2023年高中数学人教A版选择性必修第一册2.1直 线的倾斜角与斜率

2.1直线的倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率............................................................1

2.1.2两条直线平行和垂直的判定...............................................19

2.1.1倾斜角与斜率

基础练习

一、单选题

1.如图，已知直线4，4，，3的斜率分别为匕，k2>勺，则()

A.勺<&<&B.k}<kt<k2

C.k3<k2<D.k、<k：<h

【答案】D

【分析】根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可

【详解】由题图知直线4的倾斜角为钝角，...K<o.

又直线*13的倾斜角均为锐角，且直线，2的倾斜角较大，

：.G<ky<k?,

k1<k3<k2.

2.若A(-l,-2),8(4,8),C(5,x),且A,8,C三点共线，则工=()

A.-2B.5C.10D.12

【答案】C

【分析】由三点共线可得线直A8,AC的斜率存在并且相等求解即可.

【详解】解：由题意，可知直线A氏AC的斜率存在并且相等，

即8-(之-2)十x-(小-2]‘解得'=

3.已知两点A(l,-2),3(2,1),直线/过点尸(O,T)且与线段A3有交点，则直线/的倾斜角的

取值范围为（）

【答案】C

【分析】作出图形，求出尸4尸8的斜率，数形结合可求得直线/的斜率的取值范围，再由斜率

与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线R4的斜率%=直线总的斜率瓯,=悬=1.

由图可知，当直线/与线段AB有交点时，直线/的斜率％

因此直线/的倾斜角的取值范围是手，兀］.

44）

\*

4.若直线经过A（l,0）,8（4,-3。）两点，则该直线的倾斜角为（

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可

【详解】因为直线经过A（l,0）,44「3石）两点,

所以直线AB的斜率为k="见叵=7.

设直线AB的倾斜角为6,则tan。=-上,

又0°46»<180°,

所以e=120?,

所以直线AB的倾斜角为120°.

5.已知A（3,l）,8（1,2）,若直线x+“y-2=0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是

()

A.(-oo,-l)Ip+co

C.(ro,-2)(1,+<»)D.(-2,1)

【答案】A

【分析】画出图象，对•〃进行分类讨论，结合图象求得。的取值范围.

【详解】直线》+政一2=0过点C(2,0),

画出图象如下图所示，

由于直线x+@-2=0与线段AB没有公共点,

当。=0时，直线x=2与线段A8有公共点，不符合题意,

当。片0时，直线x+ay-2=0的斜率为-L

a

根据图象可知-5的取值范围是(-2,0)<J(0,1),

所以。的取值范围是(-8,-1)呜收).

6.已知两点A(l,-2),8(2,1),直线/过点P(O,—1)且与线段A3有交点，则直线/的斜率的取

值范围为()

A.[-1,1]B.C.(-M)D.

【答案】A

【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.

【详解】如图所示，直线网的斜率为即”=熟

-1,直线PB的斜率为&>£=；；■二=1.由

2—0

图可知，当宜线/与线段A8有交*时，直线/的斜率左耳-1,1].

二、多选题

7.下列四个命题中，错误的有（）

A.若直线的倾斜角为氏则sin6>0

B.直线的倾斜角。的取值范围为万

C.若一条直线的倾斜角为。，则此直线的斜率为tan。

D.若一条直线的斜率为tan。，则此直线的倾斜角为6

【答案】ACD

【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.

【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是［0,P）,即〃且0,万），所以sinezo,

当Of］时直线的斜率A=tan。，故A、C均错误；B正确；

对于D：若直线的斜率々=tan?=6,此时直线的倾斜角为?，故D错误；

8.（多选）若经过A（l-a,1+a）和8（3,〃）的直线的倾斜角为钝角，则实数。的值可能为（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】BCD

【分析】由两点的斜率公式求得心&==~，由止匕得2+〃>0,求解即可.

-2-a

【详解】由题意得心=<0，即2+a>0,所以a>-2,

l-a-3-2-a

9.若直线/的斜率氏=-2,且过点（3,2）,则直线/经过点（）

A.（0,4）B.（4,0）C.（6,-4）D.（-2,1）

【答案】BC

【分析】根据直线的斜率公式一一验证各选项，可得答案.

【详解】直线/的斜率上=-2,且过点（3,2）,

对于A,计算4-若2=-彳2。-2,故A错误；

对于B,计算詈=-2,故B正确；

4-3

-4-7

对于C,计算7r=-2,故C正确；

对于D,计算==1*-2,故D错误；

-2-35

三、填空题

10.已知点A(F，yJ,8(孙力)在函数丫=/("的图像上，若函数“X)在［%,毛］上的平均变

化率为G,则直线AB的倾斜角为.

【答案】y

【分析】利用斜率的定义直接求解.

【详解】函数/(X)在［和可上的平均变化率就是直线AB的斜率原「所以

设直线48的倾斜角为6,则8«0,句，则tan，=豆，所以6=9.

故直线A8的倾斜角为5.

11.已知直线过A(3,m+l),B(4,2〃z+l)两点且倾斜角为之兀，则，"的值为___.

6

【答案】一息

3

【分析】由48两点求得得斜率与倾斜角的正切值tan金兀相等可求得m.

【详解】因直线A8的倾斜角为3兀，则其斜率上=tan97t=—也，

663

又由A(3,m+1),B(4,2/n+l),

,Clm+V)-(m+V)

则AB的M斜率k=-------r——-=ni,

4-3

则有机=-避■.

3

12.已知直线。的倾斜角区=30。，直线4,右，则&的斜率为

【答案】

【分析】先根据直线。的倾斜角%=30°,直线4，右，求出右的倾斜角，再根据倾斜角与斜

率的关系求出4的斜率.

【详解】解：•••直线。的倾斜角%=30。，直线L,_L&,

人的倾斜角为120°,

右的斜率为tan120。=-石，

13.直线、=1的斜率是.

【答案】0

［分析】直线斜率％=tana,«为倾斜角.

【详解】直线y=i的图像如图所示：

易知其倾斜角a=0。，其斜率M=tan0°=0

14.己知三个不同的点A(2,a)、B(a+l,2a+l)、C(<l-a)在同一条直线上，则实数a的值为

【答案】或5

【分析】根据斜率相等可求出结果.

【详解】因为怎c=匕三三="，所以该直线斜率存在，

-4-26

..2。+1—cici+1

乂kan=-「7=-7’

a+1-2a-\

根据题意得写口=竺|，解得或4=5.

6a-\2

15.已知A(3,-1),B(l,2),P(x,y)是线段AB上的动点，则上的取值范围是.

X

【答案】［4,21

【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得。4、。8的斜率，就可得？的取值范围.

X

【详解】因为43,-1),B(l,2),P(x,y)是线段A8上的动点，

所以上表示直线0尸的斜率.如下图.

X

因为直线04的斜率为三g=-g，直线OB的斜率为咨=2.

3-031一

所叱的取值范围是0,2]■

16.己知4(1,0),8(百])两点，若直线/：),="与线段AB恒有交点，则左的取值范围是

【分析】把A、8两点分别代入直线/中，求出斜率&以和结合题意求出火的取值范围.

【详解】把A(l,6),B曲,1)两点分别代入直线/：y=H中,

计算々OA=G，*=七=与,

由图可知，直线/：y=H与线段A8恒有交点时，kOB<k<kOA,

二)的取值范围是[乎,73].

17.已知点A(-3,2),8(1,3),直线/过定点(-2,0),且直线/与线段A8有公共点，则直线/

的斜率k的取值范围是

【答案】(-，―2][1,田)

【分析】画出图象，结合图象求得人的取值范围.

【详解】设C(一2,0),

画出图象如下图所示，

,2-0_,3-0.

结合图象可知，直线/的斜率的取值范围是(-8,-2][1,^).

18.已知直线/的斜率为左，倾斜角为。，若45<a<135,则2的取值范围为.

【答案】(—,-1)51,小)

【分析】分45<a<90、a=90、90<a<135三种情况讨论，结合正切函数的基本性质可

求得％的取值范围.

【详解】由正切函数的性质知，当45<a<90时，^=tantZ6(l,+oo)；

当a=90时，A:不存在：

当90<a<135时，Z=tance(T»,-l).

综上，々的取值范围是(—,-1)51，收)・

四、解答题

19.已知直线/过点A(2a,3)和点8(2,-1),分别求出满足下列条件的a的取值或取值范围.

(1)直线/的倾斜角为直角；

(2)直线/的倾斜角为锐角；

(3)直线/的倾斜角为钝角.

【答案】(1)。=1;(2)。,+8)；(3)(-0』).

【分析】(1)解方程2a=2即得解；

2

(2)解不等式一^>0即得解；

a-\

(3)解不等式W2<0即得解.

(1)解：当直线，的倾斜角为直角时，2a=2,解得。=1.

(2)解：当awl时，直线/的斜率〃=3-(-1)=上

2a-2a—\

2

令T>0,则a>l,所以直线/的倾斜角为锐角时，a的取值范围为。,田).

ci—\

2

(3)解：当力1时，令有<0,则a<1,所以直线/的倾斜角为钝角时，“的取值范围为(f,1).

20.已知坐标平面内三点A（—1,1）,3（1,1）,C（2,G+1）.

（1）求直线A8,BC,AC的斜率和倾斜角；

⑵若。为一ABC的AB边上一动点，求直线CO的倾斜角的取值范围.

【答案】（1）原“=0，%pc=石，^c=—•直线A8的倾斜角为0,宜线BC的倾斜角为J,

-AC33

直线AC的倾斜角为J.

0

7171

⑵

6J

【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；

（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.

⑴由斜率公式，得&=11^=。，噎=2^1=6,&=：1^1=争

1一2-12—（-1）3

因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是［O,P）,所以直线A5的倾斜角为0,直线

8c的倾斜角为g,直线AC的倾斜角为［.

36

（2）如图，当直线绕点。由C4逆时针转到。3时，直线CO与线段A8恒有交点，即。

在线段A8上，此时心。由原c增大到“BC，所以的取值范围为乎，百，即直线8的倾斜

角的取值范围为.

OJ

提升训练

一、单选题

1.设点43,-5）,B（-2,-2）,直线/过点P（U）且与线段AB相交，则直线/的斜率/的取值范

围是（）

A.k31或心-3B.-3WE

C.-1<A:<3D.以上都不对

【答案】A

【分析】先画出线段AB,之后连接以，PB求得外,P8的斜率，通过观察图像找到直线/斜

率的取值范围

【详解】如图所示，直线PB,办的斜率分别为=1,kPA=-3

2.将直线3x-gy=0绕着原点逆时针旋转90。，得到新直线的斜率是()

A.且B.-@C.73D.-y/3

33

【答案】B

【分析】由题意知直线的斜率为6，设其倾斜角为将直线绕着原点逆时针旋转90。，得到

新直线的斜率为tan(a+90),化筒求值即可得到答案.

【详解】由3x-Ky=0知斜率为g,设其倾斜角为a,则tana=V5,

将直线3x-&=0绕着原点逆时针旋转90°,

M、sin(a+90)cosa16

则tan(a+90)=-------=------=------

cos(a+90)-sinatone3

故新直线的斜率是-且.

3

3.若过两点A(病+2,汴-3),8(-加2一”什3,2m)的直线/的倾斜角为45。，则，"=()

A.-2或-1B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】由题意可得,'"2-312相=疗12吁3=tan45。=1,故有

加+2++m—321n+m—\

m2—2m—3=2tvr4-w—10»由此求得实数利的值.

【详解】过两点A(/+2,4一3),8(-加2一m+3,2时的直线/的倾斜角为45。，

m2-3-2/7?m2-2777-3

则有=tan45°=1

ITT+2+〃P+”一32m2+/n-l

即JTT—2/n—3=2nr+%—1¥0,

即+3m+2=0且2m2+加一1w0

解得加=-2,

4.已知正的顶点A（l,l）,B顶点C在第一象限，若点P（x,y）是一ABC内部及其

边界上一点，则内的最大值为（)

CID36-3

【答案】B

【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.

【详解】正，A8C的顶点A（U）,B。,3）且顶点C在第一象限,故顶点C的坐标为（1+6,2）,

缶可看作aABC内部及其边界上一点与点（-1,0）的连线斜率，

5.已知两点A（2,-3）,8（-3,2）,直线/过点且与线段AB相交，则直线/的斜率左的取

值范围是（）

1133

A.-4<k<--B.k<-4^k>--C.-4<A:<-D.--<A:<4

4444

【答案】B

【分析】数形结合法，讨论直线/过4、8时对应的斜率，进而判断率々的范围.

【详解】如下图示，

当直线/过A时，k=-------=-4,

2-1

当直线/过B时，k=^f\=~,

由图知：k<^^k>--.

4

二、多选题

6.下列说法中，表述正确的是（）

A.向量机=（-3,6）在直线/上，则直线/的倾斜角为5

TT

B.若直线/与'轴交于点4其倾斜角为凡直线/绕点A顺时针旋转请得直线4,则直线4

的倾斜角为e-g

4

C.若实数x、），满足y=-x+3,-1<X<1,则代数式注的取值范围为尼,7

x+2|_3

D.若直线J4的倾斜角分别为4、3,则sin（a-q）=l是/16的充要条件

【答案】AC

ITTT

【分析】A：根据向量求出直线斜率，根据直线斜率即可求其倾斜角；B：当好了时，

<。，但直线倾斜角为非负，据此即可判断；C：接=*可看作（x,y）与（—2,-3）连线

斜率，数形结合即可判断：D：两直线垂直，则设-闵=^,据此即可判断.

【详解】①向量力=",百）在直线/上，则直线/的斜率为-遮，故直线倾斜角为斜，故A

正确；

②若直线/与x轴交于点A,其倾斜角为。，直线/绕点A顺时针旋转£后得直线4,则£学

44

，时，直线4的倾斜角为当时，直线右的倾斜角为兀+（。-£）=。+手；故

4444

B错误；

③若实数X、y满足y=-x+3,-1<X<1,设4-1,4),fi(l,2),

则代数式=’二料表示线段48上任意一点(x,y)和点c(—2,—3)连线的斜率,

尤+2x-(-2)

3

由图可知，=\6[kBC,kAC]=1,7,故C正确；

x+2x-(-2)|_3

④若直线4、4的倾斜角分别为4、%，则ovq〈左，04a〈乃，一万<一名40，

jr

-TV<0}-02<7v,则sin(4—劣)=1n4—冬=耳='J'2；

当/ii孑wja-aklna-ant]；故加(4一幻=1是/1/2充分不必要条件，故D错误

三、填空题

7.直线x+)ss，-5=o的倾斜角a的取值范围是.

_...兀3兀

【答案】w]，下

_44_

【分析】分别讨论cos。的取值，得到斜率不存在时a=£,以及斜率存在时-一二的范围，

2cos”

再利用倾斜角与斜率的关系，即可求解.

【详解】若cos6=0,则直线方程为x=5,即倾斜角，二5；

若cosGwO,则直线方程为y=-一二x+三，即tana=二，

COS0cosucos0

*.*COS0G[—1,0)kJ(0,11,------K—1或------21,

cos0cos0

7T7TI/7T3TT

即tanaW-l或tanaNl,解得awu

[42J124J

综上可得aJ],Y.

44

8.已知两点A（—3,4）,8（3,2）,直线/经过点尸（2,-1）且与线段AB相交，则/的斜率4的取值

范围是.

【答案】A23或44T

【分析】根据题意作图如下，结合图形可知，直线/的倾斜角介于直线PB与直线24的倾斜角

之间，

根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线/的倾斜角小于90和大于90两种情况分

别求出直线/的斜率左的取值范围即可.

【详解】如图所示：

因为直线/经过点产（2,-1）且与线段AB相交，

所以直线/的倾斜角介于直线尸B与直线PA的倾斜角之间,

当直线/的倾斜角小于90时，有无2即8;

当宜线I的倾斜角大于90时，有kWkpA，

由直线的斜率公式可得,

2一（一1）一3

3-2

所以直线/的斜率Z的取值范围为ZN3或氏4-1.

四、解答题

9.已知直线/经过42,1）、8（1.苏）（meR）两点，求直线/的倾斜角的取值范围.

【答案】苗唯兀）

【分析】先求得直线/的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系即可求得直线/的倾斜角的取值范

围.

【详解】•.•直线/过42,1）,8（1,4）（meR）两点，

直线/的斜率为％="二=1-加41，

1-2

设直线/的倾斜角为a,则ae[0,7t）,且tanaMl,

TTTT

解得OWaW—或一＜。＜兀

42

.•.直线/的倾斜角a的取值范围是0,(一(5，兀

10.经过点*0,-1)作直线/,且直线/与连接点A(l,-2),8(2,1)的线段总有公共点，求直线

I的倾斜角a和斜率k的取值范围.

【答案】J手，乃］:-1及41.

L4」［4)

【分析】根据斜率公式得即,=汜=1,怎B=W=-1，由/与线段相交，知&心4左4即,，

1—02—0

由此能求出直线/斜率左的范围，进而根据正切函数的性质得出倾斜角范围.

【详解】因为勺“=二言1=7,原“=无3=1，由/与线段A3相交，

IA'、、

所以kpA<k<%也=>—1WZW1,

所以0Wtana<1或一1Wtana<0,

由于y=tanx在0,］）及万均为增函数,

JT341

所以直线/的倾斜角a的范围为：0,-o—，^I

L4jL4)

一万1「3万、

故倾斜角的范围为L0,4-jUL—4),斜率上的范围是-1VAM1.

11.分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如

果不存在，求出倾斜角.

(1)C(-3,4),D(2,4);

⑵P(O,O),Q(-1,®

⑶例(-3,上),N(-四,3)；

(4)£(7,0),0(7,-72).

【答案】⑴存在，斜率为仆。=0,倾斜角为0;

(2)存在，斜率为kPQ=-V3,倾斜角为120：

⑶存在，斜率为々Mw=1,倾斜角为45;

(4)不存在.

【分析】根据横坐标是否相等判断斜率存在与否，若不相等时，斜率存在，再结合斜率公式求

解倾斜角即可；若相等时，则斜率不存在.

(1)解：因为超左/，

所以经过C(-3,4),0(2,4)的直线斜率存在，

所以斜率为勺。=-^之=0，

-3-2

设倾斜角为。，。€[0180),则tan6=0,故。=0,即倾斜角为0

(2)解:因为Xf,HXQ,

所以经过73(0,0),。(-1,6)的直线斜率存在，

所以斜率为kp@=——―=-坦,

PQ-1-0

设倾斜角为。，。€[。，⑻)，则tane=-G，故0=120,即倾斜角为120.

(3)解：因为％=%，

所以经过M(-3,应),N(-夜,3)的直线斜率存在，

所以斜率为।，

设倾斜角为。招£[0，180),则tane=l,故6=45，即倾斜角为45.

(4)解：因为4=q,

所以经过M(-3,&),N(-五,3)的直线斜率不存在，

12.(1)若直线/的倾斜角aejg,g],求直线/斜率々的范围：

(2)若直线/的斜率左«-15，求直线/倾斜角a的范围.

【答案】(1);(2)ae0,(u充',乃).

【分析】根据直线的倾斜角a和斜率2的关系，k=tana,即可求解.

【详解】解：(1)因为A=tantz,ae,tan—=—>tan=>/3,

163」633

结合正切函数在[O，P)的单调性得kw与,6,

(2)直线/的斜率让[一15，ta吟=1,ta吟=-1,

TT34\

结合正切函数在［0,0的单调性得ae［Oq卜］彳,、|.

13.己知A(3,3),5(-4,2),C(0,-2).

(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；

(2)若点。在线段BC(包括端点)上移动，求直线4。的斜率的变化范围.

【答案】(1)3,直线8C的一个方向向量为

⑵缶・

【分析】(1)利用斜率公式求出直线A8,BC的斜率，从而求出直线8c的一个方向向量;

(2)当点。由点8运动到点C时，直线49的斜率由始8增大到MC,求出fc4C即可.

(1)解：直线A8的斜率为「3口-2=亍1，宜线8c的斜率为2—-(—-2)=-1,

3-(-4)7-4-0

直线BC的一个方向向量为(1-D.

(2)解：如图，当点。由点8运动到点C时，直线AD的斜率由”18增大到乂C,

由(1)可知kAB=—»kAC=-----=—,

73-03

14.已知过坐标原点。的一条直线与函数y=log9X的图象交于A,8两点，分别过点A,8作

y轴的平行线与函数y=log/的图象交于C,。两点.

(1)证明：点C,D,。在同一条直线上；

(2)当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标.

【答案】⑴证明见解析

⑵(2,.2)

【分析】⑴设点AG/ogg),8(孙k)g()&),则Ca，log3与),仇々Jogsw).由A,0,B

三点共线，知Q=k0B,即有地五="囱三，将等式化成以3为底的对数，即可得=k0D,

从而得证；

(2)由题意可得BC〃x轴，即有loggXLlog'M，化简得々=x；，再代入鹿任=史囱三中，即

%x2

可求出A点坐标.

(1)解：证明：如图，设点A(X1,log9xJ,B(x2,log9A2),则C(%,log3玉)，0(毛,log3%2).

由A,0,8三点共线，知七八=后8，

所以gg①=电期及即log/_log3*2

x}x22xt2X2，

所以些口皿，艮―.

X]X2

所以点C,D,。在同一条直线上.

(2)当直线8C的斜率为0时,3C〃工轴，

12

则log9X2=log3X1,即5log,x2=log3X1,所以々=玉.

由⑴知些工=9三，所以皿=坐=生沁，解得,

%々王X；不

所以点A的坐标为(2,log92).

15.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m—2,1).

(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？

【答案】(l)m>-2.(2)m<-2.(3)不可能为直角.

【分析】(1)由倾斜角为锐角，则斜率大于0,根据斜率公式，得到不等式，即可求解;

(2)由倾斜角为钝角，则斜率小于0,根据斜率公式，得到不等式，即可求解；

(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m+3=m—2,即可作出判定.

【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0,

2/H+5-12机+4

即k=-+3一(〃-2)>0,

5

解得m>—2.

⑵若倾斜角为钝角，则斜率小于0,

2m+5-12/H+4八

即k=,„+3-(/n-2)-----<0

解得m<—2.

(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m+3=m—2,此方程无解，故直线

MN的倾斜角不可能为直角.

16.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图像上，当xe[2,5]时，求上担的取值范围.

X+1

【答案】

_63_

【分析】由"一匕月的几何意义是过〃(x,y),N(-l,T)两点的直线的斜率且点M在线段

y=-2x+8,xe[2,5]上运动，可求两端点处斜率，利用数形结合可求最值.

【详解】"=上二怨的几何意义是过”(x,y),N(-l,-1)两点的直线的斜率，点M在线段

y=-2x+8,xe[2,5]上运动，易知当x=2时，y=4,此时M(2,4)与两项连线的斜率

最大，为g；

当x=5时，尸-2,此时M(5,—2)与两点连线的斜率最小，为聚咛*|,

即〃尸的取值范围为

o3

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

基础练习

一、单选题

1.下列说法中正确的是()

A.若两条直线斜率相等，则它们互相平行

B.若4〃4,则4=与

C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交

D.若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行

【答案】C

【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；

若4〃4，则勺=1或4，4的斜率都不存在,B错误;

若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确;

若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误.

2.下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是()

A.tw+2y-l=0与2x+ay+2=0B.6x-4y-3=0与10x+15y+c=0

C.2x+3y-7=0与4x-6y+5=0D.3x-4y+6=0与3x+4y=0

【答案】B

【分析】两直线一条斜率为零，一条斜率不存在，此时它们垂直；或者两直线斜率均存在且不

为零，斜率之积为一1,则它们垂直.据此即可求解.

【详解】A：。=0时，两直线分别为：y=；,x=-l,此时它们雍直；当时0时，它们斜率之

积为=1,则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；

B：两直线斜率之积为：=故两直线垂直；

244

C：两直线斜率之积为：-§乂7=-1,故两直线不垂直；

D：两直线斜率之积为：=1,故两条直线不垂直；

3.已知直线4：x+y+l=O,/2：x-y-l=。，则4与，2（）

A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直

【答案】A

【分析】由直线的斜率间的关系可得结论.

【详解】因为4,4的斜率分别为勺=7,&2=1，所以仁？&-1，所以4，加

4.已知直线4：x+y+2=O,4：依+2y-l=0.若［/总则实数。的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】直接由两直线平行公式求解即可.

【详解】由题意得，1x2-lxa=0,解得。=2.经验证符合题意.

5.若直线4：x-y+i=o与直线4：》+阳=0互相平行，则机的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】由直线的平行关系可得;=5,苧，解之可得.

【详解】解：若直线4：x-y+i=o与直线4：x+my=o互相平行

1m0

-=一工一,

1-11

解得〃7=-1

6.已知直线水+2），+6=0与直线工+（。一1"+。2一1=0互相平行，则实数。的值为（）

A.-2B.2或-1C.2D.-1

【答案】D

【分析】两直线斜率存在时，两直线平行则它们斜率相等，据此求出“的值，再排除使两直线

重合的。的值即可.

【详解】直线6+2>+6=0斜率必存在，

故两直线平行，则-《=—二，B|Ja2-a-2=0,解得a=2或-1,

当a=2时，两直线重合，.a=-1.

7.已知直线4：av-2y+3=0与直线4：x+(a-3)y+l=0,若《JL"，则”()

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】A

【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，求解方程得答案.

【详解】解：因为直线4：以一2卜+3=0与直线/2：x+(a-3)y+l=0,且

所以axl+(—2)x(a—3)=0,解得a=6,

8.直线y=f(x)的图象与直线x=l的交点个数是()

A.1个B.0个C.0个或1个D.1个或2个

【答案】C

【分析】根据两条直线的位置关系即可求解

【详解】当两条直线平行时，无交点；当两条直线相交时，有1个交点；

所以直线y=/(x)的图象与直线x=l的交点个数是。个或1个，

9.已知直线//的斜率为2,直线/2经过点A(T,-2),B(X,6),且//〃",则l°g/=()

9

A.3B.5C.2D.--

22

【答案】D

【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x,然后结合对数的运算性质可求.

【详解】解：因为直线//的斜率为2,直线12经过点因-1，-2),BU6),且

所以色=2,解得x=3,

所以logix=logi3=log『3=-:，

992

二、多选题

10.已知直线4与4为两条不重合的直线，则下列命题正确的是()

A.若〃〃2，则斜率匕=无2

B.若斜率匕=&,则〃〃2

C.若倾斜角%=%，则"4

D.若，/〃2,则倾斜角%=%

【答案】BCD

【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果.

【详解】A选项，“〃2,可能直线人与，2的倾斜角都是90。，斜率不存在，所以A选项错误.

B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.

C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.

D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.

11.（多选）已知直线/：（〃+a+1）x-y+l=0,其中〃wR,则（）

A.当”=-1时，直线/与直线x+y=o垂直

B.若直线/与直线x-y=o平行，则。=0

C.直线/过定点（0,1）

D.当”=0时，直线/在两坐标轴上的截距相等

【答案】AC

【分析】对于A,通过两直线的斜率关系判断即可，对于B,由两直线平行，列方程求解，对

于C,直接求解定点判断，对于D,由直线方程求出直线/在两坐标轴上的截距判断

【详解】对于A,当a=T时，直线/的方程为x-y+i=o,其斜率为1,而直线x+y=o的斜

率为-I，所以当。=一1时，直线/与直线x+y=o垂直，所以A正确，

对于B,若直线，与直线x-y=0平行，则〃+°+1=1,解得。=0或。=一1,所以B错误，

对于C,当x=0时，y=l,与。无关，故直线/过定点（0,1）,所以C正确，

对于D,当。=0时，直线/的方程为x-y+l=0,在两坐标轴上的截距分别是一1,1,不相等,

所以D错误，

三、填空题

12.若4与/2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为4，%,斜率分别为尤，k2,则下列

命题

①若“电，则斜率占=&；②若斜率占=&，则“〃2；

③若“〃2,则倾斜角4=4；④若倾斜角4=见，则〃〃2；

其中正确命题的个数是.

【答案】4

【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；

【详解】解：因为4与勾为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为6,。2,斜率分别为K，

k,.

①由于斜率都存在，若〃〃2,则匕=月，此命题正确；

②因为两直线的斜率相等即斜率占=%，得到倾斜角的正切值相等即由4=3/，即可得到

。|=〃2，所以“〃2，此命题正确;

③因为0％，根据两直线平行，得到4=/，此命题正确；

④因为两直线的倾斜角4=/，根据同位角相等，得到“4,此命题正确；

所以正确的命题个数是4.

13.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，则△ABC为三角形.

【答案】直角

【分析】根据直线斜率关系即得.

【详解】如图，猜想A8_LBC,»ABC是直角=角形，

由题可得边AB所在直线的斜率心》=-；,边BC所在直线的斜率品c=2,

由如媪=7,得AB_L8C,即NABC=90,

所以MC是直角三角形.

14.若直线4与直线4平行，直线4的斜率为-立，则直线人的倾斜角为.

3

【答案】空

O

【分析】由两条直线的位置关系可得直线4的斜率与直线4的斜率相等，然后根据斜率与倾斜

角的关系即可求解.

【详解】解：因为直线4与直线4平行，直线4的斜率为-立，

3

所以直线，2的斜率与直线/,的斜率相等，即直线12的斜率为-3，

3

设直线4的倾斜角为a(04a＜旬,则tana=一3,

所以c=苧，即直线4的倾斜角为警，

6o

15.若直线/nr+2y+，w=0与直线3，nr+（，〃—l）y+7=0平行，则，〃的值为

【答案】0或7

【分析】根据两直线平行的充要条件即可列方程组求解.

【详解】解：因为直线侬：+2y+，〃=0与直线3〃a+（m-l）y+7=0平行，

/n(w—l)-2x3/n=0

所以《解得根=0或7,

w(m—l)-2x7*0

16.若直线4：3x-ay+l=0与4：y=2x+l互相垂直，则实数根=

【答案】-6

【分析】根据两直线位置关系直接可得参数值.

【详解