2018年高考数学一轮复习 37 数学归纳法教学案 理

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专题37数学归纳法

考情解读

1.了解数学归纳法的原理；

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

重点知识梳理

1.数学归纳法

证明一个与正整数A有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当〃取第一个值AoSoGN*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设AeN*)时命题成立，证明当〃=4+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从您开始的所有正整数〃都成立.

2.数学归纳法的框图表示

n—no时命题成立|若(左/人)时命题成立，证明

九:清十］时命题也成立

归纳奠基归纳递推

命题对从他开始的所有

正整数R都成立

卜高频考点突破

高频考点一算法的顺序结构

例1、f(»=x"—2x—3.求汽3)、f(-5)、f⑸,并计算/'(3)+汽一5)+『(5)的值.设计出

解决该问题的一个算法，并画出程序框图.

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【解析】算法如下：

第一步，令x=3.

第二步，把x=3代入刈="一方一3.

第三步，令不=一5.

第四步，把工二-5代入力="-2%—3-

第五步，令x=5.

第六步，把x=5代入”="一2%-3.

第七步，把为，72,%的值代入了=为+月+%.

第八步，输出力，物加，y的值.

该算法对应的程序框图如图所示：

【特别提醒】(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下

的顺序进行的.

(2)解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可.

【变式探究】如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题.

/输心/

f(x)=-x2+mx

/输出/

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⑴该程序框图解决的是一个什么问题？

⑵当输入的X的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的X的值为3时，输出的值为多大?

(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？

【解析】(1)该程序框图解决的是求二次函数人力=-*+血的函数值的问题；

⑵当输入的工的值为。和4时，输出的值相等，

即灭。)=<4)・

因为{0)=0,人4)=一16+4削，

所以-16+4冽=0,

所以冽=4,人力=一"+4工

则A3)=-32+4X3=3,

所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3；

(3)因为f{x)——x~\-4x=—(x—2)2+4,

当x=2时，_f(x)最大值=4,

所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2.

高频考点二算法的条件结构

例2、如图中x\,x2,自为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，夕为该题的最终得分.当

荀=6,X2=9,0=8.5时，不等于()

A.11B.IOC.8D.7

思维点拨依据第二个判断框的条件关系，判断是利用“加=为"，还是利用“荀=为”，从

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而验证0是否为8.5.

【答案】C

【解析】皿=6,q=9,|XI-如=3<2不成立，即为“否”，所以再输入抽；由绝对值的意义（一个点到另一个

点的距离）和不等式如一刈<|X3-冽知，点Xi到点XI的距离小于点Xi到点JQ的距离，所以当时，%

一刈〈悔一刈成立，即为“是，此时X2=X3,所以即竽=8.5,解得抽=11>7,5,不合题意；当

X3>7-5B寸，如一刈中3-冽不成立，即为“否，此时X1=X3,所以艮卢F=8.5,解得X3=8>7.5,

符合题意，故选C.

【特别提醒】

（1）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进

行判断；

（2）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执

行两个分支.

【变式探究】（2014•四川）执行如图所示的程序框图，如果输入的x,yGR,那么输出的S的

最大值为（）

【答案】C

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【解析】当条件本），心0,X+好1不成立时输出s的值为1；当条件运0,胆0,x+胫1成立时42x+y,

下面用线性规划的方法求此时S的最大值.

作出不等式组必，表示的平面区域如图中阴影部分，由图可知当直线S=2x+y经过点ML0A寸5最

5+凶

大，其最大值为2x14-0=2,故输出S的最大值为2.

高频考点三算法的循环结构

例3、执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）

/输出s/

A.10B.17

C.19D.36

【答案】C

【解析】开始s=0,k=2；

第一次循环s—2,k=3；

第二次循环s=5,#=5；

第三次循环s=10,4=9；

第四次循环s=19,k=17,

不满足条件，退出循环，输出s=19,故选C.

【特别提醒】

利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变

量；第三要注意从哪一步开始循环.弄清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键.

【变式探究】当m=7,〃=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

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【答案】C

【解析】程序框图的执行过程如下:

m=l,?i=3B寸,加一?1+1=5,

k=m=7,5=1,5=1X7=7；

QA1=6>5,5=6x7=42：

i=Jt-l=5=5,5=5x42=210;

k=k-l=4<5,愉出5=21。故选C.

高频考点四基本算法语句

例4、阅读下面两个算法语句：

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执行图1中语句的结果是输出

执行图2中语句的结果是输出

【答案】i=4i=2

【解析】执行语句1,得到C，Mt+1))结果依次为(1,2),(2,6),(3,12),(42)),故输出口4.

执行语句2的情况如下：

i=l,i=i+l=2,/。+1)=6<20(是)，

结束循环，输出i=2.

【特别提醒】解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领

悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题.

【变式探究】设计一个计算1X3X5X7X9X11X13的算法.图中给出了程序的一部分，

则在横线上不能填入的数是()

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A.13B.13.5C.14D.14.5

【答案】A

【解析】当填7<13时，/值顺次执行的结果是5,7,9,11,当执行到7=11时，下次就是i=

13,这时要结束循环，因此计算的结果是1X3X5X7X9X11,故不能填13,但填的数字只

要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1X3X5X7X9X11X13.

真题感悟

1.12016江苏高考，26](1)求的值；

(2)设m,nN*,n2m,求证：

(m+1)C：+(m+2)C：+1+(m+3)C：+2++nC：_]+(n+l)C；=(m+1)C%

【答案】（1）0（2）详见解析

6x5x4.7x6x5x4

【解析7Cj-4Cj=7x----------4x--------=--0--.-

3x2x14x3x2x1

<2）当〃=加时，结论显然成立，当〃〉冽时

又因为C凿+cB=c^.

所以（fc+lKr=伽+1XC竭—C次）木=泄+L冽+2广、”

因此

（冽+1总+（而+2亢％+（«+342+…+5+DC：

=（«+1亢：+［（«+2^1+（«+3亢12+…+5+1亢方

=（冽+1亢鬻+伽+DKC%—c黑）+仁常一<^；）+…+仁修-c警）］

二（冽+1亢督，

1.12015江苏高考，23］（本小题满分10分）

已知集合X={1,2,3},Ytl={1,2,3,…，加〃eN*）,S“={（«,。）卜整除。破整除a,

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aeX,beYn},令/(〃)表示集合S“所含元素的个数.

(1)写出/(6)的值;

(2)当时，写出了(“)的表达式，并用数学归纳法证明.

'〃ny/

〃+2+—1—,n—6t

<23；

，n-ln-1^

n+2++，川一6%+1

<23)

(n/_

n+2++，〃-6%+2

<23)

【答案】(1)13(2)f(n)=<

(n-l，c

n+2++,n—6t+3

<23)

(n〃—1、/.

n+2+—H------,〃=6%+4

<23J

(n-ln-2\

n+2+------1-------,〃=6/+5

I23)

【解析】⑴7(6)=13.

6r

r(驾一1

月+2+|-----

I2

n+2+(―+――=6/4-2

U3J

(2)当2之6时,/(〃)=<

_(n-\力1才r

并+2+|-----F—Lw=6/4-3

I23；

n+2+(—+--=6/4-4

U3J

力+2+|-----H-------],/1=&'+5

I23J

下面用数学归纳法证明:

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①当〃=6时，/（6）=6+2+|+|=13,结论成立；

②假设n=k（k>6）时结论成立，那么〃=左+1时，5+1在&的基础上新增加的元素在

（1,左+1）,（2,左+1）,（3,左+1）中产生，分以下情形讨论：

/、k-｝k—2

1）若左+l=6f,则左=6（1—1）+5,止匕时有/（左+1）=/（左）+3=k+2+—+二一+3

=（k+1）+2+个一+-^—,结论成立；

kk

2）若上+l=6f+l,则左=6f,此时有〃左+1）=〃4）+1=左+2+耳+3+1

/\（4+1）-1（4+1）-1i、人—一

（^+1）+2+-——号一+-——j一，结论成乂;

k—1k—1

3）若上+1=6/+2,则上=67+1,此时有/（左+1）=/（左）+2=左+2+三一+丁+2

=（左+1）+2+人+jgi）-2,

结论成立;

,、，、kk-2

4）若上+l=6f+3,贝ij上=6+2,此时有了（上+1）=/（k）+2=k+2+—H--—+2

23

=（上+1）+2+色罗+宇结论成立：

lr-\k

5）若上+l=6f+4,贝|］左=6+3,此时有，（上+1）=/（上）+2=k+2+—4----1-2

23

=（左+D+2+等+（左+?―1,结论成立；

kk

6）若上+1=67+5,则左=6r+4,此时有了（左+1）=/（左）+1=左+2+,+亍+1

二（左+1）+2+（左+A'（左+D-2

,结论成立.

综上所述，结论对满足6的自然数”均成立.

2.【2015高考北京，理20］已知数列｛风｝满足：qeN*,%W36,且

f2an,an18,

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记集合A/={%|〃eN*}.

(I)若4=6,写出集合M的所有元素；

(II)若集合Af存在一个元素是3的倍数，证明：”的所有元素都是3的倍数；

(III)求集合M的元素个数的最大值.

【答案】(1)M={6,12,24},(2)证明见解析，(3)8

【解析】(I)由已知4+|=1；4'之忘18'可知：气=6,4=12,y=24,a4=12,

[24—36,an>lo

M={6,12,24}

(II)因为集合〃存在一个元素是3的倍数，所以不妨设%是3的倍数，由已知

2a

an+l=["<4^18,，可用用数学归纳法证明对任意〃2k,a是3的倍数，当A=1时,

n

[2an-36,an>18

则M中的所有元素都是3的倍数，如果A>1时，因为4=2%।或2g]—36,所以2%

KK—kK—LA—11

是3的倍数，于是％T是3的倍数，类似可得，ak_2,......刍都是3的倍数，从而对任意

n>\,a〃是3的倍数，因此"的所有元素都是3的倍数.

(III)由于〃中的元素都不超过36,由气-36,易得%~36,类似可得纥-36,其次

〃中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由为的

定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数，由定义可知，

织+i和2a〃除以9的余数一样，

①若为中有3的倍数，由(2)知：所有的缘都是3的倍数，所以纥都是3的倍数，所以练除

以9的余数为为3,6,3,6,..........，或6,3,6,3..............,或0,0,0,............，而除以

9余3且是4的倍数只有12,除以9余6且是4的倍数只有24,除以9余0且是4的倍数只

有36,则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.

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②4中没有3的倍数，则4都不是3的倍数，对于为除以g的余数只能是1,4,1,2,5,8中的一个,

从为起，为除以9的余数是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,……,不断的6项循环(可能从2,4,8,7

或5开始)，而除以9的余数是1,2,4,8,5且是4的倍数(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所

以M中的项加上前两项最多8项，则4=1时，#=①2,4,&16,32,28,20｝,项数为8,所以集合〃

的元素个数的最大值为8.

3.(2014•安徽卷)设实数0>0,整数夕>1,〃£N*.

(1)证明：当才>一1且xWO时，(l+x)0>l+〃x；

1p-1C_1

⑵数列｛&｝满足a+i=----a+~a~P,证明：a>a+i>c-.

PnPnPnnnP

【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下.

①当夕=2时，(1+X)2=1+2X+/>1+2X,原不等式成立.

②假设〃=A(A22,4£N*)时，不等式(l+x)”l+京成立.

当p—k~\~1时，(1+x)-1=(1+x)(1+x)”>(1+x)(1+Ax)=1+(A+1)x+Ax?>]+(4+1)x

所以当夕=A+1时，原不等式也成立.

综合①②可得，当x>—1,xWO时，对一切整数P>1,不等式(1+王/>1+"均成立.

(2)方法一：先用数学归纳法证明

P

①当77=1时，由题设知成立.

1

②假设刀=4(421,A£N*)时，不等式a>3成立.

n-1c_

由2+1=---劣+一*—'易知为>0,刀£N*.

pP

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由⑴中的结论得同=[1+篇-/+。恶T啮

因此嫉+12即

所以当n=k+1时，不等式仆吗也成立.

综合①②可得，对一切正整数上不等式公弓均成立.

再由等=1+^7)可得力，

艮口&1+1々2».

综上所述，2>劣+1>上T?£N*.

P

方法二：设F(x)~~-x+-x~p,x2,，则"2c,

PPP

所以f'(x)=~~-+-(1—p)^-P=~--fl-3)>0.

PPP\x)

由此可得，Hx)在[2,+8)上单调递增，因而，当x>，时，〃x)>a，)=，.

PPPP

①当刀=1时，由4>0>0,即考>c可知

=&1+-〈&,并且色一⑸弓，从而可得&〉@〉服

pPi

故当77=1时，不等式为>“1>L成立.

P

②假设刀=A(421,A《N*)时，不等式为>&+1>,成立，则当72=4+1时，/(^)>/(^+i),

pP

即有&+1>8+2>

P

所以当77=4+1时，原不等式也成立.

综合①②可得，对一切正整数〃，不等式aDan+i〉彳均成立.

4.(2014•陕西卷)设函数_f(x)=ln(l+x),g{x)=xf'(x),x20,其中/(x)是_f(x)

的导函数.

(1)令gi(x)=g(x),g〃+i(x)=g(须(x)),〃£N+,求助(x)的表达式；

⑵若Hx)2ag(x)恒成立，求实数女的取值范围；

⑶设刀£N+,比较g(l)+g(2)T----Fg(〃)与〃一/1(〃)的大小，并加以证明.

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【解析】由题设得，式乃二言产①.

(1)由已知，幻(力二而，

X

八"，"1+工X

甲a尸啦⑼二；7^二而？

1+l+x

y__y

0Q)=TTi?…，可得@0)=77^-

L-rJX1十m

下面用数学归纳法证明.

①当〃=1时，印。)=毒，结论成立.

②假设n=k时结论成立，即/x)=［

1,1氏I

X

那么，当户上+IB寸，取@尸g(g@))=iK*=］+：=［+(：+1)%,即结论成立.

1+1+Ax

由①②可知，结论对〃€N+成立.

⑵已知f(x)2ag(x)恒成立，即ln(l+x)2早恒成立.

1十X

设0CY)=ln(l+x)—三乙(x20),

1+x

5।,/、1ax+1-a

则0(x)=申一(1+x)2=(i+x)2,

当aWl时，O'(x)20(仅当x=0,a=l时等号成立)，

・・.0(x)在［0,+8)上单调递增，又0(o)=o,

。(x)20在［0,+°°)上恒成立，

...aWl时，111(1+王)》乎恒成立(仅当&=0时等号成立).

1十x

当a>l时，对xG(0,a—1］有O'(x)<0,

二O(x)在(0,a—1］上单调递减，

。(a—1)〈。(0)=0.

即a〉l时，存在x〉0,使0(x)〈0,

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故知ln(l+x)》H■不恒成立.

综上可知，a的取值范围是(一8,1].

(3)由题设知g(l)+g(2)H---卜g(〃)----

比较结果为g⑴+g(2)4---\-g(n)>n—ln(n+l).

证明如下：

方法一：上述不等式等价于:+,+…+

在(2)中取a=l,可得加(1+力7工，*0.

令X=),H€N+,则—

nn+1n

下面用数学归纳法证明.

①当刘=1日寸，加2,结论成立.

②假设当n=k时结论成立，即;+；+-+系询上+D.

那么>当n=A+1时，14-1+...+1)+W^<liiS+1)+詈二呵长+2),

即结论成立.

由①②可知，结论对〃EN+成立.

方法二：上述不等式等价于+…+士〈55+1)，

23〃+1

x

在(2)中取a=l,可得ln(l+x)>]+x，x>0.

1.n~\-11

令A*=一，〃£N+,则In--->—77.

nn〃十1

-1

故有In2-ln1>-,

In3—In2>~,

In(/?+1)-In」>〃；],

上述各式相加可得ln(〃+l)〉]+；H---F-TT，

23n-rl

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结论得证.

xx12

方法三：如图，广工及是由曲线y=—7,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而…

Ix+1x+123

J0

卜云是图中所示各矩形的面积和,

=刀（n+1）,

Jo

结论得证.

5.（2014•重庆卷）设a=1,an+1=^a~2an+2,+Z?（T?eN*）.

（1）若6=1,求a2,a3及数列｛aj的通项公式.

⑵若6=—1,问：是否存在实数。使得azKWazf对所有成立？证明你的结论.

【解析】（1）方法一：8=2,4=/+1.

再由题设条件知

（如+1-1产（如-1）2+1.

从而｛（如-1）号是首项为0,公差为1的等差数列，

故（如一1）2=“_1,即公=Aj^i+ioEbT）.

方法二：02=2,O3=S+1.

可写为G=41T+1,0=42-1+1,8=弋3T+1.因此猜想止二g一1+L

下面用数学归纳法证明上式.

当〃=1时，结论显然成立.

假设时结论成立，即a—y/k—1+l,则

a什1=yj~1）--+1+1=q（k-1）+i+1=7（彳+1）—1+1,

这就是说，当〃=4+1时结论成立.

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所以&=N〃—1+1(x£N*).

(2)方法一：设广(x)=［(x—1)2+1-1,则为+i=_f(a).

令c=f{c),即c=yf(c—1)2+1—1,解得c=［.

下面用数学归纳法证明命题

当n=l时，0=<1)=0,内二<0)=也—1,所以&〈不g<l,结T仑成立.

假设n=k时结论成立，即sag.-i<l.

易知人力在(-8,1］上为减函数，从而

c=7©刁g+D次1)=如即

1>0^#+2>02.

再由F(x)在(-8,1］上为减函数，得c=_f(c)〈f(出+2)〈广(㈤=&<1,

故c<a2k+3<1,因此色(什1)<。<d2(什这就是说，当n=k+l时结论成立.

综上，存在c=3吏对所有AGN*成立.

方法二：设/1(X)=#(*-1)2+1—1,则劣+1=/1(4).

先证：01(〃£N*).①

当〃=1时，结论明显成立.

假设时结论成立，即0WaW1.

易知F(x)在(一8,1］上为减函数，从而

0=F⑴WF(a)Wf(O)=y［2-l<l.

即OWa+iWl.这就是说，当〃=A+1时结论成立.故①成立.

再证：加〈西+1(〃£2).②

当刀=1时，a2=f(l)=0,由=式面=f(0)=6—1,所以&<&,即〃=1时②成立.

假设刀=A时，结论成立，即功左〈〃2什1.

由①及F(x)在(一8,1］上为减函数，得

3.2k+1=f(3,2k)>3.2k+1)=&k+2，

/(4+1)=Haa+i)(色4+2)=。2(4+1)+1.

这就是说，当〃=A+1时②成立.所以②对一切〃金N*成立.

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由②得^n—2a2〃+2—1,

即（期+1）2〈原—2曲+2,

因此&弓.③

又由①②及F（x）在（-8,1]上为减函数，得/1（期）＞/1（如+1）,即如+1＞出+2.

所以。2〃+1内/〃+1—2d2〃+l+2—1,解得侬+1＞]④

综上，由②③④知存在c=；使〈的+i对一切/?£N*成立.

押题专练

]_n+2

1.利用数学归纳法证明"1+0+@2+…+an+i=^^（awi,n£N*）”时，在验证n=l成立

1—a

时，左边应该是（）

A.1B.1+a

C.l+a+a~D.l+a+a"+a3

【答案】C

【解析】当n=l时，左边=l+a+a\故选C.

2.用数学归纳法证明命题“当〃是正奇数时，能被x+y整除"，在第二步时，正确的

证法是（）.

A.假设〃=4（AGN+）,证明A=4+1命题成立

B.假设〃=#（4是正奇数），证明〃="+1命题成立

C.假设〃=24+1（4GN+）,证明〃=4+1命题成立

D.假设〃=瓜"是正奇数），证明〃="+2命题成立

【答案】D

【解析】A、B、C中，"+1不一定表示奇数，只有D中A为奇数，"+2为奇数.

3.用数学归纳法证明1—----匕1----则当n=k+1时,

2342/7-12刀刀十1〃十22〃

左端应在n=k的基础上加上（）.

A---1--R----1--

2A+22A+2

111.1

C-----------n-----+-----

2A+12A+22k+l2k+2

【答案】C

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【解析】•.,当〃=2时，左侧=1…+藐、一/当”=4+1时，

左侧…^T+W一壶.

4.对于不等式护二<〃+l(〃eN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当〃=1时，^/12+1<1+1,不等式成立.

⑵假设当A=#(#GN*且次21)时，不等式成立，即1柄+“〈"+1,则当〃=4+1时，

■\l~~k~\~M-1+=7斤+3k+2<7~优+34++H+=«~M-立=(4+1)+

1,

所以当〃=A+1时，不等式成立，则上述证法().

A.过程全部正确

B.〃=1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从〃=«到〃="+1的推理不正确

【答案】D

【解析】在〃=4+1时，没有应用〃=4时的假设，故推理错误.

5.下列代数式(其中AGN*)能被9整除的是()

A.6+6•lkB.2+7*T

C.2(2+7i+1)D.3(2+7，

【答案】D

【解析】(1)当左=1时，显然只有3(2+7*)能被9整除.

⑵假设当A=A(AGN*)时,命题成立，即3(2+7”)能被9整除，

那么3(2+7e)=21(2+7")—36.

这就是说，k=n-\~\时命题也成立.

由(1)(2)可知，命题对任何4GN*都成立.

6.已知1+2X3+3X32+4+33H---F〃><3E=3"(3—6)+c对一切〃eN*都成立，则a、b、

c的值为().

111

A.a=5，b=c=-B.a=b=c=~^

C.a=0,b=c=~D.不存在这样的a、b、c

【答案】A

【解析】•••等式对一切〃GN*均成立，：.n=1,2,3时等式成立，即

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1=3a-b+c,

<1+2X3=32a~b+c,

.1+2X3+3X32=33a~b+c,

343—36+c—1,

整理得<|18a—96+c=7,

、81a—276+c=34,

角星得a=],b=c=~

7.用数学归纳法证明不等式出+++…+£>||的过程中,由〃=力推导片-1时,

不等式的左边增加的式子是一

【答案】，+।A+

【解析】不等式的左边增加的式子是托一/=曰।无,故填

_________1_________

-k+k+-'

8.用数学归纳法证明：

…+(2n—J(2n+1)=瑞储?当推证当n=k+1等式也成立时,用上归纳

假设后需要证明的等式是.

r型素】k(k+l)(k+l)?_____(k+1)(k+2)

1口木’2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)=2(2k+3)-

【解析】当n=k+lB寸，

工+至+।k2(k+lp

1x3十3x5十…十(2k-l)(2k+1)(2k+l)(2k+3)

=k(k+l)(k+"

2(2k+l)(2k+l)(2k+3)

故口需证明处+1)T____也+])2---

联八所H/12(2k+1)(2k+l)(2k+3)

=喘/％可.

IJJ

9.已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),

(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第60个数对是

【答案】(5,7)

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【解析】本题规律：2=1+1；3=1+2=2+1；

4=1+3=2+2=3+1；

5=1+4=2+3=3+2=4+1；

一个整数n所拥有数对为5—1）对.

n—n

设1+2+3+…+(〃-1)=60,・•・——-——=60,

时还多5对数，且这5对数和都为12,

12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,

・・・第60个数对为(5,7).

10.在数列｛2｝中，劭=勺且Sn=n｛2n—\)an,通过计算2，猜想为的表达式是

]

【答案】a=

n一7?+

【解析】当〃=2时，＜21+02=602,即＜22=，1=,；

当?!—3时＞G+0+&=15&,

即03=9°1+0)=表；

当n=4时，〃1+0+&+＜2+=28&,

即ai=^(ai+&+0)=表一

._1_1_1_1_1_1_1

•⑷一厂面’④一记一而’8一活—的‘"一标‘

故猜想&=2n_l2?i+l-

11.已知S=l+；+；H------1-^(/7＞1,〃£N*),求证：瓯＞1+'|(〃22,T?£N*).

【解析】

111252

证明⑴当77=2时，瓯=2=1+5+鼻+7=行＞1+5，即〃=2时命题成立;

乙。d_L乙乙

⑵假设当〃="(心2,AGN*)时命题成立，即甑=1+9%“+5＞1+(,

则当n=k+1时，£A+I=1+|-+-H------^p+2A+l1k111

产＞1+2+2k+l+2k+224+1〉]

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,k,2*k\,k+1

+尹2"+2*—1+2+2-1+2

故当〃="+1时，命题成立.

77

由(1)和(2)可知,对〃22,〃£N*.不等式瓯>1+万都成立.