专题5-1数量积（极化恒等式与投影法）

专题51数量积（极化恒等式与投影法）一、极化恒等式在三角形ABC中（M为BC的中点），证明：AABCM证明（基底法）：因为，所以二、投影法如图，对于，其中是在上的投影，在Rt△PBH中故，考虑到可能为钝角，故写成.2023全国乙卷(理)T12已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】法一：投影法取PO中点E，，将P，A，O看成定点，则D为圆E上的定点作DH⊥PA，则，当DH∥AO时取到最值取PA中点G最小值计算：此时，故最大值计算：此时，法二：构造函数如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.2022·北京高考T10在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】法一：极化恒等式取AB中点M，，，，则法二：建系法意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即2020·新高考1卷T7——投影法求数量积取值范围已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是2017年全国2卷（理）T12已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【详解】法一：极化恒等式取BC中点D，则则再去AO中点M，当时取到最小值，故法二：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一极化恒等式2023·广东深圳·5月模拟预测若等边的边长为2，平面内一点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.【详解】，，.2024届长沙一中月考（二）已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为．【答案】【分析】设正四面体外接球球心为O，把用表示并计算数量积后可得．【详解】设正四面体外接球球心为O，正四面体的外接球半径为3，设正四面体内切球半径为，一个面的面积为，高为，则，所以，显然，所以，即．．故答案为：．如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（

）A．13 B．7 C．5 D．3【答案】C【分析】根据向量的加法和减法法则表示、，再根据向量数量积运算公式计算，即可求出结果．【详解】连结，则，，，所以.已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】思路二：极化恒等式取EF中点D则而，即，故思路二：拆分，设的中点为，在半径为的圆中，，得，，，即，当与反向共线时，取得最小值；当与同向共线时，取得最大值；即的取值范围是在锐角中，已知，，则的取值范围是．【答案】【解析】,而要使△ABC为锐角三角形，则A在线段DE上，则，∴半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________．【答案】【解析】结合图像＋极化恒等式易知，且，由平行四边形性质可知□ABOC为菱形，且△ABO与△ACO均为等边三角形．取AO中点M，由极化恒等式得∴，易知，∴的范围是等和线+极化恒等式正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为（）

A．0 B． C． D．【答案】D【解析】设,可知Q在直线BC上，P为线段中点，过P作BC平行线，显然P点在直线上，.在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为；若为常数且，则的长度是．【解答】解：当为中点时，在中，，，，则，所以，又，所以，即当为中点时，的长度为．为常数且，如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，由，整理得，，，，．由，得，解得或（舍．所以直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程可得，．即，，．的长度是．故答案为：；．题型二投影法设是圆上不同的两点.且.则.【答案】6【分析】设点为的中点，则，再根据数量积的定义计算即可.【详解】如图，设点为的中点，则，则.中，，，为的重心，为的外心，则．【答案】【解析】根据三角形的外心的性质，得出，，由三角形的重心的性质，得出，通过向量的数量积运算，即可求出的值.【详解】解：因为为的重心，为的外心，所以，，所以，即.故答案为:．的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】法一：投影把点C看作圆上的动点，A，B看作定点，则在上投影的取值范围为故的取值范围为法二：建系依题意，的外接圆的半径等于，，以为原点，为轴建立如图所示平面直角坐标系，，圆心到，也即轴的距离为，故圆心，半径，所以圆的标准方程为.设，与不重合.所以，由于，所以.故选：C已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是6【解答】解：如图，取中点，连接，，，则：；；当，即同向时取“”；的最大值为6．故答案为：6．【法二】：投影法设C在AB上的投影为G，则，过点O作AB平行线交圆于H，当C点在H时，有最大值，.题型三极化恒等式：由数量积求其他数量积武汉市2023届9月起点检测T15平行四边形ABCD中，，点P满足，则________．【答案】3．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴EQ\o\ac(\S\UP7(→),PA)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PB)＋\o\ac(\S\UP7(→),BA)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PB)－\o\ac(\S\UP7(→),AB),EQ\o\ac(\S\UP7(→),PC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),DC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),AB),∵EQ\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),AD)＝EQ5,\o\ac(\S\UP7(→),PB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PD)＝8，∴EQ\o\ac(\S\UP7(→),PA)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PC)＝EQ\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),PB)－\o\ac(\S\UP7(→),AB)))\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),AB)))＝EQ\o\ac(\S\UP7(→),PB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PD)＋\o\ac(\S\UP7(→),PB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),AB)－\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),PD)－\o\ac(\S\UP7(→),AB)2

=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),PB)\o\ac(\S\UP7(→),PD)))\o\ac(\S\UP7(→),AB)2=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),DB)\o\ac(\S\UP7(→),AB)2=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\b\bc\((\l(\o\ac(\S\UP7(→),DB)\o\ac(\S\UP7(→),AB)))

=EQ8+\o\ac(\S\UP7(→),AB)﹒\o\ac(\S\UP7(→),DA)=85=3．故答案为：3．（江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________．【答案】【解析】法一：极化恒等式，解得，故.法二：分点恒等式（拆分，基向量），，∵，化简得【方法二点评】：选取的基向量计算有点复杂，可以考虑将和作为基向量.题型四极化恒等式+隐圆2024届湖南师大附中高三开学考在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为.【答案】【分析】由题可知，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求出，当与共线反向时，取最小值，即可得出答案.【详解】平面内动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，因为，由勾股定理可得：，所以，且，所以，所以，，，，，又向量是长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一，故的最小值为.深圳市2023期末四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为.【答案】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为，，又点分别是的中点，所以，所以，，又，所以，又点分别是的中点，所以，因为，所以，即，设，，则，所以，所以，所以当即时，有最大值1，即有最大值为.2023深圳高二下期末·16 已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为；如果直线与相交于点，则的最小值为.【答案】【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为，，则最大值为，由直线，，可得且过定点过定点，点的轨迹是以为直径端点的圆，其方程为，，，，，的最小值为.题型五其它方式求数量积在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=_______.【答案】D【解析】法一：利用投影解决向量积法二：极化恒等式法三：基底+分点定比恒等式易知E是BO上的5等分点，法四：建系（简证）如图，以B为原点，构造直角坐标系，求出E点坐标，从而得到与的坐标，计算得出向量的数量积即可.如图在平行四边形中，已知，，，则的值是.【答案】22【解析】法一：拆分法二：极化恒等式取AB中点M，延长AD，MP交于点F，（平行四边形性质），骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为.【答案】【分析】方法一：以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换知识可表示出，则当时可得所求最大值；方法二：根据向量线性运算可得，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到，由此可求得最大值.【详解】方法一：以点为坐标原点，为轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，点在以为圆心，为半径的圆上，可设，，，，则当时，取得最大值.方法二：，则当与同向，即时，取得最大值为在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分