2021-2022学年河北省保定市唐县八年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年河北省保定市唐县八年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（本大题16小题，共42分。1〜10小题，各3分；11〜16小题，各2分。在

每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。请将正确选项代号填涂在答题卡中相应

位置里）

1.现实世界中，对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对

称图形的是（）

13

A爱.我C.中D,

2.使分式必有意义的条件是（）

A.x=5B.xWOC.-5D.xW5

3.如图所示四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是

4.李老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有6cm,8cm,10c机和14cm四

种规格，小雨同学已经取了6c机和8cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形

6.下列运算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.ai,ai=cPC.(ab)2=a2b2D.(a2)3=a5

7.在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子

游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放

的最适当的位置是在△ABC的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点

8.如图，已知ZMBA=ZNDC,下列条件中不能判定△ABM四的是（)

A.NM=/NB.AM//CNC.AB=CDD.AM=CN

9.如图，在AABC中，AB^AC,AB边的垂直平分线。E交AC于点O.已知△BOC的周

长为12,BC=4,则AB的值为（）

A.12B.4C.8D.16

10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形CDE,与BE交于点O,与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连

接PQ.以下结论错误的是（）

A.ZAOB=60°B.AP=BQC.PQ//AED.DE=DP

11.如图，在△ABC中，AC=BC,ZA=40°,观察图中尺规作图的痕迹，可知NBCG的

度数为（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

12.解分式方程上+等=3时，去分母后变形为（）

X-11-X

A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)

C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)

13.风筝为中国人发明，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源.如

图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知AB=AD,ZB=ZD,ZBAE=ZDAC,那么

AC与AE相等.小飞直接证明AABC/△AQE,他的证明依据是（）

B.SASC.ASAD.AAS

14.随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升.某书店分别用2000

元和3000元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，则两次进价相同.该书店

第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（）

.20003000口20003000

xx-50x-50x

「20003000n20003000

xx+50x+50x

15.如图，在△ABC中，NABC和NACB的平分线相交于点O,过点。作E/〃BC交4?

于E,交AC于R过点。作ODLAC于，下列结论正确的个数有（）

①EF=BE+CF；②设OD=m,AE+AF=n,则S^AEF=mn-,③/BOC=90°+^-ZA；④

点O到/BAC两边的距离相等；

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.如图1,已知AB=AC,。为/BAC的角平分线上面一点，连接8。，CD；如图2,已

知AB=AC,D、E为/A4C的角平分线上面两点，连接BD,CD,BE,CE；如图3,已

知AB=AC,D、E、/为NBAC的角平分线上面三点，连接BO,CD,BE,CE,BF,

CF；依次规律，第〃个图形中有全等三角形的对数是（）

BBB

图2图3C

Cn(n+l)

B.2n-1

,-2~D.3(n+1)

二、填空题（本大题共4个小题。每小题3分，共12分。把答案写在答题纸相应横线上）

17.PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示

为.

18.等腰三角形一个角为50°,则此等腰三角形顶角为.

19.如图，已知乙4。2=30°,点P在。4上，且。尸=6,点尸关于直线02的对称点是Q,

贝UPQ=.

20.我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭

示了（a+b）"（"为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的

数都是1,其余每个数为它的上方（左右）两数之和.

例如：（a+b）l=a+b,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2；

（a+匕）2=a2+2ab+b2,它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1,系数分别为1,2,

1,系数和为4；

（a+b）3=〃+3通+3加+见它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2,系数分别为

1,3,3,1,系数和为8；….

则Q+b）4的展开式中系数和为.

1

11

121

1331

三、解答题（本大题共6小题，总共66分。解答应在答题纸相应位置写出文字说明、证明

过程或演算步骤)

21.对于实数a、b,规定新运算''做"：a^b=2a+b.如：1稼3=2Xl+3,2禽(-5)=2

X2+(-5)=-1.根据上面的定义，请你解决下列问题：

(1)列式计算：

①-3稼2；

②丑。夫\

(2)将式子x2稔(-8)分解因式.

22.(1)已知，如图所示的大长方形是由四个不同的小长方形拼成，我们可以用两种不同

的方法表示大长方形的面积：①x2+，x+qx+pq,②(x+p)(x+q),因此x?+px+qx+pq=

(x+p)(x+q),请据此回答下列问题：

I.因为：x2+(p+q)x+pq=®+px+qx+pq

所以：x2+(p+q)x+pq=(因式分解)；

II.利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式进行因式分解：

①/+3x+2=%2+(2+1)x+2Xl=(x+2)(x+1)；

②<-以-5=%2+(1-5)x+lX(-5)=.(请将结果补充出来)

III.请利用上述方法将下列多项式分解因式：%2-9%+20(写出分解过程).

(2)先化简，再求值：立竺里+年2-+3,选择一个你喜欢的x的值代入其中，并

X2-4X"+2X

求值.

1_______Q_______

23.如图1所示，ZA=ZB=50°,P为A2中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的

任意一点，连接并使的延长线交射线3。于点N,设/3PN=a.

(1)求证：△APM也△BPN.

(2)当MN=2BN时,求a的度数.

(3)如图2,过尸点作尸交AC于。，连接BQ,判断△ABQ的形状并证明.

MA

即

24.如图所示，AABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）.

（1）直接写出点A的坐标A（，）；

（2）画出AABC关于y轴对称的△AiBiG；

（3）在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出山Ci的面积.

（4）在直线y轴上找一点尸，使得尸A+PC最小，请画出点P.（用虚线保留画图痕迹）

25.学习“分式方程应用”时，老师出示例题：为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用

400元、600元购进两批单价相同的消毒液，第二批消毒液的数量比第一批多20瓶，请

问药店第一批消毒液购进了多少瓶？

唐唐和瑶瑶根据自己的理解分别列出了如图所示的两个方程.根据以上信息，解答下列

问题：

（1）唐唐同学所列方程中的x表示，瑶瑶同学所列方程中的y表示；

(2)两个方程中任选一个，写出它的等量关系；

(3)利用(2)中你所选择的方程，解答老师的例题.

瑶瑶

26.(1)尝试探究：如图①，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,AF是过点A的一条

直线，且8,C在AE的同侧，于CELAE于E,则图中与线段AD相等的线

段是;DE与BD、CE的数量关系为.

(2)类比延伸：如图②，ZABC=90°,BA=BC,点A,B的坐标分别是(-2,0),

(0,3),求点C的坐标.

(3)拓展迁移：在(2)的条件下，在坐标平面内找一点尸(不与点C重合)，使△248

与AABC全等.请在图②中画出并直接写出点尸的坐标.(一种即可)

参考答案

一、选择题（本大题16小题，共42分。1〜10小题，各3分；11~16小题，各2分。在

每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。请将正确选项代号填涂在答题卡中相应

位置里）

1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对

称图形的是（）

13

A爱.我C.中D.华

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可.

解：A、不是轴对称图形，不合题意；

8、不是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

。、不是轴对称图形，不合题意；

故选：C.

2.使分式必有意义的条件是（）

x-5

A.x=5B.xWOC.xW-5D.xW5

【分析】根据分式有意义的条件可得尤-5W0,再解即可.

解：由题意得：x-5#0,

解得：xW5,

故选：D.

3.如图所示四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（）

【分析】根据三角形高的画法知，过点8作AC边上的高，垂足为E,那么线段BE是4

ABC的高，再结合图形进行判断.

解：由题意，线段BE能表示三角形ABC的高时，8ELAC于E.

A选项中，BE与AC不垂直；

C选项中，BE与AC不垂直；

D选项中，BE与AC不垂直；

线段BE是AABC的高的图是B选项.

故选：B.

4.李老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有6cm,8cm,10cm和14cm四

种规格，小雨同学已经取了6s和8cM两根木棍，那么第三根木棍不可能取（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.14cm

【分析】先设第三根木棒的长为xcm,再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找

出不符合条件的x的值即可.

解:设第三根木棒的长为我加，

已经取了6cm和8cm两根木棍，

.,.8-6<x<6+8,即2Vx<14.

...四个选项中只有。不在其范围内，符合题意.

故选：D.

5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形

【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解.

解：设所求多边形边数为“由题意得

（»-2）780°=360°X2

解得n=6.

则这个多边形是六边形.

故选：C.

6.下列运算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.o''o'=cPC.（ab）2=crb2D.（层）3=45

【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相

力口，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；

选项B根据同底数幕的乘法法则判断即可，同底数累的乘法法则：同底数累相乘，底数

不变，指数相加；

选项C根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把

所得的募相乘；

选项。根据察的乘方运算法则判断即可，幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

解：A.a2+a2=2a2,故本选项不合题意；

B.a3,a3=a6,故本选项不合题意；

C.（ab）2=02b2,故本选项符合题意；

D.（层）3=*,故本选项不合题意.

故选：C.

7.在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子

游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放

的最适当的位置是在△ABC的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点

【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的

点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上.

解：：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，

凳子应放在AABC的三条垂直平分线的交点最适当.

故选：C.

8.如图，已知MB=ND,下列条件中不能判定△ABM名△CBN的是（）

A.ZM=ZNB.AM//CNC.AB=CDD.AM=CN

【分析】根据三角形全等的判定定理，有A4S、SSS,ASA,SAS四种.逐条验证即可.

解：A、ZM=ZN,符合ASA,能判定△ABM0△CON,故A选项不符合题意；

B、AM//CN,得出/MAB=NNCD,符合AAS,能判定附△CDN,故B选项不符

合题意.

C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABM四△CDN,故C选项不符合题意；

D、根据条件AM=CN,MB=ND,ZMBA=ZNDC,不能判定△ABM四△CDN,故D

选项符合题意；

故选：D.

9.如图，在△ABC中，AB=AC,AB边的垂直平分线OE交AC于点。.已知△BOC的周

长为12,BC=4,则AB的值为（）

A.12B.4C.8D.16

【分析】根据线段垂直平分线性质得出求出的周长为AC+3C,代入求

出即可.

解：边的垂直平分线DE,

AD—BD,

的周长为12,BC=4,

：.BC+BD+DC=U,

：.AD+DC+4=12,

.\AC=8,

.,.AB=AC=8,

故选：C.

10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,£重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC

和等边三角形CUE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点尸，BE与CD交于点、Q,连

接尸。.以下结论错误的是（）

C.PQ//AED.DE=DP

【分析】利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到/C8E=/OEO,

于是NA02=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=6Q°,得出A正确；

根据aCQB之(ASA),得出B正确；

由△ACO会zXBCE得/CBE=/ZMC,加之/AC8=/OCE=60°,AC=BC,得至(JZiCQB

g△CPA(ASA),再根据/PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由/PQC=/OCE,

根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；

根据/Z)QE=/£TCQ+/CEQ=60°+ZCEQ,/CDE=6Q°,可知/OQEW/CDE,得

出。错误.

解：：等边△ABC和等边△CZJE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE^6Q°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,

在△AC。与△BCE中，

'AC=BC

<ZACD=ZBCE-

CD=CE

AACD^ABCE(SAS),

：.ZCBE=ZDAC,

又,：NACB=NDCE=6Q°,

AZBCD=60°,即/ACP=/BCQ,

又：AC=BC,

在aCQB与ACPA中，

，ZACP=ZBCQ

<AC=BC，

ZPAC=ZCBQ

：.ACQB^ACPA(ASA),

：.CP=CQ,

又：/PCQ=60°可知△PC。为等边三角形，

ZPQC=ZDCE=60°,

J.PQ//AE,

故C正确，

VACgB^ACPA,

：.AP=BQ,

故3正确，

,CAD^BE,AP=BQ,

：.AD-AP^BE-BQ,

即DP=QE,

VZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+/CEQ,ZCDE=60°,

：./DQE#NCDE,故。错误；

VZACB=ZDCE=60°,

ZBC£>=60°,

•・•等边△DCF,

NEDC=60°=/BCD,

J.BC//DE,

:・NCBE=/DEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=/DEC=60°,

故A正确.

故选：D.

11.如图，在△ABC中，AC=BC,NA=40。，观察图中尺规作图的痕迹，可知NBCG的

度数为（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CGLAB则CG平分NACB,利用NA

=N5和三角形内角和计算出NAC8,从而得到N5CG的度数.

解：由作法得CGLA5,

■:AC=BC,

・・・CG平分NAC3,NA=N8,

VZACB=180°-40°-40°=100°,

AZBCG=-ZACB=50°.

2

故选：c.

12.解分式方程3+髻=3时，去分母后变形为()

x-11-x

A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)

C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)

【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力.观察式子X-1和1-x

互为相反数，可得l-x=-(x-1),所以可得最简公分母为X-1,因为去分母时式子

不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母.

解：方程两边都乘以X-1,

得：2-(尤+2)=3(x-1).

故选：D.

13.风筝为中国人发明,相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成,是人类最早的风筝起源.如

图，小飞在设计的“风筝”图案中，已知/B=ND,ZBAE=ZDAC,那么

AC与AE相等.小飞直接证明他的证明依据是()

【分析】根据已知/BAE=/D4C,证出/BAC=/D4E即可解答.

【解答】证明：：/胡石二/加。，

ZBAE+ZEAC=ZDAC+ZEAC,

：.ZBAC=ZDAE,

•：AB=AD,/B=ND,

:.AABC公AADE(ASA),

：.AC=AE,

故选：C.

14.随着电影《流浪地球》的热映，其同名科幻小说的销量也急剧上升.某书店分别用2000

元和3000元两次购进该小说，第二次数量比第一次多50套，则两次进价相同.该书店

第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是()

A20003000口20003000

xx-50x~50x

「20003000C20003000

xx+50x+50x

【分析】该书店第一次购进了套，则第二次购进（x+50）套，根据两次进价相同列出方

程.

解：该书店第一次购进x套，则第二次购进（x+50）套，

依题意得：空”=①罂.

xx+50

故选：C.

15.如图，在△ABC中，/ABC和的平分线相交于点。，过点。作所〃交AB

于E,交AC于尸，过点。作ODLAC于。，下列结论正确的个数有（）

®EF=BE+CF；②设OD=m,AE+AF=n,则S^AEF=mn-,③/BOC=90°+^-ZA；④

点0到/B4C两边的距离相等；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由在△A2C中，/ABC和/AC2的平分线相交于点O,根据角平分线的定义与

三角形内角和定理，即可求得NBOC=90°+//A正确；由平行线的性质和角平分线的

定义得出△BEO和△CR9是等腰三角形得出ER=BE+CF正确；由角平分线的性质得出

点。到△ABC各边的距离相等，正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可

求得③设OD=m,AE+AF=n,则限烟=方""，错误.

解：在△A2C中，NA3C和/ACB的平分线相交于点O,

ZOBC=~ZABC,ZOCB=~ZACB,ZA+ZABC+ZACB=180°,

22

；./OBC+NOCB=90°-—ZA,

2

AZBOC=180°-（/OBC+NOCB）=90°+^-ZA；故③正确；

在AABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点O,

ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

•：EF//BC,

ZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

：.ZEOB=ZOBE,ZFOC=ZOCF,

:.BE=OE,CF=OF,

：.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正确;

过点。作。AB于作ONLBC于N,连接。4,

在△ABC中，ZABC和ZACB的平分线相交于点。，

：.ON=OD=OM=m,

SAAEF=SAAOI+SAAOF=OM+-^-AF*OD--^-OD,(AE+AF)=-^-mn-故②错误；

2222

•.•在△ABC中，/ABC和NACB的平分线相交于点O,

点0到△ABC各边的距离相等，

点O到/BAC两边的距离相等，故④正确.

故选：C.

16.如图1,已知AB=AC,。为NBAC的角平分线上面一点，连接3D,CD；如图2,已

知AB=AC,。、E为/BAC的角平分线上面两点，连接80,CD,BE,CE；如图3,已

知AB=AC,。、E、歹为/BAC的角平分线上面二点，连接BO,CD,BE,CE,BF,

CF；依次规律，第”个图形中有全等三角形的对数是()

A.nB.2n-1C.----------D.3(n+1)

2

【分析】根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出△ABO

空△AC。，LBDE冬ACDE,有3对三角形全等；图3中有6对三角形

全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数.

解：YA。是N54C的平分线，

：.ZBAD=ZCAD.

在△A3。与△AC。中，

AB=ACf

ZBAD=ZCAD,

AD=AD,

：.AABD^AACD.

・••图1中有1对三角形全等；

同理图2中，△回£1丝/XACE,

：.BE=EC,

•・・AABD^AACD.

:・BD=CD,

又DE=DE,

:・ABDEmACDE,

・••图2中有3对三角形全等；

同理：图3中有6对三角形全等；

由此发现：第〃个图形中全等三角形的对数是n1差1）.

故选：C.

二、填空题（本大题共4个小题。每小题3分，共12分。把答案写在答题纸相应横线上）

17.尸加2.5是大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示

为2.5义10-6.

【分析】因为0.0000025VI,所以0.0000025=2.5X10-6.

解：0.0000025=2.5X106；

故答案为：2.5X10-6.

18.等腰三角形一个角为50°,则此等腰三角形顶角为50。或80°.

【分析】已知没有给出50。的角是顶角和是底角，所以要分两种情况进行讨论.

解：分为两种情况：

当50°是顶角时，顶角为50°

当50°是底角时，其顶角是180°-50°X2=80°

故填50°或80°.

19.如图，已知乙4。8=30。，点尸在。4上，且。尸=6,点尸关于直线。8的对称点是

则PO=6.

□

【分析】连。。，由点尸关于直线02的对称点是Q,根据轴对称的性质得到垂直平

分PQ,则NPOB=/QOB=30°,OP^OQ,得到△PO。为等边三角形，根据等边三角

形的性质得PQ=PO=6.

解：如图，连OQ,

:点P关于直线OB的对称点是Q,

.•.08垂直平分PQ,

:./POB=NQOB=30°,OP=OQ,

：.ZPOQ=60°,

:AP0Q为等边三角形，

：.PQ=PO=6.

故答案为6.

A

20.我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭

示了（a+b）""为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的

数都是1,其余每个数为它的上方（左右）两数之和.

例如：（“+b）.a+b,它有两项，系数分别为1,1,系数和为2；

（.a+b）2=a2+2ab+b2,它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1,系数分别为1,2,

1,系数和为4；

Q+b)3-3+3“2b+3加+加，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2,系数分别为

1,3,3,1,系数和为8；….

则(a+b)4的展开式中系数和为16.

1

11

121

1331

【分析】根据数字找规律即可解答.

解:(a+b)l=a+b,系数分别为1,1,系数和为2,

(a+ft)2=a2+2ab+b2,系数分别为1,2,1,系数和为4,

(a+Z?)3=ai+3a2b+3ab2+b3,系数分别为1,3,3,1,系数和为8,

(a+b)"展开式的系数和为：2",

所以(。+6)4的展开式中系数和为24=16.

故答案为：16.

三、解答题(本大题共6小题，总共66分。解答应在答题纸相应位置写出文字说明、证明

过程或演算步骤)

21.对于实数a、b,规定新运算"会"：a^b=2a+b.如：1爽3=2Xl+3,2禽(-5)=2

X2+(-5)=-1.根据上面的定义，请你解决下列问题：

(1)列式计算：

①-3禽2；

②冗。稼；

(2)将式子N金(-8)分解因式.

【分析】(1)①根据新定义直接计算可得答案；②先计算现整数指数塞再根据新定义计

算可得答案；

(2)先根据新定义进行变形，再利用平方差公式分解因式即可.

【解答】(1)①-3稼2

=-6+2

=-4；

②武金(A)1

-1

=2Xir°+

=2X1+3

=5；

(2)x2食(-8)

=2Xx2+(-8)

=2(炉-4)

=2(x+2)(x-2).

22.(1)已知，如图所示的大长方形是由四个不同的小长方形拼成，我们可以用两种不同

的方法表示大长方形的面积：©J^+px+qx+pq,②(x+p)(x+q),因此x2+px+qx+pq=

(x+p)(x+q).请据此回答下列问题：

I.因为：x2+(0+4)x+pq=x1+px+qx+pq

所以：尤2+(p+q)x+pq=(无+2)(x+q)(因式分解)；

II.利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式进行因式分解：

@x2+3x+2=x2+(2+1)x+2X1=(x+2)(尤+1)；

②/-4%-5=^+(1-5)x+lX(-5)=(x-5)(x+1).(请将结果补充出来)

III.请利用上述方法将下列多项式分解因式：x2-9x+20(写出分解过程).

(2)先化简，再求值：立竺里+年2-+3,选择一个你喜欢的x的值代入其中，并

X2-4X"+2X

求值.

1_______Q_______

【分析】(1)I通过面积找到代数恒等式，完成分解.

II,ill,可以利用I中结论分解.

(2)先进行分式混合运算，再求值.

解：(1)I.①，②都表示同一个图形面积，

.*.x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

故答案为：(x+p)(x+夕).

II.②•.”2-4x-5=d+(1-5)x+1X(-5)=(x-5)(x+1).

故答案为：(x-5)(x+1).

III.x2+[(-4)+(-5)]x+(-4)X(-5)

=(x-4)(x-5).

2

(x-2)x(x+2)|3

(x+2)(x-2)，(x-2)

=x+3.

由题意，(尤+2)(尤-2)WO,xWO

；.xW±2,尤#0.

取x=l,原式=1+3=4.

23.如图1所示，ZA=ZB=50°,尸为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的

任意一点，连接并使的延长线交射线8。于点N,设NBPN=n.

(1)求证：AAPM四八BPN.

(2)当MN=2BN时，求a的度数.

(3)如图2,过尸点作尸交AC于Q,连接8。，判断△ABQ的形状并证明.

图I

【分析】(1)根据AAS证明：AAPM必BPN；

(2)由(1)中的全等得：MN=2PN,所以PN=BN,由等边对等角可得结论；

(3)由全等三角形的性质可得AP=2P,由线段垂直平分线的性质可得2。=4。，可得

结论.

【解答】（1）证明：••,尸是AB的中点，

：.PA=PB,

在△APM和△BPN中，

2A=/B

<PA=PB，

ZAPM=ZBPN

,△APMmABPN（ASA）；

（2）解：由（1）得：AAPM/△BPN,

：.PM=PN,

：.MN=2PN,

\"MN=2BN,

：.BN=PN,

.,.a=ZB=50°；

（3）△AB。是等腰三角形，理由如下：

由（1）知：AAPM咨ABPN,

J.AP^PB,

'：PQ±AB,

PQ是线段AB的垂直平分线，

：.QB=QA,

：.AABQ是等腰三角形.

24.如图所示，△ABC在平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为1个单位长度）.

（1）直接写出点A的坐标A（-2,3）；

（2）画出△ABC关于y轴对称的△AllG；

（3）在（1）的条件下，结合你所画的图形，求出△4BC1的面积.

（4）在直线y轴上找一点尸，使得尸A+PC最小，请画出点尸.（用虚线保留画图痕迹）

T

【分析】(1)根据坐标解答即可；

(2)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得;

(2)利用割补法求解可得；

(3)连接AC,交y轴于点尸即可.

解：(1)A(-2,3)；

故答案为：-2；3；

(2)△ABC关于y轴对称的如图所示：

S

(3)AA1B1C1=3.5；

(4)连接AC交了轴于点尸,

点尸的位置如图所示.

25.学习“分式方程应用”时，老师出示例题：为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用

400元、600元购进两批单价相同的消毒液，第二批消毒液的数量比第一批多20瓶，请

问药店第一批消毒液购进了多少瓶？

唐唐和瑶瑶根据自己的理解分别列出了如图所示的两个方程.根据以上信息，解答下列

问题：

（1）唐唐同学所列方程中的X表示第一批消毒液购进的数量，瑶瑶同学所列方程

中的y表示消毒液的单价；

（2）两个方程中任选一个，写出它的等量关系；

（3）利用（2）中你所选择的方程，解答老师的例题.

瑶瑶

【分析】（1）根据题意即可得到结论；

（2）根据药店购进两批消毒液的单价相同解答即可；

（3）①解：设第一批消毒液购进x瓶，由题意得到方程为驷②选瑶瑶所列

xx+20

方程型Q-=20.解方程即可得到结论.

y-y

解：（l）x表示：第一批消毒液购进的数量，y表示：消毒液的单价，

故答案为：第一批消毒液购进的数量；消毒液的单价；

（2）选唐唐所列方程，等量关系：药店购进两批消毒液的单价相同；

选瑶瑶所列方程，等量关系：第二批消毒液的数量比第一批多20瓶；

（3）①选唐唐所列的方程典T?-,

xx+20

解：设第一批消毒液购进X瓶，由题意得，驹3段，

Xx+20

去分母，得