2018-2019学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）

1.（3分）如图，。是正六边形尸的中心,下列三角形中可由aoBc平移得到的是

）

A.△08B.△0A8C.△OAFD./XOEF

2.（3分）不等式-2A>1的解集是（)

A.x<-LB.x<-2c.x>-LD.x>-2

22

3.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

©B.®

5.（3分）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.（3分）下列多项式中，分解因式不正确的是（）

A.a2-^-2ab=a（q+2b）B.a2-Z?2=（a+6）（a-b）

C.a2+b2=(a+b)2D.4a2+4ab+b2=(2〃+Z?)2

7.（3分）化简舁的结果是（）

A.mB.__C.加D.m

irrl-3nrl-3m-33-m

8.（3分）如图，在平行四边形A8CD中，AEJ_8c于E,AF_LC£＞于凡/A8C=75°,

则NEA尸的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

9.（3分）如图，在平行四边形ABCO中，A（1,2）,B（5,2）,将平行四边形绕。点逆

时针方向旋转90°得平行四边形ABCO,则点8'的坐标是（）

11.（3分）已知病-〃2="〃，则二.-四的值等于（）

mn

A.1B.0C.-1D.」

12.（3分）如图，的周长为26,点D,E都在边BC上，NA8C的平分线垂直于AE,

垂足为Q,NACB的平分线垂直于A£）,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为（)

A.3B.$C.3D.4

22

一、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡上）

13.（3分）因式分解：Zr2-4A=.

14.（3分）如果分式二士的值为0,那么x的值为.

x+2

15.（3分）如图，AD//BC,CP和。P分别平分/8CC和NAOC,AB过点P,且与A。垂

直，垂足为A,交BC于B,若AB=10,则点P到。C的距离是.

16.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,。是8c的中点，DEA.BC,CE//AD,若

AC=2,CE=4,则四边形ACEB的周长为.

三、解答题（本大题有7题，其中17题10分，18题6分，19题6分，20题7分，21题7

分，22题7分，23题9分，共52分）

17.（10分）（1）因式分解：?-4X2+4X

（2）解方程：^」-2=口_

x-3x-3

（3）解不等式组,」,并将其解集在数轴上表示出来

2x-5<l-x

2

18.（6分）先化简（1-:三/舒然然后在0、±1、±2这5个数中选取一个作

XTx2-l

为x的值代入求值.

19.（6分）△ABC在平面直角坐标系X。），中的位置如图所示.

（1）作△ABC关于点C成中心对称的△421C1.

（2）将△AiBCi向右平移4个单位，作出平移后的△4282C2.

（3）在x轴上求作一点P,使%I+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，

直接写出结果）

20.（7分）如图，在△ABC中，/ACB=90°,。为AB边上一点，连接CD,E为C。中

点，连接BE并延长至点F,使得连接。尸交AC于点G,连接CE

（1）求证：四边形OBC尸是平行四边形；

21.（7分）如图，在△河（7中，ZACB=90°,N4=30°,AB的垂直平分线分别交AB

和AC于点£>,E.

（1）求证：A£=2C£：

（2）连接C£>,请判断△BCD的形状，并说明理由.

D

E

-------------

22.（7分）南山区某道路供水、排水管网改造工程，甲工程队单独完成任务需40天，若乙

队先做30天后，甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务.请问：

（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？

（2）现将该工程分成两部分，甲队用了x天做完其中一部分，乙队用了y天做完另一部

分，若x、y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么，

两队实际各做了多少天？

23.（9分）如图1,在平面直角坐标系中，直线）=-L+3与x轴、y轴相交于A、B两点,

2

点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CQ,此时点D恰好落在

直线上，过点。作QELx轴于点£

（1）求证：△BOC丝△<:£：£）；

（2）如图2,将△8CO沿x轴正方向平移得△B'C。，当斤C经过点。时，求△BCO平

移的距离及点。的坐标；

Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的尸点的坐标；若不

存在，请说明理由.

2018-2019学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.）

1.（3分）如图，。是正六边形ABCDE尸的中心，下列三角形中可由△OBC平移得到的是

（）

A.△OCQB./\OABC.AOAFD./\OEF

【考点】Q2：平移的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】利用正六边形的性质得到图中的三角形都为全等的等边三角形，然后利用平移

的性质可对各选项进行判断.

【解答】解：是正六边形ABCDEF的中心，

J.AD//BC,AF//CD//BE,

.♦.△OA尸沿尸。方向平移可得到△08C.

故选：C.

【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新

的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中

的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行（或共线）且

相等.

2.（3分）不等式-2x>l的解集是（）

A.x<-AB.x<-2C.D.x>-2

22

【考点】C6：解一元一次不等式.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤系数化为1可得.

【解答】解：两边都除以-2,得：x<-L,

2

故选：A.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是

关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.

3.（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

4.（3分）已知“V立则下列不等式一定成立的是（）

A.a+3>b+3B.2a>2bC.-a<-bD.a-b<0

【考点】C2：不等式的性质.

【分析】根据不等式的性质，可得答案.

【解答】解：A、两边都加3,不等号的方向不变，故A不符合题意；

8、两边都乘以2,不等号的方向不变，故B不符合题意；

C、两边都乘以-I,不等号的方向改变，故C不符合题意；

。、两边都减6,不等号的方向不变，故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号

的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘

(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

5.(3分)一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于()

A.360°B.540°C.720°D.900°

【考点】L2：多边形的对角线；L3：多边形内角与外角.

【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可.

【解答】解：•••从一个顶点可引对角线3条，

.•.多边形的边数为3+3=6.

多边形的内角和=(n-2)X180°=4X180°=720°.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是

解题的关键.

6.(3分)下列多项式中，分解因式不正确的是()

A.a^+lah—a(a+2b)B.a2-kr=(a+b~)(a-b)

C.c^+b1—(a+b)2D.4a2+4ab+b2—C2a+b)2

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【专题】11：计算题；44：因式分解.

【分析】各项分解得到结果，即可作出判断.

【解答】解：A、原式(a+2b),不符合题意；

B、原式=(a+b)(a-b),不符合题意；

C、原式不能分解，符合题意；

D、原式=(2a+Z>)2,不符合题意，

故选：C.

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本

题的关键.

7.（3分）化简皿/1的结果是（）

9-m2

A.mB.5!_C.加D.m

nH-3nrl-3m-33-m

【考点】66：约分.

【分析】首先把分式分子分母因式分解，然后把相同的因子约掉.

【解答】解：,ni2-3in-

2

9-m（3+m）（3-m）

__in

m+3

故选：B.

【点评】解答本题主要把分式分子分母进行因式分解，然后进行约分.

8.（3分）如图，在平行四边形A8CO中，AEJ_BC于E,于尸，N4BC=75°,

A.60°B.65°C.70°D.75°

【考点】L5：平行四边形的性质.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】先根据平行四边形的性质，求得NC的度数，再根据四边形内角和，求得NEA尸

的度数.

【解答】解：：平行四边形A8C。中，ZABC=75°,

AZC=105"，

又；AE_LBC于E,AFLCD^F,

四边形AECF中，NEAF=360°-180°-105°=75°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的邻角互补，四

边形的内角和等于360°.

9.（3分）如图，在平行四边形A8C。中，A（1,2）,B（5,2）,将平行四边形绕。点逆

时针方向旋转90°得平行四边形ABCO,则点8'的坐标是（）

【考点】L5：平行四边形的性质；R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】555：多边形与平行四边形；558：平移、旋转与对称.

【分析】直接利用旋转的性质B点对应点到原点距离相同，进而得出坐标.

【解答】解：•••将。ABC。绕。点逆时针方向旋转90°至gA'B'C'。的位置，B（5,

2）,

:.点、B'的坐标是：（-2,5）.

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性

质是解题关键.

【考点】F3：一次函数的图象；FD：一次函数与一元一次不等式.

【专题】538：用函数的观点看方程（组）或不等式.

【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，得到当x<-2时、直线y=or+〃的图

象在x轴上方，然后对各选项分别进行判断.

【解答】解：•.•不等式办+方>0的解集是XV-2,

...当x<-2时，函数y=or+6的函数值为正数，即直线y=or+匕的图象在x轴上方.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函

数），=奴+6的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线），=&+/>在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

11.（3分）已知苏-〃2=%〃，则二.-典的值等于（）

mn

A.1B.0C.-1D.-A

4

【考点】6B：分式的加减法.

【专题】513：分式；61：数感.

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：*.*m2-r？—mn,且机〃#0,

22

•1—in-n_in_n

••i“，

innnm

即工,-EL=-1,

mn

故选：C.

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础

题型.

12.（3分）如图，△ABC的周长为26,点。，E都在边8c上，/ABC的平分线垂直于AE,

垂足为。，/AC8的平分线垂直于AZ）,垂足为P,若BC=10,则尸。的长为（）

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理.

【专题】121：几何图形问题；16：压轴题.

【分析】首先判断△8AE、△C4D是等腰三角形，从而得出BA=BE,CA=CD,由AABC

的周长为26,及8c=10,可得£>E=6,利用中位线定理可求出PQ.

【解答】解：平分/ABC,BQLAE,

：.ZQBA^ZQBE,NBQA=NBQE,BQ=BQ,

:./XBQAQABQE,

：.BA=BE,

...△BAE是等腰三角形，

同理△CAO是等腰三角形，

...点。是AE中点，点尸是AO中点（三线合一），

是△?!£）后的中位线，

"：BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16,

：.DE=BE+CD-BC=6,

：.PQ=Xj）E=3.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CA。是

等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ACE的中位线.

一、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡上）

13.（3分）因式分解：2J?-4.v=2x（x-2）.

【考点】53：因式分解-提公因式法.

【专题】512：整式.

【分析】直接提取公因式2x,进而分解因式即可.

【解答】解：27-4x=2x（x-2）.

故答案为：2x（x-2）.

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

2

14.（3分）如果分式王^生A的值为0,那么x的值为2.

x+2

【考点】63：分式的值为零的条件.

【分析】根据分式值为零的条件可得4=0,且x+2#0,再解即可.

【解答】解：由题意得：x2-4=0,且x+2#0,

解得：x=2,

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于

零且分母不等于零.

注意：“分母不为零”这个条件不能少.

15.（3分）如图，AD//BC,CP和OP分别平分/BCD和NAOC,A8过点尸，且与垂

直，垂足为A，交8c于8,若AB=10,则点P到DC的距离是5.

【考点】JA：平行线的性质；KF：角平分线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】过点P作PELOC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得啊

=PE,PB=PE,再根据AB=10,即可得到PE的长.

【解答】解：如图，过点P作PELOC于E,

\'AD//BC,PA1AD,

：.PB1CB,

■:CP和DP分别平分/BCQ和ZADC,

J.PA^PE,PB=PE,

：.PE=PA^PB,

'：PA+PB=AB=\O,

：.PA^PB=5,

：.PE=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助

线是解题的关键.

16.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,。是BC的中点，DEVBC,CE//AD,若

AC=2,CE=4,则四边形ACEB的周长为10+2近豆_.

【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质.

【专题】121：几何图形问题.

【分析】先证明四边形ACE。是平行四边形，可得。E=AC=2.由勾股定理和中线的定

义可求48和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长.

【解答】解：；NACB=90°,DELBC,

J.AC//DE.

又，：CEHAD,

四边形ACED是平行四边形.

：.DE=AC=2.

在RtACDE中，由勾股定理得CD=VCE2-DE2=2^

•。是BC的中点，

:.BC=2CD=4聪,

在△ABC中，ZACB=90°,

由勾股定理得AB=QAC^+BC2=25/13,

是BC的中点，DE1.BC,

：.EB=EC=4.

：.四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+271^，

故答案为：10+2yJ13-

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求48

和EB的长的方法和途径.

三、解答题（本大题有7题，其中17题10分，18题6分，19题6分，20题7分，21题7

分，22题7分，23题9分，共52分）

17.（10分）（1）因式分解：?-4X2+4A-

（2）解方程：上-2=/-

x-3x~3

「2（乂一2）〉4宜_3

（3）解不等式组'”,并将其解集在数轴上表示出来

2x-5<l-x

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；B3：解分式方程；C4：在数轴上表示不

等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解；

（3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出解集即可.

【解答】解：（1）原式=x（x2-4x+4）=x（x-2）2；

（2）去分母得：x-2x+6=4,

解得：x=2,

经检验x=2是分式方程的解；

（2（x-2）>4x-3①

2x-5〈l-x②

由①得：x<-JL,

由②得：x<2,

不等式组的解集为xV-2，

2

illLi_।——>

-4-3-2-liO12345

-2

【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2

18.（6分）先化简（1-+£-4”,然后在0、±1、±2这5个数中选取一个作

x-1x2-l

为x的值代入求值.

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，把X的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=丘2・（x+1）（X-1）=但,

xT（x-2）2x-2

当x=0时，原式=-工.

2

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.（6分）AABC在平面直角坐标系X。），中的位置如图所示.

（1）作△ABC关于点C成中心对称的aAi81cl.

（2）将△AiBCi向右平移4个单位，作出平移后的4A282c2.

（3）在x轴上求作一点P,使以1+PC2的值最小，并写出点尸的坐标（不写解答过程,

直接写出结果）

【分析】（1）延长AC到4,使得4c=4。，延长BC到Bi,使得BC=8iCi,即可得

出图象；

（2）根据将各顶点向右平移4个单位，得出282c2；

（3）作出4关于x轴的对称点A',连接A'C2,交x轴于点P,再利用相似三角形的

性质求出P点坐标即可.

【解答】解；（1）如图所示：

（2）如图所示:

（3）如图所示：作出4关于x轴的对称点A',连接A'C2,交x轴于点尸,

可得P点坐标为：（区,0）.

【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求

最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握.

20.（7分）如图，在△48C中，/ACB=90°,。为AB边上一点，连接C£）,E为C£）中

点，连接BE并延长至点F,使得EF=EB,连接OF交AC于点G,连接CF.

（1）求证：四边形OBC/是平行四边形；

【考点】KO：含30度角的直角三角形；L7：平行四边形的判定与性质.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；

（2）由平行四边形的性质可得CF〃AB,DF//BC,可得NFCG=/A=30°,NCGF=

/CGO=NACB=90°,由直角三角形的性质可得FG,CG,GO的长，由勾股定理可求

CD的长.

【解答】证明：（1）；点E为CZ）中点，

：.CE=DE.

"：EF=BE,

...四边形。BCF是平行四边形.

(2),四边形。8CF是平行四边形,

：.CF//AB,DF//BC.

：.ZFCG=ZA=30°,NCGF=NCGD=NAC8=90°.

在RtZkFCG中，CF=6,

•••FG弓CF=3，CG=3«・

"：DF=BC=4,

：.DG=\.

=22=2

在RtZkQCG中，CD7CG+DGA^

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用直

角三角形的性质求线段CG的长度是本题的关键.

21.(7分)如图，在△4BC中，NACB=90°,/A=30°,AB的垂直平分线分别交AB

和4c于点。，E.

(1)求证：AE=2C£；

(2)连接C。，请判断△BCO的形状，并说明理由.

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；K0：含30度角的直角三角形.

【分析】(1)连接BE,由垂直平分线的性质可求得/后8。=/48《=/4=30°,在Rt

△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE,则可证得结论；

(2)由垂直平分线的性质可求得C£>=8£>,且NABC=60°,可证明△BCD为等边三角

形.

【解答】(1)证明：

连接BE,

•••OE是AB的垂直平分线，

：.AE=BE,

AZAB£=ZA=30°,

4CBE=NABC-/ABE=30°,

在RtzXABC中，BE=2CE,

：.AE=2CE；

（2）解：△SCO是等边三角形,

理由如下：

垂直平分AB,

二。为AB中点，

VZACB=90Q,

：.CD=BD,

VZABC=60°,

...△8CO是等边三角形.

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端

点的距离相等是解题的关键.

22.（7分）南山区某道路供水、排水管网改造工程，甲工程队单独完成任务需40天，若乙

队先做30天后，甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务.请问：

（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？

（2）现将该工程分成两部分，甲队用了x天做完其中一部分，乙队用了y天做完另一部

分，若x、y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么，

两队实际各做了多少天？

【考点】B7：分式方程的应用.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由甲完成的工作+乙完成的工作量=

总工作量建立方程求出其解即可；

(2)根据甲完成的工作量+乙完成的工作量=1得x与y的关系式；根据x、y的取值

范围得不等式，求整数解.

【解答】解：(1)设乙工程队单独做需要x天完成任务，由题意，得

30+2。+工*20=1,

x40

解得：x=100,

经检验，x=100是原方程的根.

答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；

(2)根据题意得上+工=1.

40100

整理得)=100一且T.

2

Vy<70,

A100--^r<70.

2

解得x>12.

又；x<15且为整数，

.'.x=13或14.

当x=13时，y不是整数，所以x=13不符合题意，舍去.

当x=14时，>-=100-35=65.

答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天.

【点评】此题考查分式方程的应用及不定方程求特殊解，综合性强，难度大.

23.(9分)如图I,在平面直角坐标系中，直线y=-L+3与x轴、y轴相交于A、B两点,

2

点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到C£),此时点。恰好落在

直线AB上，过点力作。E_Lx轴于点E.

(1)求证：△2OC丝△CEZ)；

(2)如图2,将△8CD沿x轴正方向平移得△B'CTA当b。经过点。时，求△BCD平

移的距离及点。的坐标；

(3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、。、P、

。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的尸点的坐标；若不

存在，请说明理由.

【考点】FI：一次函数综合题.

【专题】537：函数的综合应用.

【分析】(1)利用同角的余角相等可得出N08C=/EC£＞,由旋转的性质可得出BC=CD,

结合NBOC=NCED=90°即可证出△BOC岭△CEO(AAS)；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点8的坐标，设。C=w,则点。的坐标

为(加+3,m),利用一次函数图象上点的坐标特征可求出〃?值，进而可得出点C,。的

坐标，由点B,C的坐标，利用待定系数法可求出直线8c的解析式，结合8,C//BC

及点。在直线B'C上可求出直线次C的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标

特征可求出点C'的坐标，结合点C的坐标即可得出△8CD平移的距离；

(3)设点P的坐标为(0,〃?)，点。的坐标为(〃，-LI+3),分CD为边及C£＞为对

2

角线两种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，即可得出关于根，〃的二元一次

方程组，解之即可得出点尸的坐标.

【解答】(1)证明：；NBOC=/BCD=NCE£)=90°,

；.NOCB+NOBC=90°,ZOCB+ZECD=90＜，,

：.NOBC=NECD.

:将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,

：.BC=CD.

rZB0C=ZCED=90o

在△BOC和中，＜NOBC=/ECD，

BCXD

：./\BOC^/\CED(A4S).

(2)解：•直线y=-L+3与x轴、y轴相交于4、B两点,

2

，点3的坐标为（0,3）,点A的坐标为（6,0）.

设OC=m,

•:△BOCQACED,

：.OC=ED=m,BO=CE=3,

・,•点。的坐标为（加+3,m）.

:点D在直线>=-1+3上，

2

.'.m--—（/n+3）+3,解得：m—1,

2

.•.点。的坐标为（4,1）,点C的坐标为（1,0）.

•.•点8的坐标为（0,3）,点C的坐标为（1,0）,

直线BC的解析式为y=-3x+3.

设直线8'C'的解析式为y=-3x+6,

将。（4,1）代入y=-3x+4得：l=-3X4+6,解得：6=13,

二直线S'C的解析式为y=-3x+13,

.,.点C'的坐标为（豆，0）,

3

：.CC'=拈-1=坦

33

...△BC。平移的距离为

3

（3）解：设点P的坐标为（0,机），点。的坐标为（〃，-Xz+3）.

2

分两种情况考虑，如图3所示：

①若CO为边，当四边形COQP为平行四边形时，；C（1,0）,D（4,1）,P（0,根）,

QCn,-L?+3）,

2

fl+n=0+41

*,•1<1,解得嗔

0-^n+3=irr+-l

n=3

.•.点P\的坐标为（0,.1）；

2

当四边形COPQ为平行四边形时，C（1,0）,D（4,1）,P（0,w）,Q（n,-1+3）,

2

，l+0=n+4[

,解得：|户1~,

0+irp-7~n+3+l_Q

Zn——J

...点P2的坐标为（0,—）;

2

②若CO为对角线，VC(1,0),D(4,1),P(0,m),Q(〃，-L?+3),

2

'1+4=0+n

・1«1，解得：.吃，

0+1=mqn+3

.n=5

.♦.点P的坐标为（0,-1）.

2

综上所述：存在，点P的坐标为（0,1）或（0,旦）.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标

特征、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质以及平行四边形的性质，解题的关

键是：（1）利用全等三角形的判定定理41s证出△BOC之△<:££>；（2）利用一次函数图

象上点的坐标特征，求出点C',。的坐标；（3）分CQ为边及CZ）为对角线两种情况，

利用平行四边形的对角线互相平分求出点P的坐标.

考点卡片

1.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的

相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为

正数.

提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公

因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项,

求的剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

2.提公因式法与公式法的综合运用

提公因式法与公式法的综合运用.

3.分式的值为零的条件

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

注意：“分母不为零”这个条件不能少.

4.约分

(1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分.

(2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定.

①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式.

②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面.

③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式.

（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出

分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分.

5.分式的加减法

（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，

经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.

说明：

①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是

多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘.

②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为

较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分

式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的

分式来说的.

6.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

7.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

8.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹h解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整,

要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率

=工作量工作时间

•

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能

力.

9.不等式的性质

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不

变,即：

若a>b,那么a±，">/?±w；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a>b,且那么〃相>加?或且>也>；

mm

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

若a>b,且帆<0,那么或且〈且；

mm

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不

变，但移项要变号：②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才

改变.

【规律方法】

1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一

定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母

是否大于0进行分类讨论.

2.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c.

10.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心,

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：''小于向左，大于向右

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为其验证方法可以先将〃代入原不等式，则两边相等，其

次在的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

11.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他

都不会改变不等号方向.

注意：符号和“W”分别比和各多了一层相等的含义，它们是不等号与

等号合写形式.

12.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

13.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-b0）或（1,k+b）作直线丫=丘+4

k

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况,

所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不

平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,

y=b分别是与〉轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线），=h+4可以看做由直线、=日平移⑸个单位而

得至九

当6>0il寸，向上平移；方<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然;

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

14.一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=Ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范

围；

从函数图象的角度看，就是确定直线），=区+8在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式区+b>0（或<0）

对应一次函数尸=履+6,它与x轴交点为（旦，0）.

当k>0时，不等式区+6>0的解为：x>1b,不等式kjc+b<0的解为：x<

当ZV0,不等式履+%>0的解为：x<不等式区+匕<0的解为：》>上.

k

15.一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

（3）用函数图象解决实际问题

从己知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

16.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

17.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在N40B的平分线