2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习-第4章　立体几何初步综合拔高练

综合拔高练

五年高考练

考点1空间点、线、面的位置关系

1.（2021浙江,6）如图，已知正方体/况次45。〃,必"分别是4〃,〃/的中点，则（）

A,直线4〃与直线垂直,直线/监〃平面ABCD

B.直线4〃与直线平行，直线，肿，平面BDD、B\

C.直线4。与直线相交,直线协〃平面48口

D.直线4〃与直线异面,直线网CL平面BDDB

2.（2019课标全国必8）如图，点N为正方形/题的中心,△£口为正三角形,平面以切，平面

ABCD,，"是线段切的中点，则（）

A.B归EN,且直线BM,必，是相交直线

B.BM^EN,且直线BM,球，是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,硕是异面直线

D.BM^EN,且直线BM,/V是异面直线

考点2空间平行、垂直关系的证明

3.（2020全国以19）如图,在长方体ABCAABCD、中，煎区6分别在棱加,防上且

2炉砌，上2例.证明：

⑴当时，EFLAC;

⑵点G在平面D内.

c.H

居

〃；

4.（2020江苏，15）在三棱柱ABC-ABG中，ABLAC,5cl平面ABC,£/分别是AC,劣。的中点.

⑴求证:"〃平面4AG;

⑵求证:平面仍入平面ABB,.

考点3空间角

5.（多选）（2022新高考/,9）已知正方体4况分则（）

A.直线BC、与所成的角为90°

B.直线式;与囹所成的角为90°

C.直线6G与平面防〃〃所成的角为45°

D.直线BC与平面力时所成的角为45°

6.（多选）（2022浙江,8）如图，已知正三棱柱ABC-AM,AOAAt,E,6分别是棱BC,4G上的点.

记）与44所成的角为与平面力宽所成的角为£,二面角六册月的平面角为了,则

A.aWBWyB.aW/

C.yWaD.aWB

7.（2021全国乙理,5）在正方体ABCAAMCD、中，P为A〃的中点,则直线PB与4〃所成的角为

)

A.-B.-

23

C.-D.-

46

8.（2020新高考/,4）日皆是中国古代用来测定时间的仪器,利用与唇面垂直的劈针投射到辱

面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为0）,地球上一点A的纬度是指以与地球赤

道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点/且与如垂直的平面.在点A处放置一个日

若辱面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°,则劈针与点A处的水平面所成角为

)

A.20°B.40°

C.50°D.90°

9.（2020浙江，19）如图，在三棱台ABC~DEF中,平面力。叨，平面

ABC,ZACB=ZACD=45°,DO2BC.

⑴证明：跖J_如;

（2）求直线如与平面〃比'所成角的正弦值.

D

C

R

考点4空间距离

10.（2019课标全国/,16）已知N/%=90°,尸为平面ABC外一点,PO2,点尸到N4"两边

AC,8。的距离均为次,那么尸到平面/8C的距离为.

11.（2019课标全国/,19）如图，直四棱柱力比》4区6〃的底面是菱

形,M=4,AB=2,ZBAD=Q0°,E,M,N分别是BC,防,4〃的中点.

⑴证明：/邮〃平面GDE;

⑵求点。到平面。龙的距离.

考点5几何体的表面积与体积

12.（2022全国甲文，10）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2n,侧面

SV

积分别为s甲和S乙,体积分别为人和/乙.若9=2,则券=（）

S乙P乙

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

13.（2022全国乙文，12）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的

球面上，则当该四棱锥的体积最大时,其高为（）

A-B.iChD*

3232

14.（2022新高考/,4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入

某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km：水位为海拔157.5

m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库

水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为（近心2.65）（）

A.1.0X109mB.1.2X109m:,

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

15.（2021全国甲理，11）已知4旦C是半径为1的球。的球面上的三个点，且力仁除1,

则三棱锥0/8。的体积为（）

A£BYCWDY

121244

16.（2020全国〃,10）已知△/勿是面积为迪的等边三角形,且其顶点都在球。的球面上.若球

4

。的表面积为16”，则。到平面力比'的距离为（）

A.V3B.-C.1D.—

22

17.（多选）（2022新高考〃,11）如图，四边形力比7?为正方形，友〃平面ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB.

记三棱锥E-ACD,AABC,的体积分别为匕上，%,则（）

R

A.%=2V2B.%匕

C.左/+%D.2匕=3匕

18.（2021全国甲文，14）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30n,则该圆锥的侧面积

为.

19.（2020全国〃7；15）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积

为.

20.（2021全国乙文，18）如凰四棱锥A48口的底面是矩形,B9_L底面内，"为a'的中点，且

PBLAM.

⑴证明：平面为ML平面PBD\

⑵若依=叱1,求四棱锥人力腼的体积.

考点6立体几何中的探究性问题

21.（2022全国乙文，18）如图，四面体/腼中，/〃1。,力仄皿N4厉=/呼£为47的中点.

⑴证明：平面如小平面ACD\

⑵设力庐盼2,ZJC3=60。，点尸在BD上,当的面积最小时,求三棱锥户力比'的体积.

D

4-

22.(2019北京，18)如图,在四棱锥I^ABCD^,用_L平面ABCD,底面力时为菱形,E为切的中

点.

(1)求证:施，平面PAC-,

⑵若g60°,求证：平面为8,平面PAE;

⑶棱加上是否存在点F,使得CF〃平面必£?说明理由.

三年模拟练

应用实践

1.（2022山西吕梁期末）如图，已知正方体力式》48G〃，依次连接正方体相邻面的中心，组成一

个正八面体,则该正八面体的体积与正方体的体积之比为)

A.1：3B.1：4

C.1：6D.1：8

2.（2022江西南昌第十中学期中）如图所示,在三棱锥中，PALPB,PALPC,且

为=3,除除4,除2,"是尸。的中点,DB^PB,E是48的中点，则异面直线应与刈所成角的余

4

弦值为()

A-iB筌

C4原

D

•65-T

3.（2020江西南昌莲塘第一中学期末）已知四棱锥648⑦的所有顶点在同一球面上，底面48⑦

是正方形且球心。在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16+16旧,则球0

的体积等于)

A乌n16V2-R

D.----------

33

「32缶064可

3,3

4.（多选）（2022广东广州二模）如图，圆柱的轴截面/版是正方形,£在底面圆周

上,A^BE,加北能少是垂足,G在BD上W2BG,则下列结论中正确的是)

A.AFLBD

B.直线应与直线力6所成角的余弦值为｝

C.直线庞与平面/腼所成角的余弦值为萼

D.若平面AFGO平面AB^l,则1//FG

5.(2022湖南永州第一中学期中)如图①,在直三棱柱ABC-A^Q中，物为4月的中点，已知

AB=A(=1,NABg44=2.

4

(1)求三棱锥4-/G"的体积；

⑵证明：身勿平面AQM-,

(3)将两块形状与该直三棱柱完全相同的木料按如图②所示的两种方案沿阴影面进行切割，将

木料一分为二,留下体积较大的一块木料.根据你所学的知识,请判断采用哪一种方案会使留下

的木料表面积较大,求出这个较大的表面积,并说明理由.

图①图②

6.(2020山东省实验中学一模)如图,在四棱锥人力比。中，底面ABCD是边长为2的菱

形，/%作60°,N/殴90°,平面4VL平面ABCD,点尸为棱功的中点.

⑴在棱46上是否存在一点£使得4尸〃平面也?若存在,求出点少的位置;若不存在,请说明

理由；

(2)当二面角-Q8的余弦值为彳时，求直线如与平面/腼所成的角.

迁移创新

7.(2020北京朝阳六校联考)在四棱锥P-ABCD中,平面4比41平面PCD,底面/用刀为梯形,

AB//CD,ADVDC,且力庐1,AD=DODI^2,ZPDO120°.

(1)求证

⑵求二面角的余弦值；

从①+A匕C,②?物③尸叱〃这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答；

⑶若"是棱为的中点，求证:对于棱比'上任意一点F,.奶与尸。都不平行.

答案全解全析

五年高考练

1.A连接力〃，在正方形力加4中，

由"为4〃的中点,可知皿ClADM,且M为皿的中点,山.

又,：N为的中点一•.MN//AB.

氏平面ABCD,助TQ平面ABCD,

.•.助V〃平面ABCD.

,.33_L平面/34,4次:平面ADDxAx,

：.ABLA,D,

•.36n/〃=4平面ABD、,

.故A正确.

2.B过£作EQICD于Q,连接BD,QN,BE,易知点N在劭上.•平面，平面ABCD,平面

£切0平面ABCD^CD,：.EQL^^ABCD,C.EQLQN,

同理可知BCLCE,设缪=2,易得欧=苗,好1,

贝IEN=y/EQ2+Q/V2=Vm=2,B^y/BC2+CF2=V4HT4=2V2.易知BE-BD,

又,:M为庞的中点，,BMLDE,

：.-EM2=y/8^1=y/7,:.BM^H>2=EN.

：.BM^EN.

又•.•点以N、B、£均在平面颇内，

：.BM,以，在平面BED内，又BM与RV不平行，

：.BM,⑻V,是相交直线,故选B.

3.证明⑴连接BD,B、D\.因为AB=BC,

所以四边形4BC0为正方形,故ACLBD.

又因为龙」平面/仇汉

所以AC工BB”所以4CJ_平面BBAD.

由于Rt平面BBDD,所以EFA.AC.

⑵如图,在棱44上取点G,使得/会2制,连接GD“FC“FG.

因为DB渺，呜AA”DD,AAt,

所以功4G,于是四边形功劭为平行四边形，

故AE//GD,.

因为R畤B、,4伍,BB\AAi,

所以FGAB,FGCD,四边形网7〃G为平行四边形，故GDJ/FC.,于是AE//FQ,

所以四点共面,即点G在平面/项内.

4.证明⑴因为E,产分别是AC,5。的中点,所以EF//AB,,又网平面ABXCX,曲u平面ABC,所

以〃平面ABiC}.

⑵因为8c，平面ABC,46u平面ABC,

所以BCLAB

又AB1.AC,区值平面阳C力比平面幽1AC=C,所以A5_L平面ABC又因为/比平面ABB”

所以平面/ACL平面ABB、.

5.ABD对于A,连接BC易得B[CLBC[,四边形48口为平行四边形，.•.8C〃4〃

二直线因与血所成的角为90°,.二A正确.

对于B,易得4A_L平面BBCC阅，

又B\CLBC\,ABCBeB”BC45u平面4A@J•平面43皿

又；Cie平面A^CD,

：.CA^BQ,

...直线因与囹所成的角为90°,，B正确.

对于C,连接4G,设4GC连接BO,

易得4G防，又B\D\nBBkB、,B[D{,BB、u平面

.•.4G_L平面跖〃〃...OB为BC在平面BBDD内的投影，

.•.NG6O即为直线8G与平面做〃〃所成的角，

在RtZXGW中,sinZCBO=^-=-,：.NG83300,AC错误.

tBC]2

对于D,易知①，平面ABCD,：.BC为BC\在平面ABCD内的投影,

NGa'即为直线8G与平面力所成的角，

易知NG8045°,，D正确.

6.A过尸作bG_L/C垂足为G,连接G£

结合题意可知/跖俏明4FEG^B,易知人72函所以aW£,

由最大角定理知BWY,

所以aWBW乙故选A.

7.D如图所示,连接BCeC£易知四边形力比；〃是平行四边形，...BC〃皿，.../。8尸（或其补角）

就是异面直线皿与"所成的角，设正方体的棱长为a,则BC、;也a,G片日为连接AC.BD,设

AC交即于点、0,连接0P,则8，平面ABCD,

,：庞匕平面ABCD,：.OPL0B,

.•.侬Ja2+俘a）=争.

在第中,CGS/PBC并;:某低吟

二N呼=三即直线PB与力〃所成的角为E

66

故选D.

8.B由题意作出如图所示的截面图，设所求角为

。一曷面

由图易知a=40°.故选B.

9.解析⑴证明：如图，过点，作〃交直线4。于点。，连接防.

由ZACD=45°,DOUC得CD=\[2CO,

由平面/皿，平面48c得平面/阳

所以DOLBC.

由ZACB=45°,B*C建CO得BOLBC,

所以比上平面BDO,故BCLDB.

由三棱台ABODEF得BC//EF,所以EF1DB.

(2)过点。作OHLBD,交直线加于点H,连接CH.

由三棱台ABC-DEF,得DF//CO,

所以直线以'与平面版所成角等于直线CO与平面或所成角.由比比平面BDO,得OHYBC,

故施5平面BCD,

所以/仇力为直线⑦与平面所成角.

设CD=2\[2,

由DO=OC=2,BO=BOy[2,得盼四，初雪，

所以sinN比啥=日，

因此,直线加与平面所成角的正弦值为日.

10.答案V2

解析设夕O_L平面/8。于。,阳1然于笈硝_勿于£连接您OF、OC,

•.•尸0,平面ABC,：.PO±AC,

又POCP方P,."CJ_平面POE,：.ACLOE,

同理有BC工OF,四边形OECF为矩形,

•:POPC旦PB=PF,

；.Rt△侬SRt△*

/.EOF(=yJPC2-P£2=l,

二四边形OECF是边长为1的正方形，.•.彼鱼，

在Rt△尸％中，PO=y/PC2-OC2=V2.

11.解析⑴证明：连接8c肥.因为，“分别为期，欧的中点，所以,监〃8c且，除韶C

又因为N为4。的中点,所以涧=14〃

由题设知48比;可得6c4〃

故MEND,因此四边形.楙施为平行四边形,MN//ED.又朝比平面G〃七所以期V〃平面QDE.

(2)过。作C6的垂线，垂足为〃

由已知可得DELBC,DELCC

所以应立平面QCE,故DELCH.

从而短平面C\DE,

故”的长即为。到平面6龙的距离.

由已知可得或1,G俏4,所以6序附

故(^―.

17

从而点。到平面的距离为岑.

12.C设甲、乙两个圆锥的底面半径分别为外，盘，高分别为无生母线长为，侧面展开图的

圆心角分别为。，£,,.,《包七，，力=2心又a1=2",£1=2"逅，.寸=2,又

a+£=2n,a=?,8丹.由a7=2nrx,£7=2n方得r^l,/.^=P^=4l^|=V10,

3333v乙扣符”2N1~r2

故选C.

13.C设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形4?⑦所在小圆半径为r,

当四边形力比》为正方形时,底面/比7?面积最大,为2/,设四棱锥的高为h,易知?+A2=l,

则唳棱惟“月><2/・A=^Vr2-r2-2h2^•?斗彳与噜当且仅当/=2沆即左咚时等

号成立,故选C.

14.C由题意可知,棱台的下底面面积S=140XlOMnr),棱台的上底面面积W=180X106(mJ),

棱台的高炉157.5-148.5=9(m),

故此棱台的体积片(S+同&+S)•h

=1x(140+V140x180+180)X10^X9

=3X(320+60V7)X10fi^1.437X109(m:!),

即增加的水量约为1.4X109m3.故选C.

15.A如图所示，由'可知，是以四为斜边的直角三角形，又知A(=B(^\,：.AB=^2,

.•.Rt△/a'的外接圆圆心为四的中点Q,半径理聋,连接00”

•.•点。为球心，平面49C即00、的长为。到平面力比'的距离.

在RtZSOQS中，OB=1,0、吟,

•••怀卜一倒当

xixfx当噜故选A.

o

16.C设等边■的边长为为外接圆半径为百球心。到平面力回的距离为力,球的半径为此

依题意得fa?=苧,解得小3(负值舍去)，

44

则△/6C的外接圆半径r=ya=V3.

因为球。的表面积为16n,即4n#=16况，

所以庐2.

由#=斤+/,得J22-(V3)2=l.故选C.

17.CD设力庐小2磔2,则K=-X-X2X2X2Al^=-X-X2X2X1=-,

323323

连接BD,交AC于M,连接FM,EM,

易知阱我,£沪旄,止3,A(=2y/2,

因为FM+E加E户,所以△勒昭为直角三角形，

故5k«^|xV3X遍=*所以吟­AO2,所以%匕+%2空3K,故选CD.

18.答案39n

解析设圆锥的底面圆半径为乙高为力，母线长为/.

由圆锥的体积片“力得力

母线长I*+%考,

.,.圆锥的侧面积为nz7=39n.

19.答案¥北

解析如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.

其中球心为0,设其半径为r,A(=3,OGL

：.AO、AC?-0住2=2企.

,：00\=0的r,：.A0=A0\-00\=2m-r,

又•：XAMMXAOC即二故3尸2a-r,...i.

0]CAC132

3

.•.该圆锥内半径最大的球的体积片gn•⑺苧

20.解析⑴证明：由于阳，平面勿41仁平面力比^则如，4协

又PBLAM,PBCPD=P,PB,弘=平面PBD,

所以4匕平面PBD,

因为4上平面PAM,所以平面必,打平面PBD.

⑵由⑴知4ML平面PBD,因为应七平面侬所以AMLBD,所以/始侪//盼90°,

因为四边形ABCD为矩形,所以/血比碗

所以乙阳加N4监=90°,所以N力防N4姒

则△的如△/（傲则

ABBM

又AB=Dt=l,"为"7的中点，所以AD=①

所以S^ABCITAB*AD=y/2,

所以/四棱推p-Anar^S矩形ABCD•PD^XV2X1=-^.

21.解析

⑴证明：'JAD=CD,AADB=ZBDC,BD=BD,：.^\ADB^/\CDB,：.AB=BC,

又少为“'的中点，

：.BELAC,..3分勿夕为4。的中点，，比L4C

又BECD序E,BE,跟平面BED,

平面BED,

又力上平面.•.平面颇，平面ACD.

⑵连接防结合⑴易得AeCF,

又£为〃1的中点，

：.EFVAC,易知当小L班时,"最短，此时5k4最小.

由⑴知小困

又AB=2,N4办60°a'为等边三角形，

：.AO2,B^y[3,易得小1,

...〃+就=4=砒

:,DEIBE,

过少作FHJLBE于H,则FH//DE,FHLAC,

又ACQB芹E,AC,跖z平面ABC,

平面ABC,

。，

VcosZ/^—BE=2-,/.Z/^60

：.FH=EF'sin60°正义圆工

224

5k^-7^|x|x2X2X^x|=^.

22.解析⑴证明：因为为，平面ABCD,以七平面ABCD,所以PALBD.因为底面ABCD为菱形,

所以BDLAC.因为PA^AOA,所以劭_L平面PAC.

⑵证明：因为阳，平面力切9,4正平面ABCD,所以PALAE.因为底面ABCD为菱形，ZABC=60°,

且E为切的中点,所以AELCD,所以MAE.又因为PACAB=A,所以4吐平面PAB.又因为

力比平面PAE,所以平面为81.平面PAE.

⑶棱阳上存在点F,使得CF〃平面PAE.

取厂为阳的中点，取G为必的中点,连接CF,FG,EG,则FG//AB,且FG^AB.

因为底面A8CD为菱形,且E为少的中点，

所以CE//AB,且CB^AB,

所以FG〃CE,旦FHCE,

所以四边形圆步为平行四边形,所以CF//EG.

因为涧平面PAE,跖=平面PAE,

所以CF〃平面PAE.

/?

三年模拟练

1.c该正八面体可以看成是两个四棱锥的组合体.设正方体的棱长为1,则正八面体的棱长为

+G)2=]，每个四棱锥的高为日所以正八面体的体积上2X^x(乎)2X|=巳,而正方体的

体积为1,所以该正八面体的体积与正方体的体积之比为1：6.故选C.

2.B取加的中点N,的中点G,连接AG,NG,AN,如图所示,

易知NG//BM,♦:屋PB,：.D是A9的中点，

4

又•••£是”的中点，，鹿是的中位线,

：.AN//DE,...N/VG(或其补角)为异面直线DE与胤/所成的角.

'：PALPB,PALPC,且PBCPOP,做女平面PBC,...B4_L平面PBC,

又•谓陟2,相抬1,二PB=4,PO4,

24

.•.在Rt△必N中，A^PA1+PN2=V32+22=V13,

在Rt△阳G中，AG=yJPA2+PG2=y/32+l2=V10,

在48尸。中，由余弦定理得cosZBPC=PB2+PC2-BC242+42-227

2PBPC2X4X48

在△/、改中，由余弦定理得A白人2+12-2X2x1x^=—,

\]82

AN+NGAG

.・.cosZ/AAvMv^=------------------

2AN-NG

2

_（vn）2+（当）_（旧）2_36

2xgx当521

...异面直线"与6"所成角的余弦值为警.

故选B

3.D由题意得,当四棱锥的体积取得最大值时,该四棱锥为正四棱锥.如图,设球0的半径为R,

则A(=2R,SO=R,所以该四棱锥的底面边长AB=V2/^,则有(或而常义白加以

J(V2/?)2-(y/?)2=16+16百，解得庐2位,所以球。的体积是:n旌:丝了.故选D.

s

4.AD对于A,由圆柱的性质得加，平面AEB,

•.•比平面/即，为_L反，又48是圆柱底面圆的直径，...四，能后4为u平面

DAE,力比平面DAE,.•.座_1_平面DAE,又平面DAE,：,EBLAF,又•：AF1DE,DECEFE,DEu平

面DBE,应b平面庞平面DBE,又二•施u平面DBE,：.AFVBD,故A正确；

对于B,过点G作GH〃DE交"于点H,连接AH,如图①，

图①

则(或其补角)就是直线应与直线”所成的角，设缶B芹1,则AD=A^y[2,

在Rt△板中,D^AD2+AE2=y[3,

,/GH//DE,DM2BG,：.GH=—•DB^.

BD3

在等腰RSABD中,BD=\/AD2+AB2=2,

o

又,：DUBG,：.GB=^.

在△48G中，4斤鱼，ZABG=~,

4

2

:.AG=GR+AR-2GB，AB-cosN力吐(I)+(V2)-2X|X72Xcos^=p

在RtZXZ"中，力后1,4AE废,EH=BE-^^《

2BD3

在中，/右+就办好，

4的acosN/法0,故B错误;

对于C,取4?的中点a连接DO,E0,如图②,

贝ijEOLAB,平面AEB,反七平面AEB,

：.DALEO,

又,：DACAB=A,为u平面DAB,/8u平面DAB,

.•.£0,平面DAB,又戊七平面DAB,：.E0LD0,

...N初。就是直线应与平面力腼所成的角，

设A片BE=1,贝ljAD=AB=y[2,：.£）^^3,E吟,

：.D0KDE2-E0呼,

TIP.—

，cosN破3冷得■=丹,故C错误；

DE736

对于D,设A斤则业工4斤鱼.

在Rt△9中,警=当

：.E^AE2-AF2=—,:.DRDE-EP^,

33

.DFDG2

"'DEDB3'

：.FG//EB,又比平面/郎弧平面AEB,

.•.bG〃平面AEB,

•.•平面AFG^平面45庐/,女平面AFG,

.•.人;〃1,故D正确.

故选AD.

5.解析（1）由题设，易知〃是直角三角形,

；•SA41clM弓]。.4月，

则^41-4。W=匕-4通川=5•SMIQM*2=9

⑵证明：连接4c交力G于点N,连接MN,

则点N为4。的中点，•.•〃为43的中点，

：.BXC//MN,又助平面ACM6a平面ACM

.•.8C〃平面AC、M.

（3）按方案1切割：/]TBC三七iBg-ABC，故体积较大的一块是四棱锥身-/CG4,其表面积

S=S四边形ACCIAJSACCIBI+SMCBI+SAAAIBI+SAA1cI%,

在中，AC=1,AB&AA：+&B广遮,A网++CC广遍,

：.Ae+ABl=B^,

则△/笫是以为直角的直角三角形，

•，.SA4cBi胃义1XV5=y,

/.5,=2+V2+—+1+1=Z+V2+—;

2222

按方案2切割:办ITBCI5IBICLABC，故体积较大的一块是四棱锥A「BCC'其表面积

+

S=SBCGB1+SACC[4[+SM[B]B+S441BC'^A/11Q，

在46附中，易知B(=<2,404左遮,则因为等腰三角

形,，SA8S「：XGJ(四2_囹得...£=]+2&+]+|+乂+2代

1+2

综上,^-51=4+2V2-|-V2~y=^~^>0,

，$>S,

.♦•按方案2会使留下的木料表面积较大,这个较大的表面积为4+2V2.

6.解析（1）在棱48上存在点区使得/尸〃平面尸位点£为棱的中点.

取AB的中点£用的中点Q,连接EQ,FQ,阳CE,

由题意得，用〃比'且F哈CD,AE//CD,且AB^CD,：.AE//FQ,且A俏FQ,

四边形力£8为平行四边形，

：.AF//EQ,又反匕平面PEC,力尺平面PEC,

，力尸〃平面PEC.

故在棱45上存在点E,使得/尸〃平面PCE,此时点E为48的中点.

(2)设PD-a,,：NZ吠90