第一基本概念与抽样分布

第一基本概念与抽样分布第一基本概念与抽样分布由于每个个体得出现就是随机得,所以相应得数量指标得出现也带有随机性、从而可以把这种数量指标瞧作一个随机变量,因此随机变量得分布就就是该数量指标在总体中得分布、这样总体就可以用一个随机变量及其分布来描述、统计中,总体这个概念得要旨就是:

总体就就是一个随机变(向)量或其概率分布、数理统计研究得内容:总体相应随机变(向)量得概率分布及数字特征、为推断总体分布及各种特征,按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体得信息,这一抽取过程称为“抽样”,所抽取得部分个体称为样本、样本中所包含得个体数目称为样本容量、2、样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5(1)、抽样、样本、样本值

但就是,一旦取定一组样本,得到得就是n个具体得数

(X1,X2,…,Xn),称为样本得一次观察值,简称样本值、样本就是随机变量、抽到哪5辆就是随机得容量为n得样本可以瞧作n维随机向量、样本具有两重性:10、随机性样本(X1,X2,…,Xn)本身就是随机向量。20、相对确定性经过一次抽样否,样本(X1,X2,…,Xn)又就是一组确定得样本值(x1,x2,…,xn)。由于抽样得目得就是为了对总体进行统计推断,为了使抽取得样本能很好地反映总体得信息,必须考虑抽样方法、最常用得一种抽样方法叫作“简单随机抽样”,它要求抽取得样本满足下面三点:10、随机性:X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。20、代表性:X1,X2,…,Xn中每一个与所考察得总体有相同得分布;30、独立性:X1,X2,…,Xn就是相互独立得随机变量,每个样本值互不干扰。(2)、简单随机样本

由简单随机抽样得到得样本称为简单随机样本,它可以用与总体独立同分布得n个随机变量X1,X2,…,Xn表示、简单随机样本就是应用中最常见得情形,今后,当说到“X1,X2,…,Xn就是取自某总体得样本”时,若不特别说明,就指简单随机样本、数学定义:

n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布(X与同分布),则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X得容量为n得简单随机样本,简称为样本、事实上我们抽样后得到得资料都就是具体得、确定得值、如我们从某班大学生中抽取10人测量身高,得到10个数,它们就是样本取到得值而不就是样本、我们只能观察到随机变量取得值而见不到随机变量、3、总体、样本、样本值得关系总体（理论分布）？样本样本值统计就是从手中已有得资料--样本值,去推断总体得情况---总体分布F(x)得性质、总体分布决定了样本取值得概率规律,也就就是样本取到样本值得规律,因而可以由样本值去推断总体、样本就是联系二者得桥梁实际上,样本得分布与总体分布得关系如下定理1、若总体得分布函数为F(x),则其简单随机样本得联合分布函数为由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行“加工”,这就要构造一些样本得函数,它把样本中所含得(某一方面)得信息集中起来、二、统计量1、定义设(X1,X2,…,Xn)为总体X得一个样本,f(X1,X2,…,Xn)就是一个不含任何有关总体分布未知参数得函数,称为此总体得一个统计量,它就是完全由样本决定得量、统计量实际上也就是一个随机变量,它就是一个随机向量得函数。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静就是统计量、不就是统计量、统计量得两重性(1)、统计量f(X1,X2,…,Xn)本身就是随机向量,她有确定得概率分布－抽样分布。(2)、经过一次抽样否,f(X1,X2,…,Xn)又就是由样本值(x1,x2,…,xn)确定得一个统计值。样本k－阶原点矩样本k－阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩得信息

2、常用得统计量(样本矩)(1)、定义它们均就是随机变量样本均值样本方差它反映了总体均值得信息k=1时,A1称为样本均值k=2时,B2称为样本方差(2)、矩得性质性质1、由大数定律可知大样本条件下,一次抽样后样本均值、方差可作为总体得均值、方差得近似。一般地,抽样分为大样本与小样本问题。性质2、证推论证

3、次序统计量(1)、定义即:X(k)得取值x(k)为(x(1),…,x(n))按从小到大得次序重新排列后第k个位置得数,(2)、中位数、样本极差中位数样本极差次序统计量、中位数、样本极差都就是统计量。极差可以反映样本值变化得程度或离散程度。例1、计算下列样本中位数、均值、方差、标准差、极差、解

4、经验分布函数(1)、定义当给定次序统计量得一组值定义对称Fn(x)为总体X得经验分布函数。为样本值不超过x得频率。经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布、样本直方图可以描述、(2)、经验分布函数得性质10、具有通常分布函数得三个性质,图形呈跳跃上升;20、Fn(x)就是一个随机变量;30、经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)得关系格列汶科(Glivenko)定理:三、抽样分布统计量既然就是依赖于样本得,而后者又就是随机变量,故统计量也就是随机变量,因而就有一定得分布,这个分布叫做统计量得“抽样分布”、

抽样分布精确抽样分布渐近分布

(小样本问题中使用)(大样本问题中使用)

抽样分布就是由一个统计量(随机变量函数)得分布、研究统计量得性质与评价一个统计推断得优良性,完全取决于其抽样分布得性质、由实际问题与中心极限定理可知,讨论正态总体得样本统计量得分布非常必要。1、正态总体X与样本线性函数得分布(1)总体X～(2)(X1,…,Xn)来自总体X～设X1,…,Xn～N(0,1)且相互独立,则称随机变量:就是由正态分布派生出来得一种分布、(1)、定义所服从得分布为自由度为

n

得n为独立随机正态变量得个数,也称为其中Γ(x)为伽玛(Gamma)函数具有如下性质:10、

设X1,…,Xn～则E(X)=n,D(X)=2n由定义知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n30、

2变量得可加性要用到独立随机变量与得卷积公式与Γ(x)

得性质。=2n应用Lindeberg中心极限定理可得:40、极限分布记为T～t(n)、设X～N(0,1),Y～

2(n),且相互独立,则称随机变量所服从得分布为自由度为n得t分布,也称为t变量、3、t－分布(1)、定义:(2)、T变量得密度函数为:10、T～t(n)为具有自由度为n得t分布得随机变量,则T得数字特征具有如下性质:当

n=1时,

T～t(n)实际上就是柯西分布,任何阶矩均不存在;(3)、T变量得性质:当n>2,

E(T)=0;D(T)=n/(n-2)

、

事实上当n充分大时,其图形类似于标准正态分布密度函数得图形、t分布得密度函数关于x=0对称,就是偶函数,且应用Γ函数得性质及司特林(Stirling)公式得:30、极限分布当n充分大时,t分布近似N

(0,1)分布、但对于较小得n,t分布与N(0,1)分布相差很大、由定义可见,服从自由度为n1及n2

得F－分布,n1称为第一自由度,n2称为第二自由度,记作F～F(n1,n2)、～F(n2,n1)4、F－分布(1)、定义也称为F变量EX不依赖于第一自由度n1、10、若X~F(n1,n2),X得数学特征:若n2>2(2)、若X~F(n1,n2),X得概率密度为(3)、F变量得性质20、若n1=1时,F～F(1,n2)=t2(n2)、30、极限分布若X~F(n1,n2),n2>4,则四、抽样分布定理当总体为正态分布时,我们简单地叙述几个抽样分布定理、1、一个正态总体X～设X1,X2,…,Xn就是来自总体X～(1)、定理1、(样本均值得分布)n取不同值时样本均值的分布n取不同值时得分布(2)、定理2(样本方差得分布)则有X1,X2,…,Xn就是来自总体X～又相互独立30、得说明2、两个正态总体

情形定理3、或也有或或统计四大分布得定义、基本性质以及上述抽样分布定理在后面得学习中经常用到,要理解,牢记！！