高考数学（理）创新第六章不等式第3节

第3节基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)(简记：和定积最大)．[常用结论与微点提醒]1．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2)，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．2．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当a≥0，b≥0时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的．()(3)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为4.()(5)x＞0且y＞0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充要条件．()解析(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋eq\f(1,x)值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(4)函数f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值为－5.(5)x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充分不必要条件．答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80 B．77 C．81 D．82解析xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号．答案C3．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2 B．3 C．4 D．5解析因为直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.答案C4．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3) C．3 D．4解析当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(（x－2）×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.答案C5．(必修5P100A2改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大．解析设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq\f(1,2)x·(2y)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq\f(15,2)时取等号．答案15eq\f(15,2)6．(2018·舟山检测)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值为________．解析∵正数x，y满足x＋y＝1，∴y＝1－x，0<x<1，∴－y＝－1＋x，∴x－y＝2x－1，又0<x<1，∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，即x－y的取值范围为(－1，1)．eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(x,y)＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥1＋2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时取“＝”；∴eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值为3.答案(－1，1)3考点一配凑法求最值【例1】(1)已知x＜eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为__________；(2)(2018·绍兴调测)已知正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，则xy＋5x＋4y的最小值为________．解析(1)因为x＜eq\f(5,4)，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2eq\r(（5－4x）\f(1,5－4x))＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.(2)因为正实数x，y满足xy＋2x＋3y＝42，所以y＝eq\f(42－2x,3＋x)>0且x>0，解得0<x<21.则xy＋5x＋4y＝3x＋y＋42＝3x＋eq\f(42－2x,3＋x)＋42＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（3＋x）＋\f(16,3＋x)))＋31≥3×2eq\r(（3＋x）·\f(16,3＋x))＋31＝55，当且仅当x＝1，y＝10时取等号．所以xy＋5x＋4y的最小值为55.答案(1)1(2)55规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．【训练1】(1)(2017·丽水模拟)若对任意的x≥1，不等式x＋eq\f(1,x＋1)－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．(2)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．解析(1)因为函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝eq\f(1,2)，因此对∀x≥1不等式x＋eq\f(1,x＋1)－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).(2)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1时，等号成立．答案(1)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))(2)2eq\r(3)＋2考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】(1)(2017·山东卷)若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．解析(1)由已知得eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，又∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8(当且仅当a＝2，b＝4时等号成立)，∴2a＋b的最小值为8.(2)由已知得x＝eq\f(9－3y,1＋y).法一(消元法)因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq\f(12,1＋y)＋3(y＋1)－6≥2eq\r(\f(12,1＋y)·3（y＋1）)－6＝6，当且仅当eq\f(12,1＋y)＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.法二∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝eq\f(1,3)x·(3y)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.答案(1)8(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．【训练2】(1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．(2)(2018·东阳检测)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为()A．8 B．4 C．2 D．0解析(1)法一由x＋3y＝5xy可得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋eq\f(12,5)＝5(当且仅当eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq\f(1,2)时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二由x＋3y＝5xy，得x＝eq\f(3y,5y－1)，∵x>0，y>0，∴y>eq\f(1,5)，∴3x＋4y＝eq\f(9y,5y－1)＋4y＝eq\f(13\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5))))＋4y＝eq\f(13,5)＋eq\f(9,5)·eq\f(\f(1,5),y－\f(1,5))＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(36,25))＝5，当且仅当x＝1，y＝eq\f(1,2)时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.(2)由x＋2y－xy＝0，得eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋4≥4＋4＝8.答案(1)5(2)A考点三基本不等式在实际问题中的应用【例3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解(1)设所用时间为t＝eq\f(130,x)(h)，y＝eq\f(130,x)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq\f(130,x)，x∈[50，100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x，x∈[50，100](或y＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x，x∈[50，100])．(2)y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x≥26eq\r(10)，当且仅当eq\f(130×18,x)＝eq\f(2×130,360)x，即x＝18eq\r(10)时等号成立．故当x＝18eq\r(10)千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26eq\r(10)元．规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解．【训练3】(2017·湖州月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．解析(1)当l＝6.05时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×6.05)，∴F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq\f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝1900，当且仅当v＝eq\f(121,v)，即v＝11时取“＝”．∴最大车流量F为1900辆/时．(2)当l＝5时，F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×5)＝eq\f(76000,v＋\f(100,v)＋18)，∴F≤eq\f(76000,2\r(v·\f(100,v))＋18)＝2000，当且仅当v＝eq\f(100,v)，即v＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/时．答案(1)1900(2)100基础巩固题组一、选择题1．下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)＜1(x∈R)解析当x＞0时，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))≥lgx(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x＝0时，有eq\f(1,x2＋1)＝1，选项D不正确．答案C2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析2eq\r(2x＋y)≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤eq\f(1,4)，所以x＋y≤－2.答案D3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3) C．2 D.eq\f(5,4)解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案C4．(2018·浙东北调研)已知a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为()A．4 B．2eq\r(2) C．8 D．16解析由a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，得ab＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(2).当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝eq\r(2)时等号成立．故选B.答案B5．(2017·浙江省名校协作体联考)若a，b都是正数，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为()A．7 B．8 C．9 D．10解析∵a，b都是正数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．答案C6．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4) B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C.eq\r(ab)≥2 D．a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2eq\r(ab)(当且仅当a＝b时，等号成立)，即eq\r(ab)≤2，ab≤4，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，选项A，C不成立；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．答案D7．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()A.eq\r(2) B．2 C．2eq\r(2) D．4解析依题意知a＞0，b＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))＝eq\f(2\r(2),\r(ab))，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即b＝2a时，“＝”成立．因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，所以eq\r(ab)≥eq\f(2\r(2),\r(ab))，即ab≥2eq\r(2)，所以ab的最小值为2eq\r(2)，故选C.答案C8．(2018·杭州调研)对任意的θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，不等式eq\f(1,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)≥|2x－1|恒成立，则实数x的取值范围是()A．[－3，4] B．[0，2]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) D．[－4，5]解析∵eq\f(1,sin2θ)＋eq\f(4,cos2θ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sin2θ)＋\f(4,cos2θ)))(sin2θ＋cos2θ)＝5＋eq\f(cos2θ,sin2θ)＋eq\f(4sin2θ,cos2θ)≥5＋2eq\r(4)＝9，当且仅当eq\f(cos2θ,sin2θ)＝eq\f(4sin2θ,cos2θ)，即tanθ＝eq\f(\r(2),2)时，取到最小值9，∴|2x－1|≤9，∴－4≤x≤5.答案D二、填空题9．(2018·宁波月考)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最小值时，x的值为__________，y的值为__________．解析∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥2eq\r(4xy)＋5，即xy－4eq\r(xy)－5≥0，可求xy≥25，当且仅当x＝4y时取等号，即x＝10，y＝eq\f(5,2).答案10eq\f(5,2)10．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析一年的总运费与总存储费用之和y＝6×eq\f(600,x)＋4x＝eq\f(3600,x)＋4x≥2eq\r(\f(3600,x)×4x)＝240，当且仅当eq\f(3600,x)＝4x，即x＝30时，y有最小值240.答案3011．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．解析eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥4，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,4ab＝\f(1,ab)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(\r(2),2)，,b2＝\f(\r(2),4),))时取等号．答案412．若对于任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,3＋x＋\f(1,x))，因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取等号)，则eq\f(1,3＋x＋\f(1,x))≤eq\f(1,3＋2)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))能力提升题组13．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为()A．0 B．1 C.eq\f(9,4) D．3解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)则eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\s\up12(2)＋1≤1.答案B14．(一题多解)(2017·北京卷改编)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________，最大值为________．解析法一∵x≥0，y≥0且x＋y＝1，∴2eq\r(xy)≤x＋y＝1，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)时取等号，从而0≤xy≤eq\f(1,4)，因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以eq\f(1,2)≤x2＋y2≤1.法二∵x＋y＝1，x≥0，y≥0，∴y＝1－x，x∈[0，1]，∴x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，对称轴为x＝eq\f(1,2)，故x＝eq\f(1,2)时，有最小值为eq\f(1,2)，x＝0或x＝1时有最大值为1.法三可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围．AB上的点到原点距离的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，则x2＋y2的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1