.AEOAD=A,AE,ADu平面4ED,

•••BD1平面ZED,二平面ABC。1平面AED.

(2)解：连结AC,由(1)知4D1BD,AC1BC,

又FC1平面ABC。，C4,CB,CF两两垂直，

以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设CB=1,

则4(低0,0),B(0,1,0),

/(0,0,1)，.・・前=(孚1,0),

BF=AF=(-73,0,1),

设平面的一个法向量为记=(%,y,z),

则:一22y，取Z=l,得记=(8,1,1),

jn•BF=—y+z=0

贝！Jcos<~AF,m>=—g

2V5

•••consd=——­

5

・•・直线4F与面8DF所成角的余弦值为等…(12分)

解析：⑴由已知条件推导出AD1BD,又4E1BD,从而BD1平面4ED,由此能证明平面4BCD，平

面4E0.

(2)连结ac,由ca,CB,CF两两垂直，以c为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

直线4F与面BDF所成角的余弦值.

本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注

意向量法的合理运用.

21.答案：(I)由题知圆心的横坐标为5,半径为5,设圆心C(5,a)Q<0)，

则加5-1)2+("0)2=5,解得［=_［，所以圆C的方程为(1—5)2+0+3)2=25。

(〃)当［的斜率存在时，设直线］的斜率为比，

则方程为y=b(x-l),BPh-y-k=Q,又圆C的圆心为(5,-3)，半径r=5，

由与巴=后与，解得左=［。

^/?+i24

7

・••直线方程为>=可(1-1),即71-247-7=0

当I的斜率不存在时，I的方程为x=［,经验证x=1也满足条件。

综上所述直线/的方程为：%=1或7x-24y-7=0=

解析：本题主要考查了圆的标准方程，点到线的距离公式等，考查了分类讨论的思想。

(/)由题知圆心的横坐标为5,半径为5,设圆心C(5,a)(&<0)，则