【高中数学】向量的等和线(经典例题)

/I

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自强不息厚德载物

向量的等和线

【基本定理】

（一）面向量共线定理

已知a=@+〃双，若几+〃=1,则48,。三点

共线；反之亦然

（二）等和线

平面内一组基底丽丽及任一向量历,

赤=兄厉+"砺（为”W火）,若点P在直线48上或者

在平行于45的直线上，则4+〃=〃（定值），反之也成

立，我们把直线也9以及与直线平行的直线称为等和

线。

（1）当等和线恰为直线.小时，4=1;

（2）当等和线在。点和直线4&之间时，4£（0,1）；

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(3)当直线相在点。和等和线之间时，左e(l,+oo)；

(4)当等和线过。点时，k=0;

(5)若两等和线关于。点对称，则定值上互为相反数；

【解题步骤及说明】

1、等值线为1的线；

2、平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析

何处取得最大值和最小值；

3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务

必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移

固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通

过变换基底向量，使得需耍研究的代数式为基底的系数和。

引例L若点儿A。互不重合,P是4B,C三点所在平面

上的任意一点，且满足PC=xPA+卜尸瓦则A,三点共

线ox+y=1.

证明：Q)由x+y=1=4员。三点共线.

由x+y=1彳导PC-xPA+yPB=xPA4-(1-x)PB

^>PC-PB=x{PA-PB)^>BC=xBA.

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即反1，瓦!共线故4B,C三点共线.

⑵由4注。三点共线=*+＞，=1.

由4瓦。三点共线得氤,BA共线，即存在实数x使得

BC=xBA.

故定一方=M苏一而)=无=汨+(l-x)方.

令丁=1f，则有x+y=1.

引例2.在"AB所在平面上的点C满足

PC=xPA+j沟，且x+y=2，请指出点C的位置.

解:令PC=2PD=(x^y)PD，则

PD=-^—PA+^—PB.

x+yx+y

由二一+-^―=1得点4Ao共线，即点D在直线,4B

上.

再由PC=2PD知点C在直线4〃上，其中

PA'=2PA,PB'=2PB.如下图：

让梦想起飞让成绩飞扬!-3-

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引例3.在"AB所在平面上的点。满足

PC=xPA^yPB，且2x+3^=5，请指出点。的位置.

蜂令PC=5PD=(2A+3y)PD，则

历=—^+」一方，

2x+3y2x+3y

即，赤=2'网+3j函其中

2x+3y2x+3y

网=g丽西=g厢.

由-2a-+二2—=1得点儿,乌,。共线,即点。在直

2x+3y2x+3y

线4g上.

让梦想起飞让成绩飞扬!-4-

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再由正=5而知点C在直线4员上，其中

P4=5P&PB2=5尸4.如下图：

例1.若AR4B是边长为6的等边三角形，点。满足

PC=xPA+yPB,且2x+3y=4,其中x>Qy>0,则

IPC|的取值范围为.

解:令PC=4PD=(2x+3y)PD厕

■xy二一

PD=--------PA+---PB,

2x+3y2x+3y

即,方=/7-豆+丁二函，其中

2r+3»2x+3y

・1—1—■

PA^^-PA,PB^-PB.

.2x3y

由-------+―-=i知点D在线段44上(不含点

2x+3y2x+3y

4,4),如下图:

让梦想起飞让成绩飞扬!一5一

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由于在耳中尸41=3,1尸4|=2,“尸片=60。，且点

D在线段,峭上不含端点4,用）,因此

IPH凶PD\<\己幻,其中尸，是边44上的高.又由

丽2=（两—河2=喏+可_2西.可=7可

得1441=近.再由

s必2=：1忍1.产用应。乙卡片=；14科|♦|月，1可

得|。，|=半匚所

以,N^WP0V3.

7

让梦想起飞让成绩飞扬!一6一

自强不息厚德载物

再由所=4万可知」一0尸C|<12.

7

例2.若点C在以尸为圆心,6为半径的弧，超上，目

PC=xPA+yPB厕2x+3y的取值范围为

解:令记=(2x+3y)无厕

4=—^-⑸+=一方，

2x+3y2x+3y

即，丽=—^—网+—^—函，其中

2x+3y2x+3y

—,1—•—,1—•

P4=-PA,PB】=-PB.

1213

由--2'v-+-=1知点。在线段&月上(含点

2x+3y2x+3y

4,4),如下图：

让梦想起飞让成绩飞扬!-7-

自强不息厚德载物

由于在"A出中,|尸4|=3,1PBl|=2.乙4尸⑸=120°，且

点。在线段4与上（含端点4,司）,因此有

IPH凶PD\<,P4|,其中是边上的高.又由

丽二二（丽-而）2=时+网2-2函•囤=19可

得14月|=ja由

8叩=：1叼”做人出夕出=；14印♦|尸HI可

得IP"1=噜.

3-J57

所以，土-WP0W3.

19

再由无=（2x+3y）PD可知

-、IP6s

2x+3y=___；—xe[2,

10。I*

例3.如图,如，砺是圆。上的三点,且线段CO的延长线

与线段BA的延长线交于圆。外的点。，若

OC="04+tiOB厕m+n的取值范围是.

让梦想起飞让成绩飞扬!-8-

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解:令OC=AOD，则由点。在圆。外，且在的延长线

上可知2vT.

由无=丸历=/%+7加彳导历=2勿十二砺.

A2

由R4。三点共线可得=1=〃7+〃=2<-1.

例4.已知\ABC的外心O满足AO=xAB-byAC.若

=6,4C=10,且2x+1Oy=5厕cosZBAC=

解:当x=0时j=1.此时，由AO=xAB+yAC可得

2

AO=-AC.

2

故\ABC是以AC为斜边的直角三角形，则

cosABAC=.

AC5

当xH0时，由9=xAB+yK彳导

让梦想起飞让成绩飞扬!-9-

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—►2x5—►1—•

/。=三（叫+2）中。）.

、，■■•■•，・♦，•--♦

如图,设二他=4E;-,4C=/F则|/E|=15,|/F|=5.

22

由彩=全存+2^赤，及=+2y=l知点及O尸共

线.

又由不=!就知/为/。中点，故O4c.

2

J/71

所以,cos/^4c===上.

AE3

31

综上可知,cosZ.BAC=一成cosZ,BAC=-.

53

让梦想起飞让成绩飞扬!-10-

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例5.已知点O是〜1BC的夕樱圆圆心目.48=3HC=4若

存在非零实数X、y,使得益=工而+/，且x+2y=l,

贝!Jcos/8/C=.

解答：取.4C中点D,则有

Ad=xAB+yAC=xAB4-2yAD，而x+2y=l,得点

B,O,D三点共线，已知点O是"8C的外心，可得

BDLAC，故有8。=月8=3,月。=4,求得

2

cosZ.BAC=—.

3

例6.设。3BC的外心（三角形外接圆的圆心）.若

・1.1.

AO=-AB^-AC,则乙即C的度数为（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

让梦想起飞让成绩飞扬!-11-

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解答:取.4C中点。，则有而=；砺+1•莅得点8,OQ

•J

三点共线，已知点o是必BC的外心，可得应)_L,4C,即

有AO=BO=2DO,故可求得NB47=60。.

例7.已知MOB,点P在直线.48上，且满足

同

则同=(

解答：由已知无==则+，为，点P在直线AB上,

彳导乏+/=1,解彳导，=-1或，=:.当，=一1时，可彳导

1+2/2

—1—1—网1

OA=-OP+-OB，此时A为PB中点，;当

22PB\2

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/时，可彳导砺=:砺+:砺，此时P为AB中点，

222

回1

网=,

2

例8.已知。为A/WC的外心，40=2〃,AC=-(a>0),

a

440=120；若,而=》京+»/(xJ为实数)，则

X+V的最小值为一.

解答：如图，设490叱=石，EO=m,AO=R，则

易知而=—^一次=R■乐+必怒)，其中

R-mR-m

R-R

/+必=1,mw子R，故由已知可得x+y=

R-m

所求取值范围是［2.+8).

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例9.已知。为A4BC的外心，

AB=4,AC=2,ABAC=\20\若

AO=\AB+A2AC,则4+4=

解法1：如图，设后，EO=m,AO=R,

/产JL5。于F点，。6,5。于6点，则易知

於=/-亚=/~（玉乐+必，其中

K-mR—m''

i=l,由已知可求得8=孚*=半，故

R_AF^OG13

可求得4+4=1+生=

R-mAFAF6

AO-AB=A.AB2+JL.AC-AB

解法2:，得

而♦/=4万•万+4元?

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4=2

’8=164-44

[2=-44+44,解得；o，故O

4n=Z

解法3:设/（0,0）,3（4,0），外心。是

g26g工

中垂线x=2和/C中垂线歹=----Xd的父点

3------3

小竽｝得珂邛）

,诟=(4.0),

13

故4+4=L

6

让梦想起飞让成绩飞扬!_15_

自强不息厚德载物

最小值立.

2

例11.如图，在直角梯形,ADLAB,

ABIIDC,AD=DC=\,月8=2，动点尸在以点。为圆

心，且与直线8。相切的圆上或圆内移动，设

箫二%赤+〃砺（2，从sR）,则X+"取值范围

是.

让梦想起飞让成绩飞扬!-16一

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解答：设,4Pn30=E,AE=m,AP=〃,则

AP=-^AE=­（xAB^yAC],其中x+y=l,得

mm'）

n=1+当无，上表示点P到BC边的

2+//=哈

m2y（5

5

-2忖

2巨离，0,—，得所求取值范围是[L2].

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自强不息厚德载物

例12.如图,在扇形OAB中,ZAOB=60；C为弧AB上的

一个动点.若^^xOA-^yOB/则x+3y的取值范围是_

[13]

解答：如图，在OB上取一点D,使OB=3OD,设

OC^,AD-E,OE=m,EC=//,则有

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石Kw+m^n

OC=---OE=---（可物+必历），其中

*1+%=1,另有OC=.10+)05=.m+3}OZ),得

-m十九,n一」.一.—一人,力一

x+3y=-------=1+—，易知当点C和点A重合时一达

mmm

最小值0,当点C和点B重合时达最大值2,故

m

x+3ye[1,3].

例13.在A4BC中，Z^C=90°,以AB为一边向

入必。外作等边4版）,若々8=2乙4。。，

而=2否+从就，贝!J2+〃=.

让梦想起飞让成绩飞扬!-19-

自强不息厚德载物

解：如图，设点D关于AC的对称点为。：且。交/。

于点E.设〃C4=，，则

ZBCZ)=20,乙CD'Q=90。一/Z.CBD=150°-3a在

MXD\ABCD中利用正弦定理得

CD_BD_DD'_CD，曰

sin(150°-3^)sin20sin20sin(90°—0)而将

sin(15O°-36?)=sin(9O°-<9)，从而150°-3。=90°—夕

或150°-3。+90°-。=180°从而得6=15°显然

例14.已知中，AB=4,AC=2,若

|尢石+(2-22)图的最小值是2,则对于■C内一点

P,⑸•(而+无)的最小ffiJS.

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自强不息厚德载物

解：

卜赤+(2-22)画二卜乐+(T)・2园二卜刀+(1-勾画

的最小值是2,

设毋=4通+(1-之)而，则点E在直线AD上，

AB=4,AC=2,AD=4,故当AE长度最小为2时，E为

BD中点，,

得NB4C=120。，取BC中点F,连结AF,取AF中点G,

PA'PB+PC)=2PA,PF=2、PG-GAj=2PG――AF

当点P与点G重合时，有最小值

，病」同砌

2人,2

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