2022-2023学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市河北区高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.下列事件中，是随机事件的是()

①明天本市会下雨；

②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；

③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；

④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.

A.①③B.③④C.①④D.②③

2.i是虚数单位，若(21—3k—2)+(1—2k)i是纯虚数，则实数k的值为()

A.0或2B.2C.D.2或-g

3.3知向量五=(—1,4),b=(3,-22),若五〃(21+1)，则4=()

A.—1B.6C.—6D.2

4.若一个圆锥的底面半径为2,母线长为3,则该圆锥的侧面积为()

A.47rB.67rC.37rD.127r

5.如图，已知△ABC中，。为AB的中点，AE=|ZC,若炭=4同+〃同，贝！U+〃=()

6.设4、B、C、。是某长方体四条棱的中点，则直线48和直线CD的位

置关系是()

A.相交

B.平行

C.异面

D.无法确定

7.设血，九是两条不同的直线，a,S是两个不同的平面，则下列命题中正确的为()

A.若m1几，mca,nc/?,贝!Ja〃夕

B.若a//S，THua,nu0,贝!|血//九

C.若m〃7i,九ua,a”B,则

D.若7nla,n1/?,a〃S，则m〃几

8.从集合｛0,123｝中随机地取一个数a,从集合｛3,4,6｝中随机地取一个数b,则向量记=（ha）

与向量元=（1,一2）垂直的概率为（）

AdB.：C.iD.1

9.一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年

初六），在趋黄江红》所浪地球2》信导出没•伴我“熊芯”少抚名》祢海》狡换人生》等

电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上

第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（）

历年春花档观影人数（万）历年春节档场次（万）

315

2019年2021年2022年2023年2019年2021年2022年2023年

历年春节档上映新片数量历年春节档票房（亿元

1078.43

201I9年20l21年l2022年i2023年201i9年2l021年i2022年f2023年

A.2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B.这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C.这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D.这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年

10.如图，在三棱锥P—28C中,PA=4C=BC,PA_L平面ABC,乙4cB=90°,

。为PB的中点，则直线CO与平面P4C所成角的余弦值为（）

A.♦

B.三

3

C.6

3

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

ILi是虚数单位，化简普的结果为______.

3+4i

12.某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为J,p,该同学站在这

两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为:，贝物的值为.

13.某校举行演讲比赛,10位评委对一名选手的评分数据如下：8.0,7.7,8,1,8.2,7,6,7.8,

7.9,8.7,8.8,7.5,根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是.

14.正方体4BCD-&B1C1D1中，异面直线与4劣所成角的大小为.

15.如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在。处观...B

测，4、B分别在。处的北偏西15。、北偏东45。方向，再往正/

东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，4在C处\^\/

的北偏西60。方向，则4B两处岛屿的距离为_____海里._______

口C

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题8.0分）

一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球（标号为1和2）,2个绿球（标号为3和4）,

从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R="两次都摸到红球”，G="两次都摸到绿

球"，M="两个球颜色相同"，N="两个球颜色不同”.

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（2）写出事件R与G,M与N之间的关系；

（3）写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.

17.（本小题10.0分）

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a+b=ll,c=7,cosA=-i

（I）求a,b的值；

（II）求5讥B的值及△ABC的面积.

18.(本小题10.0分)

某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校

食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样

本数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

(2)试估计该校学生满意度打分的众数、中位数(中位数保留小数点后2位)；

(3)若采用分层随机抽样的方法，从打分在[40,60)的学生中随机抽取5人了解情况，再从中选

取2人进行跟踪分析，求这2人打分都在[50,60)的概率.

频率

0.028

0.022

0.018

aL一—一

0.004H-1

o405060708090100分数

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，PA1平面ABCD,底面4BCD是菱形，点。是对角线4C与BD的

交点，AB=2,NBA。=60。，M是PD的中点.

(I)求证：0M〃平面P4B；

(II)求证：平面PB。_L平面P4C；

(III)当三棱锥C-的体积等于冬时，求P4的长.

答案和解析

L【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查随机事件的定义，即可求解.

根据已知条件，结合随机事件的定义，即可求解.

【解答】

解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件，

②不可能发生，是不可能事件，

④一定发生，是必然事件.

故选：A.

2.【答案】C

【解析】解：；(2廿一3k—2)+*2_2k)i是纯虚数,

,(2k2-3k-2=0；_1

"U2-2^0'-k=-2-

故选：C.

由纯虚数的概念得到关于k的关系式，求解即可.

本题考查复数的概念，还考查了数学计算，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：向量五=(一1,4),b=(3,-22)，

则2五+方=(1,8—24)，

由1〃(2日+石)，得4=-8+2九

解得4=6.

故选：B.

利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.

本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：圆锥的底面半径为2,母线长为3,

则该圆锥的侧面积为

S侧面积=Tirl=n-2-3=

故选：B.

根据圆锥的底面半径和母线长计算侧面积即可.

本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：•丽=力？+荏

=

1一1一一

=^BA+^(BC-BA)

1一1一

=BA+^BC

V63

63

.・"]=-11n=-1

〃，

•••a+=:o

故选：c.

利用平面向量的基本运算即可用荏和阮线性表示出炭，从而求出九〃的值.

本题主要考查了平面向量的基本运算，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：解法一：如图，延长ME使ME=EF,

因为4,B,C,D为棱的中点，

所以延长DC,AB都会交EF中点H处,

所以直线28和直线CD的位置关系为相交.

解法二：如图所示，连接4DEF,BC,

则易得4。平行且等于EF,EF平行且等于2倍8C,

所以4D平行且等于2倍BC,

所以四边形28CD为梯形，

所以直线和直线CD的位置关系是相交.

故选：A.

解法一：在长方体中，延长ME,DC,AB,即会得到直线4B和直线CD的位置关系.

解法二：证明BC平行等于二分之一AD,即可判断.

本题考查空间中直线与平面的位置关系，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：选项A,若m1n,mua,nu0,则a〃。或a与/?相交，即A错误；

选项B,若a.〃B，爪ua,nu6,则或?n与ri异面，即B错误；

选项C,若zn〃n,nca,a〃£,则或muS，即C错误；

选项。，因为m_La,a〃夕，所以m_L。，又TI10,所以m〃n,即£＞正确.

故选：D.

根据空间中线与面的位置关系，逐一判断选项，即可.

本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面的位置关系分类，线面垂直的性质定理

是解题的关键，考查空间立体感，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解:从集合｛0,123｝中随机地取一个数a,从集合｛3,4,6｝中随机地取一个数b,基本事件总

数N=12.

当向量记=(4a)与向量元=(1,—2)垂直时，b=2a,满足条件的基本事件有(4,2),(6,3),共两

个,

则所求概率P==1

iZo

故选：D.

先求出基本事件的个数，然后求解满足向量沅，元的个数，结合古典概率的求解公式可求.

本题主要考查了向量垂直的坐标表示及古典概率的求解公式的简单应用属于基础试题.

9【答案】D

【解析】解：对于42022年春节档平均每场观影人数为喏=36,

2023年春节档平均每场观影人数为粤=49,故A错误；

对于8,这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7,8,8,10,所以众数为8,故2

错误；

对于C,这4年中，每年春节档票房的极差为78.43-59.05=19.38亿元，故C错误；

对于。，这4年平均每部影片的观影人数依次为等“1653万，竺泮21605万，华”1431万，

o1Uo

号冬”1846万，故。正确.

故选：D.

计算2022年，2023年春节档平均每场观影人数可判断4求得这4年中，每年春节档上映新片的

数量的众数可判断B；求出这4年中，每年春节档票房的极差可判断C；求出这4年平均每部影片的

观影人数可判断以

本题考查统计相关知识，属于中档题.

10.【答案】B

z

【解析】解：在三棱锥中，平面

P-4BCPA=AC=BC,PA1ABC,小

乙4cB=90。，。为PB的中点,

以C为原点，CB为x轴，C4为y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴,

建立空间直角坐标系，

111

设PA=AC=BC=1,则C(0,0,0),P(0,l,l),B(l,0,0)，0弓弓弓)，

4(0,1,0)，

1为

-

-

2

co

,0),

=(1,0

向量转

C的法

平面PZ

为仇

所成角

P4C

与平面

线C。

设直

_<3

_1

面.宿

。=

则sin

卒一亍

同一

|砌.

2

=^

1-1

0=

sin

V1-

d=

•••cos

3

3

?.

值为

余弦

角的

所成

面P4C

。与平

・•・直线C

：B.

故选

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，利

标系

角坐

间直

立空

，建

为z轴

的垂线

力BC

平面

C作

，过点

为y轴

，CA

为x轴

，CB

原点

以C为

值.

的余弦

所成角

面P4C

与平

线CO

出直

能求

量法

考查

识，

础知

等基

关系

位置

间的

面面

面、

、线

线线

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求法

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余弦

角的

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考查

本题

题.

中档

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求解

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案】i

【答

n.

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3t)(3

(-4+

(

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答.

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