2023届高考一轮复习：平面向量的数量积

第12讲平面向量的数量积

【知识要点】

向量的数量积：ab=cos<6z,Z7>=

向量。在b方向上的投影：向量b在。方向上的投影：

向量。的模：|。|=\a-^h\=

向量。=(%,%),b=(x2,y2),则。〃b<=>；aLb<=>

1、已知向量满足|a|=2,||=V2,且。_L（a+2Z?）,则力在。方向上的投影为（）。

B、-1C、V2D、—

2、已知向量火。满足|a|=5,\a-b\=6,\a+b\=4,则力在a方向上的投影为

3、直角AA8C（NA=90。）的外接圆的圆心0,半径为1,且|砺|=|而则向量不月在向

量前方向上的投影为（）»/、

4、在AABC中，|瓶+*|=|通一恁AB=3,AC=4,则在瓦方向上的投影为

C、-4

5、（师大附中2021届六校联考）已知|。|="，5=（九3）,且S-a），（2a+与，则向量a在

向量力方向上的投影的最大值为（）。

V6

6、已知向量。力满足|。|=0,\b\=l,且|b-a|=J5,则向量。与。的夹角的余弦值为

（）。

近近近五

A^---B、---C、---D、---

2345

7、已知|。|=1,\b\=^2,且aJ_（a-b）,则向量。与b的夹角弧度值为。

8、（2019年全国卷1理）已知非零向量满足|川=2|加，且（a—b），。，则。与匕的夹角

为（）。

7171-2〃-5万

A—B、—C、—D、—

6336

9、（2020年全国卷3理）已知向量〃,/?满足|。|=5,|Z?|=6,ah=-6,则cosva,a+b>=

（）。

3119—1719

A、----B----C、—D、—

35353535

10、（2020年全国卷2理）已知单位向量的夹角为45°,姑一匕与。垂直，则％=o

11、（2017年全国卷1理）已知向量。涉的夹角为60。，|。|=2,|"=1,贝i]|a+26=。

12、（2020年全国卷1理）设a/为单位向量，且|。+"=1,则|。一加=o

13、（2021年全国甲卷文）若向量凡人满足|〃|=3,一b|=5,ab=则|人|=。

14^（2022年全国乙卷理）已知向量满足|a|=l,|Z?|二百，\a-2b\=3,则。力=（）。

A、一2—1C、1D、2

15、（2018年全国卷2理）已知向量满足|〃|=1,。心=一1,贝一力）=（）<>

A、4B、3C、2D、0

16、（2022年全国甲卷理）设向量a力的夹角的余弦值为g,且|a|=l,仍|=3,则

（2a+b）-h=o

17、已知向量a,b,c满足|a|=2,\b\=3fc=,若a_L〃，cJL（T-a）,

a

则一的值为（）o

4

、3「9「24

A、一B一C、一D、一

2439

18、（2019年天津卷）在四边形ABCD中，AD〃BC,AB=2百，AD=5,NA=30。，点E

在线段CB的延长线上，且=则8方•通=。

19、已知向量a和。的夹角为6,定义ax匕为a与人的向量积，且ax匕是一个向量，它的长度

\axb\=\a\\b\sin0,若“=（2,0）,“一u=（l,—百），贝!||“x（〃+y）|=（）。

A、4GB、GC、6D、2G

20、（多选题）（雅礼2022届入学）已知向量满足|a|=|b|=l,且|b—2al=百，则下列结

论正确的是（）。

A、aLbB>\a+b\=2C、\a-b\=^2D、<a,b>—60°

21、（多选题）（雅礼2022届月考2）已知正三角形AA6C的边长为2,设而=2a,BC=b,

则下列结论正确的是（）o

A、\a+b\=\aLbC、（4a+b）_L/?D、ab=-\

向量的极化恒等式：在AABC中，D是BC的中点，则丽而而仁

1、在ZVLBC中，M是BC的中点，AM=3,SC=10,则A匣AC=

2、在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1,则A从A方=

3、已知正三角形ABC内接于半径为2的圆0,点P是圆O上的一个动点，则丽•丽的取值

范围是、

4、若AB是圆。的直径，M是圆。的弦CD上的一个动点，A3=8,CD=6,则砺•砺

的取值范围为

AB

5、（2020年北京卷）已知正方形ABCD的边长为2,点P满足A户=g（A月+恁），则

|丽|=,而•而=

6、（2017年全国卷2理）已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则

西•（而+定）的最小值是（）。

A、-2B、--C、--D、-1

23

7、（2020年天津卷）如图，在四边形ABCD中，NB=60。，AB=3,BC=6,且耳方=,

_______3___.

ADAB=——,则实数九的值为：若M、N是线段BC上的动点，月.|丽|=1,则

2

DM-DN的最小值为

8、（2022年北京卷）在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°,P为AABC所在平面内的

动点，且PC=1,则丽•丽的取值范围是（）。

A、[-5,3]B、[-3,5]C、[-6,4]D、[-4,6]

9、已知AA3C是边长为的等边三角形，其中心为O,P为平面内一点，若OP=1,则

尸子P8的最小值是（）。

A、一11