2020-2021学年长治某中学高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年长治二中高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设5={（x,y）|xy>0},T={（x,y）|x>0且y>0},则（）

A.SUT=SB.Sk）T=TC.snr=sD.Sn7=。

2.如图是某职业篮球运动员在连续11场比赛中得分的茎叶统计图，则该数据的中位数125

54

是（）65197

7

A.31

B.32

C.35

D.36

已知基函数/'（%）=”过点（2,},则n=（

B.-1

4.已知1P是盛④嘱所在平面内一点，质+定+2可="现将一粒红豆随机撒在感&麟内，

则红豆落在解瞬内的概率是（）

TFTH-

A.-B.-C.-D.-

4332

5.同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上”

B.“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”

C.“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”

D.“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”

6.某校打算从高一年级800名学生中抽取80名学生进行问卷调查，如果采用系统抽样的方法，则

抽样的分段间隔应为（）

A.20B.10C.8D.5

7.某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日

均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于

10分钟的有10人，则图中的n,p的值分别为（）

日均课余读书时间/分钟

A.200,0.015B.100,0.010C.100,0.015D.1000,0.010

8.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、

天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率7T的精确度上，首次将“7T”精确到小数点后

第七位，即兀=3.1415926...,在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取

两个数字a,b,则事件"|a—b|S3”的概率为()

A.；B.卷C.|D.2

*3XOJXO

9.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：

甲乙

98817799

610226799

53203023

7104

根据上图对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是

A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差

B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数

C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

fx+2(%<-1)

10.已知/■(久)=(/(-Iv%v2),若/(%)=3,贝k的值是()

(2x(%>2)

A.1B.1或弓C.1,1或土D.V3

11.若a=2%b=ln2,c=lo吗2,则()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

{—%2+4x—2,x>1

i|x+1|x<1，函数g(x)=/O)-kx有三个零点，则A的取值范围是

()

A.(-|,0)U(l,4-2V2)B.(-|,0)

C.(1,4-2V2]D.(1,4-2V2)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知五边形ABCDE满足4B=BC=CD=DE,4BAE=Z.AED=90°,乙BCD=120°,若F为线

段4E的中点，则往五边形4BCDE内投掷一点，该点落在ABCF内的概率为.

14.在某次测量中得到某样本数据如下：90,90,X,94,93.若该样本数据的平均值为92,则该样

本数据的方差为.

15.为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形

4BC。中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，贝雁计

阴影部分的面积是.

16.已知函/(为={|：短丫、>1'若—/(%2)=/。3)%，尤2/3互不相等)，则实数%+

X2+X3的取值范围为-

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.城市公交车的数量太多造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某

站台的60名候车乘客中随机抽取15名，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如表

所示：

组别候车时间人数

一[0,5)2

二[5,10)6

三[10,15)4

四[15,20)2

五[20,25]1

(1)求这15名乘客的平均候车时间

(2)估计这60名乘客候车时间少于10分钟的人数.

18.某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学生中，随机抽取12名进行体质

健康测试，测试成绩(百分制)以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的

为优良.

(I)写出这组数据的众数和中位数；

(□)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少

有1人成绩是“优良”的概率.

66778

19.某中学一名高三数学教师，对其所教的文科班50名同学的一次数学成绩进行了统计，全年级文

科数学平均分是100分，这个班数学成绩的频率分布直方图如图：(总分150分)

(I)试估算这个班的数学平均分是否超过年级文科数学平均分？

(口)从这个班中任取1人，其数学成绩达到或超过年级文科平均分的概率是多少？

f组距

0.014

0.008

0.004

0S090100110120130140150分数

20.2018年10月23日，习近平宣布大桥正式开通；大桥于10月24日上午9时正式通车；这座被誉为

“新世界七大奇迹”的大桥，问鼎多项“世界之最”：世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、

海底沉管隧道最长的跨海大桥；是公路建设史上技术最复杂、施工难度最高、工程规模最庞大

的桥梁，世界最大尺寸高阻尼橡胶隔震支座、世界最大难度深水无人对接的沉管隧道等等…，

现在在定州市中学生中，对这座世纪大桥的了解程度进行调查，随机选取了100人进行问卷调查,

并将问卷中的这100人根据其了解度评分值(百分制)按照［50,60),［60,70),……，［90,100)分成

5组，制成如图所示频率分直方图.

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数和中位数：

(3)已知了解度评分值在［50,60)内的男生数与女生数的比为3：2,若在了解度评分值为［50,60)的人

中随机抽取2人进行问答，求恰有1名女生的概率.

21.假设数学测验的成绩都是正整数，甲、乙两人某次数学测验成绩都是两位正整数，且十位数字

都是8,求甲、乙两人此次数学成绩的差的绝对值不超过2的概率.(画图解答)

22.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p

与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.

当t6(0,14］时，曲线是二次函数图象的一部分，当te［14,45］时，曲线是函数y=loga(t—5)+

839>0且。41)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.

(1)试求p=/'(t)的函数关系式；

(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题主要考查集合的运算.

解：根据题意知S中元素(x,y)中的x与y同号即都大于。或都小于0；

而T中元素(x,y)中的％与y都大于0,得：

TUS,所以SU7=S,SCT=T,所以A正确，B、C、。错误.

故选A.

2.答案：C

解析：解：由茎叶图可知：这组数据为12,15,25,24,36,35,31,39,37,47,51

按照从小到大的顺序是12,15,24,25,31,35,36,37,39,47,51

所以其中位数为35.

故选C.

根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从小到大排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就

是中位数.

本题考查茎叶图的基础知识，以及中位数的求法，同时考查同学们的识图能力，属于基础题.

3.答案：B

解析：解：幕函数y=f(x)的图象经过点(2彳)，

则2九=%解得〃=-1.

故选：B.

根据幕函数的图象经过点(2,手,列方程求出n的值.

本题考查了基函数的定义与应用问题，是基础题.

4.答案:D

解析：试题分析：因为:骸普’,薄%£颍=最,1P点为盘施窘的解边上中线的中点，故

置婢蚓=2•黑建叶现将一粒红豆随机撒在感赢濯内，则红豆落在感麴濯内的概率是肾=学螃=(,

故选£>.

考点：几何概型的概率运算，考查学生的基本运算能力，

5.答案：C

解析：

本题考查互斥事件、对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的

定义的合理运用.

利用互斥事件、对立事件的定义直接求解.

解：同时投掷两枚硬币一次，

在4中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不

发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A是对立事件；

在8中，当两枚硬币恰好一枚正面向上，一枚反面向上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个

反面朝上”能同时发生，故B不是互斥事件；

在C中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其一个不发生时，另一个

有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；

在。中，当两枚硬碰硬币同时反面向上时，”至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，

故。不是互斥事件.

故选：C.

6.答案：B

解析：解：由题意知抽样比/=黑=白，

oUU1U

・•・抽样的分段间隔应为10.

故选：B.

先求出抽样比，再计算抽样间隔.

本题考查抽样间隔的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抽样比的计算.

7.答案：B

解析:解:利用频率之和为1可得,px10=1-(0.018+0.022+0.025+0.020+0,005)x10=0.1,

解得p=0.01,

根据频率、频数、样本容量之间关系可得，-=o,l,解得n=100.

n

故选:B.

频率之和为1求出p的值，由频率、频数、样本容量之间关系即可求出n的值.

本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了频率之和为1的运用，频率、频数、样本容量

之间关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

8.答案：B

解析：解：由题意可知第三到第八位有效数字为4,1,5,9,2,6,

则取到数字a,6的情况有：

(4,1),(4,5),(4,9),(4,2),(4,6),(1,5),(1,9),(1,2),

(1,6),(5,9),(5,2),(5,6),(9,2),(9,6),(2,6),共15种，

其中符合条件的有8种，

故事件“|a-b|=3"的概率P=*

故选：B.

由题意可知第三到第八位有效数字为4,1,5,9,2,6,利用列举法求出取到数字a,b的情况有15

种，其中符合条件的有8种，由此能求出事件“|a-b|S3”的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.答案:D

解析：

对各个选项分别加以判断：根据极差的定义结合图中的数据判断4根据中位数的定义结合图中的数

据判断B；通过计算平均数的公式结合图中的数据判断C；根据方差的公式，结合图中的数据判断D.

由此可以得出答案.

解：首先将茎叶图的数据还原：

甲运动员得分：19181826212035333230474140,

乙运动员得分：17171919222526272929303233,

对于4极差是数据中最大值与最小值的差，

由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47-16=21,乙运动员得分的极差为33-17=16,

得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确;

对于B,甲数据从小到大排列：18181920212630323335404147,

处于中间的数是30,所以甲运动员得分的中位数是30,同理求得乙数据的中位数是26,

因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故8正确；

对于C,不难得出甲运动员的得分平均值约为29.23,乙运动员的得分平均值为25.0,

因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；

对于。，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定.

可以算出甲的方差为：

S伊2=±[(19-29.2)2+(18-29.2)2+...+(的-29.2)2]=88.22,

同理，得出乙的方差为：Sj.=29.54.

因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故。不正确.

故选。.

10.答案：D

解析：

利用分段函数的解析式，根据自变量所在的区间进行讨论表示出含字母x的方程，通过求解相应的方

程得出所求的字母x的值.或者求出该分段函数在每一段的值域，根据所给的函数值可能属于哪一段

确定出字母X的值.

本题考查分段函数的理解和认识，考查已知函数值求自变量的思想，考查学生的分类讨论思想和方

程思想.

解：该分段函数的三段各自的值域为(-8,1],[0,4).[4,+00),

而3G[0,4),故所求的字母x只能位于第二段.

•••f(x)=x2=3,x=+V3>而—1<x<2,

X=•

故选：D.

11.答案：A

解析：

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

解：•••£1=2。・5>1,b=ln2&(0,1),c=log^Z<0,

a>b>c.

故选：A.

12.答案：A

解析：解：函数g(x)=/(x)-kx有三个零

点等价于函数y=/(x)与y=kx的图象有3

个交点，

如图所示，直线，1满足题意，直线，1的斜率k

满足：—[<k<0.

图中直线％过点4(1,1),其斜率为1,

2

图中，3与抛物线y=-x+4x-2相切于点B(x°.-xl+4x0-2),

则有T+4x°-2=_2x()+%解得g=V2,

xo

故，3的斜率为4-2显，

故当直线y=kx的斜率满足：l<k<4-2位时，符合题意.

则k的取值范围是(一表0)U(1,4-2V2)

故选：A.

函数g(x)=f(久)一kx有三个零点等价于函数y=/(久)与、=kx的图象有3个交点，画出图象，根据

图象求解.

本题考查函数的零点，考查导数的几何意义，考查分析解决问题的能力，以及数形结合的思想方法，

知识综合性强.属于中档题.

13.答案：I

解析：解：由题意，4B0F为长方形，设48=1,则BO=g,ShBDF=|xV3x1=^,

五边形4BCCE的面积S=lxV3+-xlxlx—=—,

224

叵2

・•.往五边形4BCDE内投掷一点，该点落在^内的概率为蠢=

故答案为|.

分别求出△BDF、五边形4BCDE的面积，一面积为测度，即可得出结论.

此题考查了几何概率的求法，利用面积比计算出几何概率，根据题意求出五边形的面积比是解本题

的关键.

14.答案：y

解析：解：由(90+90+X+94+93)=92,

所以％=93.

所以该样本数据的方差为S2=1[(90-927+(90-92产+(93-92)2+(94-92)2+(93-

92月=£

故答案为：g

由平均数公式先求出x,由此能求出该样本数据的方差.

本题考查样本数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用.

15.答案：0.67

解析：解：由题意，根据几何概型的公式可得点落入阴影部分的概率为黑，所以阴影部分与正方形

的面积比为焉，

即变=累，正方形面积为1，

3正方形ZUU

所以阴影部分的面积为0.67；

故答案为：0.67.

由已知，点落入阴影部分的概率为器，由此得到阴影部分与正方形的面积比为黑，由此求导阴影部

分面积.

本题考查了几何概型的公式运用；明确阴影部分的面积与正方形的面积比对于落入阴影部分的点数

与所有点数比是关键.

16.答案：(1,8]

解析：作出函数f(x)=|2x+l|1)的图象，x=l时，/(1)=3,

令t=f(x1)=f(x2)=f(x3),不妨设x1<x2<x3,

则有xl+x2=-1,

作出y=log2(x-l)(x>1)的图象，

若/'(x1)=/(%2)=/(x3),则0</(%3)<3.

由y=3,即有log2(x-1)=3,x=9,即x3W9,

y=0时，有log2(x-1)=0,解得x=2,即x3>2,

可得xl+x2+x3的取值范围为(1,8],

17.答案：解：⑴由於(2.5x2+7.5x6+12.5x4+17.5x2+22.5x1)=(x157.5=10.S,

得15名乘客的平均候车时间为10.5分钟；

(2)样本中候车时间少于10分钟的概率为誉=2，

.•・估计这60名乘客候车时间少于10分钟的人数为60x2=32.

解析：(1)由频率分布表结合平均数公式求解；

(2)求出样本中候车时间少于10分钟的概率，乘以60得答案.

本题考查频率分布表，考查儿何概型及其求法，是基础题.

18.答案：解：(I)由茎叶图，知：

这组数据的众数为86,中位数为86.

(H)抽取的12人中成绩是“优良”的频率为右

故从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率为:，

设“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是，优良，的事件”为4

则P(4)=1_玫》3=品

解析：(I)利用茎叶图能求出这组数据的众数，中位数.

（H）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为方由此得到从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的

概率为不从而能求出“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是‘优良的概率.

本小题主要考查茎叶图、众数、中位数、概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及

应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题.

19.答案：解：（1）[80,90）人数为0.08x10x50=4,

[90,100）人数为0.026X10X50=13,

[100,110）人数为0.038x10x50=19,

[110,120）人数为0.014x10x50=7,

[130,140）人数为0.004x10x50=2,

其中[120,130）人数为50-（4+13+19+7+2）=5,

由频率分布表知这个班的数学平均分至少是

^（80x4+90x13+100x19+110x7+120x5+130x2）x100%=100.4,

这个班的数学平均分超过年级平均分.

（口）此班在[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150）分数段的共有19+7+2+5=33,

所求概率P=工=0.66.

解析：（I）根据平均数的定义即可求出，

（H）求出此班在口00,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,口40,150）分数段的共有33人，根据

概率公式计算即可.

本题考查了利用频率分布直方图求样本的平均数，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂

频率分布直方图的数据.

20.答案:解:（1）由（0.005+0.02+0.035+0.030+x）x10=1,解得x=0.01.

（2）这组数据的平均数为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,

中位数设为m,则0.05+0.2+（ni-70）x0.035=0.5,解得m=券.

（3）满意度评分值在[50,60）内有100x0.005x10=5人，

其中男生3人，女生2人.记为A2,A3,BI，B2,

记“了解度评分值为[50,60）的人中随机抽取2人进行问答，恰有1名女生”为事件4.

通过列举有（儿&）,（仆仆），（&，Bi），（Zig（&,4），缶2，/），（醺殳），（阳丛），（4,%），

（当,82）共总基本事件个数为10个，4包含的基本事件个数为6个，

利用古典概型概率公式可知，P