2020年新高考数题型详解：8. 3 离散型随机变量的均值及方差

8.3离散型随机变量的均值及方差

思维导图

若离散型随机变量X的分布列为

定义㊀

则称HA)=x1Pl+X2P2+...+Xfli+...+*〃夕"为随机变量X

的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

若丫=ax+b,其中a,b为常数,X是随机变量,

①Y也是随机变量；

均值

②E(aX+b)=aE(X)+b.

性质

二项分布：若X~B(n,p),则E(X)=np

两点分布：若X服从两点分布，则E(X)=p

(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值.

(2)求出X取每个值的概率P(X=k).

(3)写出X的分布列.

(4)利用均值的定义求E(X).

均值

设离散型随机变星的分布列为

方差X

定义

①方差：D(X)=之(&-E(X))”不

方差

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均

意义2值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值

的平均程度越小.

D(aX+b)=a'D(X)聋D(X)=ECX2)-[E(X)]2

性质3两点分布J'P(1-P)(其中P为成功概率)

二项分布enp(l-p)

点

两相同点：一次试睑中要么发生要么不发生.

布

分

随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0.1,

二

与

二项分布中随机变量的取值X=0,1,2，…，n.

分

项不同点・

区

布

分试睑次数不同，两点分布一般只有一次试验；

二项分布则进行n次试跄.

题型讲解

题型一均值

【例1】（1）（2019•全国高三专题练习（理））己知离散型随机变量X的分布列为

X0123

841

Pm

27927

则X的数学期望石（X）=（）

,23

A.—B.1C.—D.2

32

（2）（2020•浙江高三专题练习）已知随机变量&的分布列如下，则E（&）的最大值是（）

-10a

]_1

P--FQ--b

424

515119

A.——B.---C.——D.---

864464

【答案】(1)B(2)B

8412

【解析】(1)由——|__+m+7^=1,得加=77,所以

279279

QJ21

E(X)=Ox—+lx-+2x-+3x—=1.故选：B

v7279927

⑵根据分布列的性质的至小所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间,得至IJb-a=0,0,

根据公式得到=化简得到

E（J）=-b24,根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到-g.

此时8=：,经检验适合题意.故答案为B.

8

【举一反三】

1.（2020•浙江高三专题练习）已知某一随机变量自的分布列如下表所示，若E4）=6.3,

则。的值为（）

a79

Pb0.10.4

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

［解析】根据随机变量4的分布列的性质，可知人+0.1+0.4=1,所以6=0.5,

又E记)=仍+7x0.1+9x04=6.3,所以。=4,故选A.

2.(2019•辽宁高二期末(理))从装有除颜色外完全相同的3个白球和帆个黑球的布袋中

随机摸取一球，有放回地摸取6次,设摸得黑球的个数为X,己知石(X)=3,则相等于()

A.2B.1C.3D.5

【答案】C

3m3

【解析】根据题意可得出P(X=Q=C/(——/(--)止/,即X〜3(6,——)

3+m3+m3+m

3

所以E(X)=6x§丁=3一机=3故选C

3.(2019•四川高二期末(理))已知自的分布列为

J-101

j_££

p

236

设〃=2J+3,则石(〃)的值为()

75

A.4B.-C.-D.1

34

【答案】B

［解析］E©=(-l)x—+0x—+lx—=-—+—=,

236263

17

因为〃=2J+3,所以E(〃)=2Ee)+3=2x(—§)+3=］

题型二方差(标准差)

【例2】(1)(2019•广东高二期末)已知随机变量X〜D(2X+1)=

A.9B.6C.4D.3

（2）（2019•浙江高三月考）设0<x<g,随机变量J的分布列如下：

012

P0.50.5—xX

则当％在内增大时（）

A.£（/减小，。信）减小B.£值）增大,。得）增大

C.石代）增大,。传）减小D.石（/减小,。信）增大

【答案】（1）B（2）B

【解析】(1)因为随机变量X〜

113

所以。(乂)=6乂5乂(1—5)=5,

3

所以。(2乂+1)=4。(乂)=4、万=6.故选：B

⑵E(J)=OxO.5+lx(O.5—x)+2x=x+0.5,当天在［0,；］内增大时，£(^)增大

D(^)=0.5X(X+0.5-0)2+(0.5-X)X(X+0.5-1)2+X(X+0.5-2)2=-X2+2X+^-

D⑷=-(x-l)2+1,当尤在内增大时，D⑷增大故答案选B

【举一反三】

1.（2019•河北高二期末（理））随机变量X〜5（100,。），且石（乂）=20,则。（2*—1）=

()

A.64B.128C.256D.32

【答案】A

【解析】随机变量X服从二项分布,且£（X）=20=中，所以夕=0.2,则

D(X)=100x0.2x0.8=16,因此D(2X—1)=4DX=64.故选A.

2.(2019•广东高二期末(理))若随机变量X满足X〜5(八,〃)，且EX=3,DX=；,则。=

()

13l2

A.一B.-C.一D.-

4423

【答案】A

np=3n=l2

【解析】由题意得：<、9解得：,I,故选A.

np(l-p)=-

3.(2019•山西省长治市第二中学校高二期中(理))若随机变量自满足E(l—《)=4,

0(1-^)=4,则下列说法正确的是

A.EJ=—4,DJ=4B.Eg=_33=3

C.他=-4,DJ=_4D./=-3,耳=4

【答案】D

【解析】随机变量占满足£(1—劣=4,£>(1—3=4,则：1—埼=4,(一1)2。自=4,据此

可得：E―3,D&=4.

本题选择2选项.

题型三均值的实际运用

【例3-1](2020•安徽高二期末)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直

方图如图所示,成绩分组区间为：[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),

[130,140),[140,150].其中a,6,c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学

满分150分,物理满分100分)

分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数6920105

(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；

(2)根据物理成绩统计表,请估计物理成绩的中位数；

(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至

少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人,记才为抽到两个“优”的学生人

数，求才的分布列和期望值.

【答案】⑴117.8(分)；(2)75分；⑶见解析.

【解析】(1)根据频率分布直方图得，(«+Z?+2c+0.024+0.020+O.(M)x10=1

又因a+c—2b,c=2a,

解得a=0.008,b=0.012,c=0.016,

故数学成绩的平均分

%=85x0,04+95x0.12+105x0.16+115x0.2+125x0.24+135x0.16+145x0.08

=117.8(分)，

(2)总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间［70,80),

所以物理成绩的中位数为75分.

(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，

因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，

故两科均为“优”的人数为3人，

故1的取值为0、1、2、3.

c31

p(x=O)=T=

C：20

2

P(X=l)=c-'c^=9

20

C2cl9

P(X=2)=上字=2,

C：20

3

P(X=3)=，c=—1

Cg20

所以分布列为:

0123

1991

P

20202020

期望值为:

19913

E(X)=Ox----i-lx----i-2x---i-3x——

202020202

【例3-2](2020•浙江高三专题练习)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被

淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机

器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易

损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状

图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记才

表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求才的分布列；

(2)若要求P(X<“)20.5,确定〃的最小值;

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在〃=19与〃=20之中选其一,应选用

哪个？

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

(3)见解析.

【解析】(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为

8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而

产(X=16)=0.2x0.2=094；

P(^=17)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=18)=2x0.2x0.24-0.4x0.4=0.24；

产(X=19)=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24；

P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；

P(^=21)=2x0.2x0.2=0.08；

P(^=22)=0.2x0.2=0.04.

所以X的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)由⑴知产(X418)=044,尸(XW19)=668,故〃的最小值为19.

(3)购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购

买的费用.

当n=19时，费用的期望为：19X200+500X0.2+1000X0.08+1500X0.04=4040；

当n=20时，费用的期望为：20X200+500X0.08+1000X0.04=4080.

可知当〃=19时所需费用的期望值小于”=20时所需费用的期望值,故应选〃=19.

【举一反三】

1.(2020•湖南高三期末(理))为了解贵州省某州2020届高三理科生的化学成绩的情况,

该州教育局组织高三理科生进行了摸底考试,现从参加考试的学生中随机抽取了100名理科

生,，将他们的化学成绩(满分为100分)分为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

［90,100］6组,得到如图所示的频率分布直方图.

(2)记/表示事件“从参加考试的所有理科生中随机抽取一名学生,该学生的化学成绩不低

于70分”，试估计事件A发生的概率；

(3)在抽取的100名理科生中，采用分层抽样的方法从成绩在［60,80)内的学生中抽取10

名，再从这10名学生中随机抽取4名，记这4名理科生成绩在［60,70)内的人数为义求才的

分布列与数学期望.

【答案】(1)a=0.025(2)0.65(3)详见解析

【解析】(1)(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)x10=1,

a=0.025,

(2)成绩不低于70分的频率为(0.030+0.025+0.010)x10=0.65,

事件A发生的概率约为0.65.

(3)抽取的100名理科生中,成绩在［60,70)内的有100x0.020x10=20人，

成绩在［70,80)内的有100x0.030x10=30人,故采用分层抽样抽取的10名理科生中，

成绩在［60,70)内的有4人,在［70,80)内的有6人，

由题可知,才的可能取值为0,1,2,3,4,

ax-o—c：_15_1P（Y-n-c^-80.8

尸（x_o）"iirR，P（x」）yiI3F

3

p（X=2）=-c2^c^2=9—0=3-,P（X=3）=c^1c^=2—4=4—

品2107C：。21035

c41

P（X=4）=#=

do210

X的分布列为

01234

1841

P2

14217352W

1834]8

二.EX=0xi-lx----i-2x—+3xF4X-----=—.

2.（2020•湖南高三期末（理））某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提

出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备,需一次性投资1900万元，年生

产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造,需一次性投入700万元,年生产能

力为20万件.根据市场调查与预测,该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示,无论是

引进新生产设备还是改造原有的生产设备,设备的使用年限均为6年,该产品的销售利润为

15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.

（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数亍（同一组中的数据用该组区间

的中点值作代表）；

（2）将年销售量落入各组的频率视为概率,各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的

估计值,并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：

②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据,试判断该服装厂应选择哪个方案.

（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）

【答案】（1）19.8万件（2）①0.6②乙方案.

【解析】（1）年销量的平均数

%=0.05x12+0.35x16+0.3x20+0.2x24++0.1x28=19.8（万件）.

（2）①该产品的销售利润为15元/件，

由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，

所以年销售利润不低于270万的概率P=0.3+0.2+0.1=0.6.

②设甲方案的年销售量为1万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望石（X）=19.8,

所以甲方案6年的净利润的期望值为19.8><15x6-1000=782（万元）.

设乙方案的年销售量为「万件,则乙方案的年销售量的分布列为

Y121620

P0.050.350.6

所以乙方案的年销售量期望E（F）=0.05x12+0.35x16+0.6x20=18.2（万件）,

所以乙方案6年的净利润的期望值为18.2义15义6-700=938（万元），

因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，

所以企业应该选择乙方案.

强化练习1

1.（2019•吉林省实验高二期末（理））已知随机变量X+〃=8,若X〜5（10,0.6）,则随机

变量〃的均值E⑻及方差D（7）分别为（）

A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6

【答案】B

【解析】QX:5（10,0.6）,由二项分布的数学期望公式得£3）=10*0.6=6,

由二项分布的方差公式得D（X）=10x0.6x0.4=2.4.

QX+/7=8,.-.?7=8-XJJE（77）=E（8-X）=8-E（X）=8-6=2,

D（JJ）=D（S-X）=DX=2.4,故选B.

2.（2020•浙江高三专题练习）设随机变量4的分布列是

q012

1Pl-p

P22

则当P在（0/）内增大时（）

A.EC）减小,。（小减小B.EC）减小,。（力增大

C.E《）增大,。（为减小D.E记）增大,D记）增大

【答案】A

【解析】由题意得E©=0xg+lx^+2x千=1-g所以当P在（0,1）内增大时,E（J）

减少；

D(^)=[0-(1-争]2X；+[1_(1—劄2X£+[2_(1_e)]2X3P+2

2222

24

2

所以当。在（0,1）内增大时,D4）减少.

故选：A.

3.（2020•全国高三专题练习）口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球,

从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为（）

128

A.—B.-C.2D.—

333

【答案】D

【解析】口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，

取出的球的最大编号X的可能取值为2,3,

C231

*1

P(X=3)=^c'c=-2

C；3

12Q

・••取出的球的最大编号X的均值EX=2x—+3x—=—.故选：D.

333

a

4.（2019•宁夏高二期末（理））随机变量X的概率分布为尸（X="）=F—（"=1,2,3）,

n+n

其中。是常数，则。（aX）=（）

3860815252

A.——B.----C.----D.—

8172924327

/1cjaaa1

【答案】B因为随机变量X的概率分布为尸（X="）=("=1,2,3),故不+就百=1

2o12

413

得a=§,故E（X）=§,又。（aX）=/o（x）,而

D（x）=（1—U）2义2+（2-U）2X2+（3—U）2X1.故D（aX\=a2ax）=%，选B

939999v7729

点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可,属于基础题.

5.（2019•重庆高二期末（理））设随机变量X〜B（n,p）,若EX=3,DX=2W〃=

A.3B.6C.8D.9

【答案】D

【解析】随机变量X〜B（n,p）,EX=np=3,DX=np（l-p）=2

解得O=；,〃=9故答案选D

6.（2019•湖北高二期末（理））己知随机变量。服从二项分布《〜B（n,p）,且E（［）=7,

D©=6,则p等于（）

6134

A.-B.一C.一D.-

7777

【答案】B

【解析】随机变量自服从二项分布《〜B（n,p），且E©=7,D©=6,

则由E&=7=np,D&-6-np（l-p）,

可得P=；，n=49.

故选B.

7.（2019•山西高二月考（理））随机变量4的分布列如下,且满足石片）=2,则E（aJ+b）的

值（）

4123

Pabc

A.0B.1

C.2D.无法确定，与。力有关

【答案】B

【解析】EC）=2由随机变量4的分布列得到：a+2b+3c=2,

又a+8+c=l,

解得a=c,2a+b=1,

/.E（a&+b）-aE（＜^）+b—2a+b-\

故选：B.

8.（2019•河北高二月考（理））已知离散型随机变量J的分布如下，若随机变量〃=3J+1,

则"的数学期望为（）

J012

p0.42kk

A.3.2B.3.4C.3.6D.3.8

【答案】B

【解析】由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.4+2左+左=1,解得攵=0.2,

所以数学期望为E记）=0x0.4+1x0.4+2x0.2=0.8,

又由随机变量〃=3J+1,所以郎7）=3石©+1=3x0.8+1=34,故选B.

9.（2020•浙江高三专题练习）已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2

个白球，从袋中无放回地随机取出3个球,记取出黑球的个数为X,则E（X）=—,D（X）=

99

【答案】J五

【解析】由题意得X的所有可能取值为1,2,3,

°J）春，尸"=2）=雷得=|，。"=3）系1

10

所以X的分布列为

X123

331

P

105W

所以E（X）=a>d+9><2+Lx3=2

v'1010105

39

Z）（X）=—x

1）1025

99

故答案为二，二.

525

10.（2020•全国高三专题练习）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互

独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为3、!、

234

（1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

1311

【答案】（1）分布列见解析,E（X）=一；（2）—.

v71248

【解析】（1）随机变量X的可能取值为0、1、2、3,

则P（X=0）=[l—；,『£|义『£|=（,

11

24

P（X=2）—L111x—1x—11—1xL1—x—11—1x―1x

'2^34213J423

P（X=3）=—x—x—=-^―,

,723424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

]_11]_1

P

424424

xllxHl±13

所以，随机变量X的数学期望为E（X）=0++2x+3x

42442412

（2）设丫表示第一辆车遇到的红灯个数,z表示第二辆车遇到红灯的个数.

则所求事件的概率为p(y+z=i)=p(y=o,z=i)+?(y=Lz=o)

=p(y=o)-p(z=i)+p(y=i)-p(z=o)=-x—+—x-=—.

所以，这两辆车共遇到1个红灯的概率为—.

48

11.(2020•浙江高三专题练习)中国乒乓球队为了备战2019直通布达佩斯世乒赛，在深圳集

训并进行队内选拔.选手/与4民c三位选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统

321

计，选手F获胜的概率分别为，且各场比赛互不影响.

432

7

(1)若选手至少获胜两场的概率大于正，则该选手入选世乒赛最终名单,否则不予入选，问选

手厂是否会入选；

(2)求选手下获胜场数X的分布列和数学期望.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

„32132112131117

【解析】(1)P=-X—X——|——X—X——|——X—X——|——X—X—=——

43243243243224

.8584

•----->------二F会入选

120120

(2)X的可能值为0,123.

1

p(x=o)=-x-x-

'743224

111211111

—x—+—X—x—+—X—X—

324324324

11

P(X=2)^X2X1+2X1X1+1X2X1

,,43243243224

尸(X=3)=|21

x—x—

324

所以,X的分布列为:

X0123

1]_11]_

P

244244

111123

E(X)=0XL+14x—I-2x----F3x-

''24424412

12.(2020•浙江高三专题练习)2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国

以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二,某校体育爱好者协会在高三年级一

班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），

从被调查的学生中随机抽取了50人,具体的调查结果如下

表:

班号一班二班三班四班五班六班

频数5911979

满意人数478566

（I）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概

率；

（II）若从一班至二班的调查对象中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届

奥运会中国队表现“不满意的人数为J，求随机变量J的分布列及其数学期望.

1Q38

【答案】（I）石；（II）分布列见解析,EJ=芯.

【解析】

（1）50个人中，满意的人数为4+7+8+5+6+6=36，故在高三年级全体学生中随机抽取

一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率为II=II.

（2）］的所有可能取值为0,1,为3,尸（『）=乐圣=J-

C5C91UJoZU

x~»lz-»2z-tl

?化=l)=*£.*2_+*£.-2_421_6_14_7_

+

)「2「2-2「210361036-15

y%y<^9

✓~»1z~»lz~»2024146131

P(J=2)=T•—^+-4.—4=一X——+—X——=

v)ClclCcjCl10361036180'

^=3>fC4-fC=2411

—x——=——

103690

所以占的分布列为:

0123

77311

P

201518090

77311

所以EJ=0x——+lx——+2x——+3x—.

201518090

13.（2020•全国高三专题练习）某饭店从某水产养殖厂购进一批生蛭,并随机抽取了40只统

计质量，得到结果如表所示:

质量（g）[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]

数量（只）6101284

（1）若购进这批生蛇500依，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蛭的数

量（所得结果保留整数）;

（2）以频率视为概率，若在本次购买的生蛭中随机挑选4个，记质量在［5,25）间的生蛇的个

数为X,求X的分布列及数学期望.

Q

【答案】（1）17544；（2）分布列见解析,E（X）=y.

【解析】（1）由表格中的数据可估算出这批生蛇质量的平均数为

6x10+10x20+12x30+8x40+50x4“厂/、

------------------------n-----------------------=2&5（g），

所以，购进生蛇500奴，这批生蛭的数量为50°xl03工17544（只）；

28.5

（2）由表格中的数据可知，任意挑选一只，质量在此,25）的概率为9第=|,

由题意可知,X随机变量X的可能取值有0、1、2、3、4,

4

33

贝lP（X=0）=2P(XT=C：W

1625

所以，随机变量X的分布列如下:

X01234

812162169616

P

625625625625625

2Q

因此，随机变量X的数学期望为E（X）=4xw=g.

14.（2020•全国高二练习）某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,

现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%,也可能亏损15%,

72

且这两种情况发生的概率分别为§和-;

项目二:通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%,也可能

311

不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为二、彳和一.

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.

【答案】选择项目一,理由