高三第一轮复习指数及指数函数

指数与指数函数12023/5/24根式1．根式的概念22023/5/242.两个重要公式a32023/5/24有理数指数幂1．幂的有关概念(3)0的正分数指数幂等于

0的负分数指数幂

．2．有理数指数幂的性质(1)aras＝

(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝

(a>0,r，s∈Q)；(3)(ab)r＝

(a>0，b>0，r∈Q)．0,无意义ar＋sarsarbr42023/5/24

指数幂的化简与求值的原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序.【注意】有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于0，否则不能用性质来运算.52023/5/24化简下列各式(其中各字母均为正数).62023/5/24解（1）原式（2）原式72023/5/24（3）原式82023/5/24指数函数的图象与性质92023/5/24102023/5/24指数函数图象的特点1.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数

大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.

在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还

是右侧，底数按逆时针方向变大.2.指数函数y＝ax与y＝()x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.112023/5/24设f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是：(

)A.3c<3bB.3c>3bC.3c＋3a>2D.3c＋3a<2

【解析】画出f(x)＝|3x－1|的图象如下图：数形结合法)作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，3c＜1＜3a，f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，又f(c)＞f(a)，1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2，故选D.答案D122023/5/242.若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是

.解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.132023/5/24曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1].答案：[－1,1]142023/5/243．函数f(x)＝2|x－1|的图象是(

)答案：B152023/5/244．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(

)A．a>b>c

B．a>c>b

C．c>a>b

D．b>c>a解析：由0.2<0.6,0<0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.答案：A

162023/5/24反思总结1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：y＝ax与y＝|ax|是同一函数的不同表现形式．函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．172023/5/24指数函数的性质及应用182023/5/24192023/5/24[答案]

(1)D

(2)A202023/5/24反思总结解决与指数函数的性质问题时应注意(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断．(2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用．212023/5/24(2)若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则实数a，b满足(

)A．0<a<1，b<0 B．0<a<1，b<1C．a>1，b<0 D．a>1，b<1222023/5/24答案：(1)D

(2)A

232023/5/24——分类讨论思想在指数函数中的应用

分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a>1或0<a<1两种情况讨论．242023/5/24【典例】设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．252023/5/24由题悟道本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a取值不定故要分两种情况进行讨论．262023/5/24若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.272023/5/24与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同；(2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，

可确定y＝af(x)的值域.282023/5/24与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).292023/5/24已知f(x)＝(ax－a－x)(a＞0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围.302023/5/24

(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解决；(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值.

312023/5/24【解】

(1)函数定义域为R，关于原点对称.又∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，∴f(x)为增函数.322023/5/24当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，∴f(x)为增函数.故当a＞0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增.33202