2020-2021学年新余市高二年级上册期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年新余市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）

1.若z=3-i,z'=则（）

A.z'=zB.z'+z=2C.z'=zD.z'+z=4

2.如果a<b<0,那么（）.

A.a-b>0B.ac<beC.—>^D.a2<b2

郃

3.公差不为0的等差数列｛即｝,其前23项和等于其前10项和，a8+ak=0,则正整数k=（）

A.24B.25C.26D.27

4.给出下列命题：

①“若x>2,则x>3”的否命题；

②“Vae（O,+8）,函数y=谟在定义域内单调递增”的否定；

③“兀是函数y=sinx的一个周期"或"2n•是函数丫=sin2x的一个周期”；

（4）ux2+y2=0"是uxy=0”的必要条件.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

5.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得。分，平局各得1分现

有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58分，但其中只有一名学生的统

计结果是正确的，则参赛选手共有（）

A.6位B.7位C.8位D.9位

6.执行右边的程序框图，如果输入0,那么输出0（）

□

A.2B.3C.4D.5

y<x

7.设变量x、y满足约束条件•x+y22,则目标函数z=2x+y的最小值为（）

.x<4

A.6B.4C.3D.2

8,下表是某厂1到4月份用水量情况（单位：百吨）的一组数据:

月份X1234

用水量、血34.5432.5

用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为，=-0.7x+a，则a的值为（）

A.5.25B.5C.2.5D.3.5

9.已知数列｛a九｝满足an=2an_i+1,且的=5,则%=（）

A.B.2C.11D.23

10.（原创）在△4BC中，己知蒸］=3：葡=：1，,%陶=出，则国;的值为（）

A.-翦B.翦C.MD.O

11.在区间［-1,5］上随机地取一个实数a,则方程久2-2ax+4a-3=0有两个正根的概率为（）

A.7B.iC.ID.I

3283

12.弧长等于直径的弧所对的圆心角的弧度数是（）

A.7OB.yrC.1D.2

二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标

的概率分别琼|、|，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为一

鬻'普*1|1

14.不等式三幽的解为

2尸

15.如图所示，一艘轮船在4处观测到北偏东45。方向上有一个灯塔B,轮船在正

东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时后到达C处，又观测到灯塔B在北北//

偏东15。方向上，则此时轮船与灯塔B相距海里.（结果保留根号）―/.

16.不等式（x—1）（%+1）（*-2）<0的解集为.

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.设｛册｝为等差数列，S"为数列｛斯｝的前ri项和，已知S5=-15,S13=65,7；为数列｛*｝的前n项

和，求7；的最小值.

18.在AABC中，角4、B、c的时边长分别为a、b、c,已知百sinB-cosB=3且b=1.

（1）若4=奈求c的值；

(n)设4c边上的高为/i,求九的最大值.

19.为了了解中学生的体能情况，抽取了某中学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理

后画出频率分布直方图(如下图)，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,第

一小组的频数是5.

(1)求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；

(2)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？

(3)参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？

20.设AABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC+c=2b.

(I)求角4的大小；

(n)若a=l,求△ABC的周长的取值范围.

21.已知a,b,c,d&E,证明下列不等式：

(l)(a2+62)(c2+d2)>(ac+bd)2-,

(2)a2+b2+c2>ab+be+ca.

22.已知等比数列｛册｝为递增数列，且磅=%0,2(an+an+2)=5an+1,数列｛bn｝满足2瓦=%,

(I)求数列｛斯｝和｛%｝的通项公式；

(n)令或=*,求数列｛4｝的前n项和7n.

an

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：因为,=答=署需秘=3+i：

故z'=z=3—i；

z'+z=6；

故选：C.

利用复数代数形式的乘除运算化简z',再结合复数的相关定义判断选项即可.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

2.答案：C

解析：试题分析：根据题意，由于a<b<0,则a-b<0故错误，对于c=0时则不等式ac<be不

成立，对于&>±符合倒数性质可知，成立，对于a2Vb2,a=—3,b=-2不成立，故答案为C.

鬻置

考点：不等式的性质

点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题。

3.答案：C

解析：解：由题意设等差数列｛斯｝的公差为d，dKO,

••・其前23项和等于其前10项和，

23X22,«c,10X9,

:,23al+10ci|H---

2d—d.,

变形可得13(%+16d)=0,

：,a17—a1+16d—0>

由等差数列的性质可得+«26=2a17=0,

•••k=26

故选：C

由等差数列的求和公式和性质可得+。26=2a17=0,可得k值.

本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题.

4.答案：B

解析：解：对于①，“若%>2,则x>3”的否命题为“若2,则XW3"，为真命题;

对于②，若a=l,贝0=1为常数函数，则命题“Vae(0,+8),函数y=a、在定义域内单调递增”

为假命题，故其否定为真命题;

对于③，y=sinx的最小正周期为2兀，y=sin2x的最小正周期为几，

则命题“兀是函数y=s讥x的一个周期”或“2兀是函数丫=$讥2苫的一个周期”为真命题；

对于④，“/+丫2=。”可推出“xy=。，，，反之，不一定推出，故为充分条件，则为假命题.

则真命题的个数为3.

故选B.

由命题的否命题，即可判断①；可举a=l,则为常数函数，即可判断②；

运用正弦函数的周期公式，即可判断③；运用充分必要条件的定义，即可判断④.

本题考查简易逻辑的有关知识，考查命题的否定和否命题的区别，考查充分必要条件和三角函数的

周期的求法，考查判断能力，属于基础题和易错题.

5.答案：C

解析：解：由题意，由于胜得2分，负0分，平局各一分，所以每场比赛都会产生2分，那么最后总分

一定为偶数，所以55和57被排除，剩下56和58,

假设有x个参赛选手，那么总共要进行的比赛为(X—1)+(%—2)+…+3+2+1=专殳，

如果56是正确的，那么x(x-1)=56,则此方程的解为x=8,

若58是正确的，那么1)=58,此方程无整数解，

所以共有8个参赛选手

故选：C.

由题意，由于胜得2分，负0分，平局各一分，所以每场比赛都会产生2分，那么最后总分一定为偶数，

所以55和57被排除，乘『卜56和58,再进行判断.

本题考查简单的合情推理，涉及组合及组合数公式，主要考查比赛场次的计算，关键是先剔除55与57,

再进行求解，属于基础题.

6.答案：B

解析：试题分析：s时，初始条件□，□成立，执行第一次循环；

第一次循环时：叵］，此时叵］成立，执行第二次循环；

第二次循环时：冈，此时回不成立，退出循环，输出冈，故选B.

考点：程序框图.

7.答案：C

y<x

解析：解：由变量X、y满足约束条件x+y22作出可行域如

.X<4

图，

化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,

由图可知，当直线y=-2x+z过4(1,1)时直线在y轴上的截距

最小，z最小，为2x1+1=3.

故选：C.

由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的

坐标，代入目标函数得答案.

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

8.答案：A

解析：解：x=i(l+2+3+4)=2.5,歹=[(4.5+4+3+2.5)=3.5,

将(253.5)代入线性回归直线方程是，=-o.7x+a，可得3.5=—1.75+a,故a=5.25

选A.

首先求出x,y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，

把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可.

本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算

量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题.

9答案:A

解析：解：a3=2a2+1=2(2%+1)+1=+3=5,

解得的=I，

故选A.

利用递推式逐步求解即可.

本题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的计算能力.

10.答案:D

解析：试题分析：由|蒸卜用：萄=4,晶躯?=若得通=觥沪或然.=：!翼叫故国二殛=羁.

考点：向量数量积的运算

11.答案：c

解析：

本题主要考查几何概型的概率的计算，根据二次函数根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本

题的关键.

根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可.

解：若方程/-2ax+4a-3=0有两个正根，

△=4a2—4(4a—3)=4(a2—4a+3)>0

则满足｛4a-3>0,

2a>0

(a23或aW1

即>三，得:<aSI■或a23,

v—1<a<5

则对应的概率p=上二+上二=2+%=三，

5—(-1)5—(-1)2438

故选C.

12.答案：D

解析：解；设半径为r，则弧长为2r

由弧长公式得弧所对的圆心角的弧度数是

三=2

故选。

13.答案：|

解析：解：三人中由一人或两人达标，其概率为l—：x|x|一：x：x：=|,

4354353

故答案为:|.

相互独立事件同时发生的概率1减三人都达标与三人都未达标之和；

本题考查了相互独立事件同时发生的概率和对立事件的运算性质，属基础题，解题时要认真辨别，

细致运算.

14.答案：x»0

鬻1

解析：试题分析：之’三®：=*管:侬'并碑—3至岫口:辔"寻额督,—项过顺n瞥'过：10m空帆

考点：本小题主要考查含行列式的不等式的求解，考查学生的运算求解能力.

点评：本小题实际上是将不等式看成了关于瞥'的二次不等式.

15.答案：30V2

U

解析：解：作CD14B,垂足为D.y

根据题意，得NBAC=45°,Z1=15°,

4ACB=105°,产_平-->

则NB=30°,AC=20x1.5=30(海里)，

在RtzMDC中，/.BAC=45°,AC=30,

ACD=AC-sin450=30Xy=15或(海里).

在RtABCD中，4B=30。，CD=15>/2,

BC=30&(海里).

此时轮船与灯塔B相距30位海里.

故答案为：30V2.

作CDJ.AB,垂足为。.构建直角三角形后，利用已知角NCAB的正弦值，以及C4的长，可求出CD.然

后放到直角三角形BCD中，根据30。的角对的直角边是斜边的一半，求出BC.

解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作

局线.

16.答案：(—oo,-l)U(1,2)

解析：解：令。一1)。+1)。-2)=0,解得：％=1或一1或2,

x<—1时，x—1<0,x+1<0,x—2<0,

故-l)(x+l)(x-2)<0,成立，

—1<%<1时，x—1<0,%+1>0,x—2<0,

故(％—l)(x+1)Q—2)>O不成立，

1cx<2时，(无-1)>0,(%+1)>0,(%-2)<0,

故(x—l)(x+1)(%—2)<0,成立，

x>2时，x—1>0,x+1>0,x—2>0,

故(x-l)(x+l)(x-2)>0,不成立，

故不等式的解集是：(—8,-1)UQ2),

故答案为：(―°°,—1)U(1,2).

通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可.

本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题.

17.答案：解(1)设等差数列的公差为d,

由题可知113]+78d=65，

解可得，｛/2-7,

:.an=2n—9,

,^=n(-7+2n-9)=n(n_8)>

=n-8,

n

数列｛曰｝是以-7为首项，1为公差的等差数列，

.T_n(-7+n-8)_n2-15n

•,九一2-2’

当n=7或8时以有最小值-28.

解析：设等差数列的公差为d,结合等差数列的通项公式及求和公式可求的，d,然后结合等差数列

的求和公式可求S”可得数列｛手｝是以-7为首项，1为公差的等差数列，求得〃，由二次函数的性质

可得最值.

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式及等差数列的性质的应用，属于中档试题

18.答案：解：(I)在△4BC中，：Ws讥B—cosB=I=2sin(B-5，sin(B—

o62

n

457rC.CJ77rr>n厂Art

121234

再根据b=l，利用正弦定理可得告=-之，即专=得，解得c=渔.

sinesinB-y-3

(11)设4。边上的高为九，,.1・匕九=：。。・5讥8,.・.九二更00.

NN2

由余弦定理可得庐=1=a2+c2-2ac-cosB=a2+c2—ac>2ac-ac=ac,

.-.ac<l,h<^-,即h的最大值为由.

22

解析：(I)在△ABC中,由百s出B—cosB=Z求得sin(B-£)=5.根据A=冷求得B的值，可得C=

兀-4-B的值值，再根据b=l,利用正弦定理求得c的值.

(11)根据：创=2"诋求得九=苧叱由余弦定理可得acW1,从而求得无的最大值.

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、基本不等式，属于中档题.

19.答案:(1)0.2,50人;(2)第三小组；(3)60%.

解析：试题分析：(1)第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2,因为第一小组的频数为5,第一

小组的频率为0.1,所以参加这次测试的学生人数为5,0.1=50(人).

(2)0.330=15,0450=20,0.2'50=10,则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5,15,

20,10.所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.

(3)跳绳成绩的优秀率为(0.4+0.2)z100%=60%.

考点：本题考查了频率分布直方图的运用

点评：频率分布直方图有以下特点：①频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间

内取值的频率.直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距、器=频

组距

率.②所有长方形面积的和等于1.③从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是

从直方图本身得不出原始的数据内容

20.答案：解：(I)由正弦定理可知：-^-=^-=-^~=2R,

、'sinAstnBsinC

则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由2acosC+c=2b,

Wfl2sinAcosC+sinC=2sinB,

又sinB=sin(i4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

i

••・-sinC=cosAsinC,

2

i

vsinCH0.・•・cosA=

2

又・•A6(0,TT),

・,•?.!="n.

(II)由正弦定理得6=需=专sinB,c=/nC,

22一

・・・/=a+b+c=l+后(sinB+sinC)=1+再[sinB+sin(4+8)]

=1+2卢sinB+-cosB)=1+2sin(B+

226

•.T=全

•••BG(0,争，8+a第9，

.-.sin(e+=)e(i,1].

故4ABC的周长的取值范围是(2,3].

解析：(I)由正弦定理可知：2sinAcosC4-sinC=2sinB,又sinB=sin(4+C)=sinAcosC+

cosAsinC,代入即可求得角4的大小；

(U)由6=需=含)B,c=^=sinC,由辅助角公式及B的取值范围，即可求得，sin(B+])e

G，4即可求得△ABC的周长的取值范围.

本题考查正弦定理的应用，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题.

21.答案:证明：•・•(M+h2)(c24-d2)—(ac4-bd)2=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2>)—(a2c2+

2abcd+