三角形的内切圆课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

30.1直线与圆30.2三角形的内切圆人教版九年级数学（上）第30章直线与圆的位置关系学习目标1.理解三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.2.掌握三角形内切圆的作法，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.学习重难点理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念.掌握三角形内切圆的作法，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.难点重点

同学们，我们先来思考一个有趣的生活场景：想象一下，你有一块美味的三角形蛋糕。现在，你想在蛋糕的正中央，放一个最大的圆形奶油装饰.这个圆形装饰有一个特殊的要求：它必须刚刚好碰到蛋糕的三条边，不能多也不能少，不能偏也不能倚.导入新知如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切?假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.如何找到这个圆心呢？思考知识点1三角形的内切圆①

(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？（1）圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.（2）圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.

探究三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.

小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？探究新知三角形的内切圆及作法知识点1问题1:如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

OOOO最大的圆与三角形三边都相切探究新知探究新知思考：如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢?ABC如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.

⊙O就是所求的圆.OD．o1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.ABC内切圆内心外切三角形→三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等↓

已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.

探究NDM作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆.

与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫做作圆的外切三角形.三角形的内切圆BACI☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.问题2:如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？

探究新知圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.MND作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.探究新知做一做ACB名称外心内心图形性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内心到三角形三条边的距离相等位置外心不一定在三角形内部内心一定在三角形内部角度关系∠BOC=2∠A∠BOC=90°+∠A三角形外心、内心的区别：知识归纳1.与三角形各边都______的圆叫作三角形的内切圆．2.三角形内切圆的圆心是三角形______________的交点，叫作三角形的______，它到三边的距离______．这个三角形叫作圆的外切三角形．相切三条角平分线内心相等例1

如图，△ABC的内切圆

☉O与

BC、CA、AB分别相切于点

D，E，F，且

AB=9，BC=14，CA=13，求

AF、BD、CE的长.解：设

AF=x，则

AE=x.∴CE=CD=AC-AE=9-

x，

BF

=

BD=AB

-

AF

=

13

-

x.由BD+CD=BC，可得(13

-

x)+(9

-

x)=14，∴AF=4，BD=9，CE=5.解得

x=4.

如图，△ABC的内切圆

☉O与

BC、CA、AB分别相切于点

D，E，F，且

AB=9，BC=14，CA=13，求

AF、BD、CE的长.例1BACI问题1如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB

，IC有什么特点？线段IA，IB

，IC分别是∠A，∠B，∠C的平分线.探究新知三角形的内心的定义和性质知识点2问题2如图，分别过点作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？BACIEFGIE=IF=IG探究新知例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角板与圆相

切且测得PA＝5cm,求铁环的半径．解：如图，对图形进行标注，连接OA，ON，OP.在△OPA和△ONA中，OP＝ON，ON⊥AC，OP⊥PB，OA＝OA，∴Rt△OAP≌Rt△OAN.∴AP＝AN.∵在Rt△ABC中，∠BCA＝30°，∴∠CAB＝60°.∵∠PAC＋∠CAB＝180°，∴∠PAC＝120°.∵∠OAP＝∠OAN，∴∠OAP＝60°.∵PA＝5cm，

1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.2.三角形的内心在三角形的内部.3.三角形的内切圆的半径是内心到三角形任意一边的垂直距离.解读三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.探究新知例如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠

BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴IB，IC分别是∠

B，∠C的平分线，在△IBC中，利用三角形内心的性质求角度素养考点探究新知如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=

.解析：∵点P是△ABC的内心,∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.巩固练习90°例3如图，PA，PB分别切⊙O于点

A，B，BC为⊙O的直径．(1)求证：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝8cm，求AC的长．ABOCP解：(1)连接OA.∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PO平分∠APB.∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠POA＝∠POB.∵OA＝OC，∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，∴∠BOA＝2∠OCA.∵∠BOA＝∠POA＋∠POB＝2∠POB，∴∠POB＝∠OCA.∴AC∥OP.∴∠OAC＝∠OCA.ABOCP(2)连接AB.易证△PAB为等边三角形，∴∠PBA＝60°.由(1)，得∠PBO＝90°，∴∠ABO＝30°.∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵B