2021-2022学年河北省石家庄市赞皇县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年河北省石家庄市赞皇县九年级第一学期期末数学

试卷

一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1〜10小题各3分；11〜16小题各2分，在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.一元二次方程/+2x=0的解为（）

A.x=-2B.x=2C.xi=0,X2=-2D.x1=0,xi=2

2.下列属于必然事件的是（）

A.水滴石穿B.水中捞月C.守株待兔D.大海捞针

3.如图放置的一个水管三叉接头，若其主视图如图1所示，则其俯视图是（）

A.（）B.gC.|（）D.自

4.若点（2,5）,（4,5）是抛物线y^ax2+hx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴

是（）

A.直线x=lB.直线x=2C.直线x=3D.直线x=4

5.如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）

A.甲与丙B.甲与乙

C.乙与丙D.三个矩形都不相似

6.如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行

至A处时，测得岛屿尸恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达8处，测得岛屿P

在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之

间的距离（即PC的长）为（）

A.40海里B.60海里C.40T海里D.20T海里

7.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,

1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，

抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

42164

8.如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸

片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（）

9.给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程N-3x+5=0的两

根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互

补.其中，真命题为（）

A.①②④B.①③④C.①④D.①②③④

10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为

（）

11.《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已

突破48亿.第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房

为4.7亿元，若把增长率记作x.则方程可以列为()

A.4.1(1+x)=4.7

B.4.1(1-x)2=4.7

C.4.1(1+x)2=4.7

D.4.1+4.1(1+JC)+4.1(1+x)2=4.7

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线y=/2-2x,其对称

轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为()

A.2B,4C.8D.16

13.若点A(xi,yi),B(%2,”)，C(右，”)都在反比例函数■的图象上，并且为

X

<0<X2<X3,则下列各式中正确的是()

A.y\<yi<yiB.y2<y3<y\C.y\<y3<y2D.

14.从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形ABC。为矩形，E,

产分别是AB,OC的中点.若45=105,A8=6CTH,则这个正六棱柱的侧面积为()

AEB

C.180C/M2D.180y的2

15.如图，已知直线y=gx-3，与x轴、y轴分别交于4、8两点，P是以C（0,1）为圆

4

则△P48面积的最小值是（）

C.5D.4.5

16.如图，在Rtz\ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8.在AABC内并排（不重叠）放入

边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个

顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（）个小正方形纸片.

A.14个B.15个C.16个D.17个

二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分，18〜19小题各有2个空，每空2

分）

17.已知函数＞=（w-1）-2是反比例函数，则加的值为.

18.如图，高为6〃？的电线杆的顶上有一盏路灯，电线杆底部为A,身高1.5m的男孩站在

与点A相距6机的点8处，若男孩以6机为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子

BC—相；8C扫过的面积为m2.

19.已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系xOy中的射线。和射线

CB.若点P(0,D(0<r<4)是y轴上一点，过点尸作轴交CA,CB于点M,

N,连结。M,ON,则弊的比值为，△MON的面积最大值为

NP--------

图1

三、解答题(本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

20.(1)计算：(3-TT)0-2sin60°+|1-«|+(/)r.

(2)解方程：3x(x-1)—x-1.

21.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长为1个单位长度，题中所给各点均在格点

上.

(1)以图中的点。为位似中心，将△A8C作位似变换，且放大到原来的2倍，得到△

A}B\C\,画出△AiBG.

(2)连接CO,AO.完成下面填空:

S△ABC

①----1二L=,tanZACO=,sinZBCO=.

,△ABC

②现有一个三边长分别为1,2加,x的三角形与△OAC相似，则》=

22.近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球.如图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后,

任选一条通道.

(1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由(利用树状图或列表来求解)；

(2)求小明从中间通道进入A密室的概率.

23.如图，在RtZXABC中，/ACB=90°,4c=12,BC=5,半径为2的。。分别与AC、

BC相切于点E、F.

(1)求证：AB是。。的切线；

(2)求图中阴影部分的面积.

24.图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定

在门框上，通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图，已知轨道48=120a”,

两扇活页门的宽。C=OB=60c/n,点8固定，当点C在AB上左右运动时，OC与。B的

长度不变.(所有的结果保留小数点后一位)

(1)若NOBC=50°,求4c的长；

(2)当点C从点A向右运动60c5时，求点O在此过程中运动的路径长.

参考数据：sin50°七0.77.cos500弋0.64,tan50°弋1.19,n取3.14.

25.在校园嘉年华中，九年级同学将对一块长20/n,宽10/77的场地进行布置，设计方案如

图所示.阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度

相同，其宽度不小于4,”，不大于8〃7.设出口长均为x（m）,活动区面积为y（机2）.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？

（3）若活动区布置成本为10元加2,绿化区布置成本为8元•2,布置场地的预算不超过

1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本.

26.如图1,AABC为等边三角形，AB=20,点。为BC边上的动点（点。不与点3,C

重合），且交AC边于点E.

（1）求证：△ABQS/^OCE；

（2）如图2,当Z）运动到8c的中点时，求线段CE的值；

（3）如图3,在（2）的基础上，点P为A。上一动点（点P不与点A,。重合），连接

CP,将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CP,连接BP.

①NCBP的度数是定值吗？为什么？

②直接写出。P'的最小值.

参考答案

一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1〜10小题各3分；11〜16小题各2分，在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.一元二次方程N+2x=0的解为（）

A.x=-2B.x=2C.xi=0,X2—-2D.xi=0,X2—2

【分析】利用因式分解法求解即可.

解：".'x2+2x=0,

.\x（尤+2）=0,

贝ijx=0或x+2=0,

解得xi=0,X2=-2,

故选：C.

2.下列属于必然事件的是（）

A.水滴石穿B.水中捞月C.守株待兔D.大海捞针

【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即

可.

解：4.水滴石穿，是必然事件，因此选项符合题意；

8.水中捞月，是不可能事件，因此选项不符合题意；

C,守株待兔，是随机事件，因此选项不符合题意；

D.大海捞针，是随机事件，因此选项不符合题意；

故选：4

3.如图放置的一个水管三叉接头，若其主视图如图1所示，则其俯视图是（）

A.()B.gC.|()D.自

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

解：从上面看，可得到左边是一个圆，右边是长方形，一组对边与圆相接:

故选：A.

4.若点（2,5）,（4,5）是抛物线y=ox2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴

是（）

A.直线x=lB.直线x=2C.直线x=3D.直线x=4

【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴.

解：..•点（2,5）,（4,5）是抛物线y=ox2+w+c上的两个点，且纵坐标相等.

,根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线1=等=3.

故选：C.

5.如图，有甲，乙、丙三个矩形，其中相似的是（）

2

1.5亡乙］34

1|1

A.甲与丙B.甲与乙

C.乙与丙D.三个矩形都不相似

【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做

相似多边形，据此作答.

解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为2：3,1.5：2=3：4,2：

3,

二甲和丙相似，

故选：A.

6.如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行

至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P

在其北偏西30。方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之

间的距离（即尸C的长）为（）

A.40海里B.60海里C.40y海里D.20y海里

【分析】首先证明尸8=BC,推出NC=30°,可得PC=2PA,求出尸A即可解决问题.

解：在RtZiPAB中，VZAPB=30°,

：.PB=2AB,

由题意得BC=2A8,

：.PB=BC,

：.ZC=ZCPB,

VZABP^ZC+ZCPB=60°,

AZC=30°,

：.PC=2PA,

,.,PA=A8・tan60°,

APC=2X20X73=40^3（海里），

故选：C.

7.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,

1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，

抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

42164

【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式

求解可得.

解：画树状图如下：

由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，

...抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为*,

故选：B.

8.如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸

片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（）

【分析】利用中心对称图形的性质直接判断得出.

解：4不是中心对称图形，故此选项错误；

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

。、不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：C.

9.给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程N-3x+5=0的两

根之积为5：③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互

补.其中，真命题为()

A.①②④B.①③④C.①④D.①②③④

【分析】根据相似三角形的性质、一元二次方程根的判别式、圆心角定理、圆内接四边

形的性质判断即可.

解：①相似三角形的周长之比等于其相似比，是真命题；

②方程N-3x+5=0,△=(-3)2-4X1X5=-11<0,方程无实根，是假命题；

③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，是假命题；

④圆的内接四边形对角互补，是真命题；

故选：C.

10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=or+c和二次函数y^ax2+hx+c的图象大致为

【分析】先分析一次函数，得到。、C的取值范围后，对照二次函数的相关性质是否一致，

可得答案.

解：依次分析选项可得：

A、分析一次函数y=or+c可得，〃>0,c>0,二次函数丫=0^+版+。开口应向上；与图

不符.

B、分析一次函数y=or+c可得，a<0,c>0,二次函数丫=以2+/以+。开口应向下，在y

轴上与一次函数交于同一点；符合.

C、分析一次函数y=or+c可得，a<0,c<0,二次函数>=。/+灰+。开口应向下；与图

不符.

D、一次函数)=依+。和二次函数y=ox2+6x+c常数项相同，在y轴上应交于同一点；与

图不符.

故选：B.

11.《长津湖》以抗美援朝战争中长津湖战役为背景，影片一上映就获得追捧，目前票房已

突破48亿.第二天票房为4.1亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第四天的票房

为4.7亿元，若把增长率记作北则方程可以列为()

A.4.1(1+x)=4.7

B.4.1(1-%)2=4.7

C.4.1(1+x)2=4.7

D.4.1+4,1(1+x)+4.1(1+x)2=4.7

【分析】利用第四天的票房=第二天的票房X(1+增长率)2,即可得出关于X的一元二

次方程，此题得解.

解：依题意得：4.1(1+%)2=4.7.

故选：c.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=于2经过平移得到抛物线y=/2_2x,其对称

轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）

A.2B.4C.8D.16

【分析】根据抛物线解析式计算出y=/x2-2x的顶点坐标，过点C作CAJ_y轴于点A,

根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可.

解：过点C作C4_Ly,

:抛物线y=/x2-2x="1"（N-4X）（x2-4x+4）-2=-^（x-2）2-2,

二顶点坐标为C（2,-2）,

对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2X2=4,

%）都在反比例函数丫=上的图象上，并且加

13.若点A(xi,yi),B(X2,yi),C(xs,

X

<0<X2<X3,则下列各式中正确的是（）

A.y[<y2<y3B.yi<yy<y\C.y\<y^<y2D.y3<y\<y2

【分析】根据k=l>0,可知在同一象限内，y随x的增大而减小即可解决问题.

解：・・・仁1>0,

・,.在同一象限内，y随X的增大而减小,

VX1<O<X2<X3，

故选：C.

14.从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形A3CO为矩形，E,

产分别是A3,DC的中点.若AO=10cm,AB=6cm9则这个正六棱柱的侧面积为（）

C.18(WD.180底的2

【分析】根据4E的长，求底面正六边形的边长，用正六边形的周长XAO,得正六棱柱

的侧面积.

解：如图，正六边形的边长为AG、BG,

GE垂直平分AB,

由正六边形的性质可知，NAGB=120°,NA=/B=30°,AE=^AB=3,

ip§

所以‘46=许彳=返=2«'

2

正六棱柱的侧面积=6AGXA£>=6X22FxiO=12（）y（cw2）.

故选：B.

15如图'已知直线尸为-3,与、轴、y轴分别交于人B两点，P是以c。I）为圆

心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB,则△PAB面积的最小值是（）

A.6B.5.5C.5D.4.5

【分析】过。作CMLAB于M,连接AC,MC的延长线交OC于N,则由三角形面积公

式得，IxABXCM^^XOAXBC,可知圆C上点到直线尸条-3的最短距离是普-

1=圣，由此求得答案.

5

解：过C作CMLAB于例，连接AC,A/C的延长线交OC于M

则由三角形面积公式得，^XABXCM^XOAXBC,

；.5XCM=16,

.♦.圆C上点到直线尸条-3的最小距离是普-1=皆

455

.•.△PA8面积的最小值是《X5x4=4，

252

故选：B.

16.如图，在RtZVIBC中，ZC=90",AC=6,8c=8.在△ABC内并排（不重叠）放入

边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，首尾两个正方形各有一个

顶点分别在AC、BC上，依次这样摆放上去，则最多能摆放（）个小正方形纸片.

c

R

A.14个B.15个C.16个D.17个

【分析】首先求得斜边上的高线的长度，即可确定小正方形的排数，然后确定每排的个

数即可.

解：作CFLAB于点尸.

F

在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,则由勾股定理，得A8=10

SABC=—AB'CF=—AC'BC

&22

/.CF=4.8.

则小正方形可以排4排.

最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与aABC的边交于D、E.

'：DE//AB,

DE_4.8-1DE_3.8

AB―_4.8AB-T8'

解得：OE=维整数部分是7.

12

则最下边一排是7个正方形.

第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H.

GH_4.8-2

AB―-4.8'

解得G”=学整数部分是5,

则第二排是5个正方形；

同理：第三排是：3个；

第四排是：1个.

则正方形的个数是：7+5+3+1=16.

故选：c.

二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分，18〜19小题各有2个空，每空2

分）

17.已知函数、=（w-1）是反比例函数，则优的值为-1.

【分析】根据反比例函数的定义，即），=上（％#0）,只需令机2-2=-1且机-1#0即

x

可.

解：根据题意，/-2=-1,

.'.m—±1,

又“7-1W0,m,

所以m=-1.

故答案为：-1.

18.如图，高为6初的电线杆的顶上有一盏路灯，电线杆底部为月，身高15”的男孩站在

与点A相距6〃?的点B处，若男孩以6根为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子

【分析】根据△CSDs^CAE,即可得到CB=2,AC=8,再根据男孩以6根为半径绕电

线杆走一圈，即可得出他在路灯下的影子BC扫过的面积.

解：如图所示，

'：AE//BD,

:.XCBDsMCAE,

.BC_BDQHCB_1.5

,"CA=AE*CB+6--

解得CB=2,

，AC=8,

•••男孩以6m为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子8c扫过的面积为nX82-nX

62—28Ttm2.

故答案为：2,281T.

19.已知，根据图1的y与x的关系，得到图2平面直角坐标系xOy中的射线。和射线

CB.若点P(0,D(0V/V4)是y轴上一点，过点尸作MN〃x轴交CA,CB于点M,

N,连结。M,ON,则绊的比值为4,△MON的面积最大值为5

NP--------

图1

【分析】由图1可得直线CA,CB的表达式，求出点A和点8的坐标，进而求出。4和

0B的长；由仞7〃工轴可得，MP：AO=CP：CO=NP：OB,即MP：NP=AO：0B=4；

设点P的纵坐标为f,则可表达点M和点N的坐标，进而可表达MN的长，表达△MON

的面积，再根据二次函数最值问题求解即可.

解：由图1可知，直线。：y=^.r+4(xWO)；直线CB：y=-2x+4(x>0),

(8,0),B(2,0),

：.OA=S,0B=2,

轴，

：.MP：AO=CP-.CO=NP-.OB,

：.MP：NP=AO：0B=8：2=4；

•.•点P(0,r)(0<Z<4),

：.M(2r-8,r),N(-—t+2,t),

2

15

：.OP=t,MN=(-—r+2)-(2r-8)=-—r+10,

22

.*•SAMCW=JOP*MN

1R

=—fr+10)

22

=(r-2)2+5,

4

...当r=2时，SAMON有最大值5.

故答案为：4；5.

三、解答题(本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

20.⑴计算：(3-n)°-2sin60。+|1-«|+弓)1

(2)解方程：3x(x-l)=x-1.

【分析】(1)先计算零指数累、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数基，

再计算乘法，最后计算加减即可；

(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一

次方程，再进一步求解即可.

解：(1)原式=1-2X亨+«-1+2

=1-V3+V3-1+2

=2；

(2)'.'3x(x-1)=x-1,

.,.3x(x-1)-(x-1)=0,

则(x-1)⑶-1)=0,

Ax-1=0或3冗-1=0,

解得阳=1,X2=~2,

21.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长为1个单位长度，题中所给各点均在格点

上.

(1)以图中的点O为位似中心，将△A5C作位似变换，且放大到原来的2倍，得到△

A\B\C\,画出△AK1.

(2)连接CO,AO.完成下面填空：

①SziAiB：Ci.=4,tan/ACO=—,sinZBCO=返.

SAAB:--3--5一

②现有一个三边长分别为1，2近,x的三角形与△OAC相似，则尤=_JJ.

【分析】（1）根据位似中心的性质，可得出点A、B、C的对应点;

（2）利用相似三角形的性质和三角函数的定义可得答案；

（3）根据相似三角形的性质，知对应边成比例可求出x的值.

解：（1）如图所示，△43G即为所求;

（2）如图,

①;△Ai8GsZvlBC,且相似比为2,

SAABC

.1.1=22=4-

SAAK

由图可得，tan/ACo],

O

：BC=y/心+22—»

**•sin/BCO-^

V55

故答案为：4,Y5；

35

②•・，A0=&,CO=4,AC=yflQy

由题可知，-X=^T^-=-4=,

V24V10

故答案为：

22.近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球.如图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后,

任选一条通道.

（1）他进A密室或8密室的可能性哪个大？请说明理由（利用树状图或列表来求解）；

【分析】（1）此题可以采用树状图法求解.一共有6种情况，其中进入A密室的有2种

可能，进入B密室的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大；

(2)根据(1)中的树形图即可求出小明从中间通道进入A密室的概率.

解：(1)画出树状图得:

...由表可知，小明进入游区后一共有6种不同的可能路线，因为小明是任选一条道路,

所以走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入4密室的有2种可能，进入B密室

的有4种可能，所以进入B密室的可能性较大;

(2)由(1)可知小明进入A园区的通道分别是中入口和右入口，因此从中间通道进入

A园区的概率为

1

6

23.如图，在RtZ\A8C中，/ACB=90°,AC=12,BC=5,半径为2的。。分别与AC、

BC相切于点E、F.

(1)求证：A8是。。的切线；

(2)求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)连接OE,OF,过点。作OOL4B于点C,证明OO=OF,即可得结论;

(2)将不规则图形转化为规则图形间的换算.

【解答】(1)证明：连接。E,OF,AC,过点。作OOL48于点。，

B

D

;半径为2的。。分别与AC、8c相切于点E、F.

：・0F=0E=2,ZOEC=ZOFC=90°,

=

e.•S^AOC+SZXBOC+S^AOBSAABC9

：.—XAC-OE+—XBC-OF+—XAB>OD=—XAC-BC,

2222

:.0D=2,

'：OD±AB,

」.AB是。。的切线；

(2),:BC、AC与圆分别相切于点尸、点E,

：.OF_LBC,OELAC,

四边形OEC尸是正方形，

：.OE=OF=EC=FC=OD=2,/EOF=9Q°,

VZACB=90°,AC=12,BC=5,

二AB=VAC2+BC2=V122+52=13'

:。。是△ABC的内切圆，

ZEOA=ZDOA,NFOB=ADOB,

：.ZAOB^—(360°-90°)=135°,

2

・'・S阴影=SAAOB-S扇形

=1x13X2-135^X22

2360

=13-”.

2

故图中阴影部分的面积是：13-筌.

24.图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定

在门框上，通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图，已知轨道48=1205/,

两扇活页门的宽OC=OB=60a〃，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与的

长度不变.(所有的结果保留小数点后一位)

(1)若/O8C=50°,求AC的长；

(2)当点C从点A向右运动60c/n时，求点。在此过程中运动的路径长.

【分析】(1)作。3c于H,如图2,利用等腰三角形的性质得BH=CH,在Rt4

OBH中利用余弦定义计算出BH,从而得到BC的长，然后计算AB-BC即可；

(2)先判断△08C为等边三角形得到/O8C=60°,再根据圆的定义得到点。在此过

程中运动路径是以B点为圆心，8。为半径，圆心角为60。的弧，然后根据弧长公式计

算即可.

解：(1)作OHLBC于H,如图2,

OB=OC,

：.BH=CH,

在Rt4OBH中，cosZOBH=—,

OB

，BH=60・cos50°=60X0.64=38.4(cm),

：.BC=2BH=2X38.4=76.8(cm),

：.AC=AB-120-76.8=43.2Cem).

答：AC的长为43.2cm；

(2)•.•O8=OC=60,

而BC=60,

:.△OBC为等边三角形，

；.NOBC=60°,

当点C从点A向右运动60a"时，点。在此过程中运动路径是以8点为圆心，BO为

半径，圆心角为60°的弧,

.•.点。在此过程中运动的路径长=60-71-60—2071^62.8(cm)

180

0

25.设计方案如

图所示.阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为活动区，且4个出口宽度

相同，其宽度不小于4根，不大于8根.设出口长均为x（m），活动区面积为y（麻）.

（1）求y关于x的函数表达式;

（2）当x取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？

（3）若活动区布置成本为10元加2,绿化区布置成本为8元加2,布置场地的预算不超过

1850元，当x为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本.

【分析】（1）根据活动区域的面积等于矩形的面积减去绿化区的面积，可得y与x的关

系式;

（2）根据二次函数的增减性可得结论;

（3）根据列方程即可得到结论.

20-x