2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省绍兴市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z在复平面内对应的点是（0,1）,则?=（）

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

2.某组数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56的第80百分位数为（）

A.46B.49C.50D.51

3.已知向量1=（2,2）,b=（1,-1）-则（）

A.a=-2bB.a=2bC.a//bD.a1b

4.已知n是两条直线，a,。是两个平面，下列命题正确的是（）

A.若mlla,贝！］n〃aB.若mlla,贝！|a〃0

C.若m1n,nu0,则m_L3D.若m〃a,m1p,则a10

5.抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件：4=”正面向上的硬币数为i"，其中i=0,

1,2,3,B="恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（）

A.40与B相互独立B.43与B对立C.P（42）=2P（B）D.Ar+A2=B

6.轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P-ABC中，AB为

底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧检的中点，则异面直线PB与2C所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.已知函数/Q）=cos（3K+0）（3>0,|如</）的部分图象如图

所示，%2是/（久）的两个零点，若%2=4久1，则下列为定值的量

是（）

A.(pCTD.co+(p

B.360

8.在长方体-4B1GD1中，底面4BCD是边长为4的正方形，P是棱久劣上的一个动

点，若PA=CU,PD=yn，则三棱锥p—ABD外接球的表面积是（）

A.144兀B.36兀C.9兀D,6兀

二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列等式成立的是（）

A.sin26°-cos26°=cosl2°B.sin60-cos6°=-y/~^sin39°

C.4sjnl5°sm75°=1D.=i

l+yfltanlS

10.5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追

求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全

年的60%,真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售4B,C,。四款

珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得

到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（）

去年第一季度今年第一季度

四款商品营收占比四款商品营收占比

A.今年商品4的营收是去年的4倍

B.今年商品B的营收是去年的2倍

C.今年商品C的营收比去年减少

D.今年商品B,D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变

11.如图，在边长为2的正方形28C。中，E为4。的中点，WAABE

沿BE折起，使点4到达点A的位置，且二面角A-BE-C为90。若

M、N分别为AB、CD的中点，贝1）（）

A.BE1A'N

B.MN〃平面ADE

C.平面ABE_L平面ADE

D.点C到平面4DE的距离为粤

12.在AABC中，D为BC的中点，点E满足衣=2前.若NBaE=<D4E=20。，贝。()

A.\AB\=2\AD\B.AE=|AB+|xO

C.4ABe=20°D.ADAC=70°

三、填空题(本大题共4小题，共12.0分)

13.函数/(%)=s讥2%的最小正周期为.

14.某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点4时,

显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点4点走到点B,当乙在点B时，显示与甲之

间的距离为600米，若力，B两点间的距离为500米，则乙从点4走到点B的过程中，甲、乙两

人之间距离的最小值为米.

15.已知一组样本数据比1，X2,X3,X4,%5的方差为5，且满足/+*2+*3+%4=4相，则

样本数据无1，K2，%3，乂4，久5+5的方差为.

16.直三棱柱4BC—&B1G中，4B=^,AB=BB±=BC=1,P、Q分别为线段AC〉44］的

动点，则ABiPQ周长的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题8。分)

记大爪不为平面单位向量，且|五-3|=1.

(1)求位花〉；

(2)若五］=g,求|23—五|.

18.(本小题8.0分)

在正方体4BCD-中，棱长为3,是上底面4把1的。1的一个动点.

(1)求三棱锥4-OiBC的体积；

(2)当。1是上底面ABiGA的中心时，求AO】与平面4BCD所成角的余弦值.

£

AB

19.（本小题8.0分）

为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形4BCD中，

NB=NC=90°,AD=1,点E为BC上一点，且4E1DE,过点。作。F148于点F,设N84E=a,

乙DAE=p.

(1)利用图中边长关系QF=BE+CE,证明：sin(cr+/?)=sinacos^+cosasin^；

1

(2)若BE=CE-求sin2a+cos20.

20.（本小题8.0分）

第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举

办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，

面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图.

（1）求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值1众数，中位数；（同一组中的数据用该

组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）

（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，

需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字

条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.

455565758595分数/分

21.(本小题10.0分)

如图，在平面四边形4BCD中，点B与点。分别在直线AC的两侧，BC=CD=2.

(1)已知4B=2,S.AC=AD,

(i)当cosz/泊。=轲7，求^ABC的_面积；

(ii)若N4BC=2AADC>p求NABC.

(2)已知4。=ypZAB,且/BAD=求4C的最大值.

22.(本小题10.0分)

如图，在正三棱台4BC—4/1G中，48=2414=2441，D,E分别为BiG的中点.

(1)证明：£^1平面3/。1。；

(2)设P,Q分别为棱48,8C上的点，且G，D,P,Q均在平面a上，若APBQ与AABC的面

积比为3：8,

。)证明：BP=^BA；

4

(ii)求a与平面4BB1&所成角的正弦值.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：,・,复数Z在复平面内对应的点是(0,1),・・.z=L

.1+i_1+i_(l+i)(-i)—.

■■1―cI7•

zii(-0-i2

故选：B.

由题得到z,再由复数的四则运算求解号.

本题考查复数的运算及几何意义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：数据33、36、38、39、42、46、49、49、51、56共10个数，

因为10X0.8=8,因此，该组数据的第80百分位数为竺岁=50.

故选：C.

利用百分位数的定义可求得该组数据的第80百分位数.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：向量为=(2,2),b=(1,-1).

对于4，-2b=(-2,2)，G丰一2%，A错误；

对于B,2b=(2,-2)，a^2b，8错误；

对于C,由于2x(—1)力2X1,即N与3不共线，C错误；

对于D,a-K=2xl+2x(-1)=0>因此五J.B，。正确.

故选：D.

根据给定条件，利用向量的坐标运算判断4B；利用共线向量的坐标表示判断C；利用垂直关系的

坐标表示判断D作答.

本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4,若wi〃7i,mlla,则n〃a或nua,A错误；

对于B,平行于同一直线的两个平面可以平行，也可以相交，3错误；

对于C,由直线与平面垂直的判断方法可得C错误；

对于若?n〃a,则平面a存在直线满足〃由于znl/?,则有l_L0,必有a_L0,故。正

确.

故选：D.

根据题意，由直线与平面平行、垂直的判断方法依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：总的可能有：

（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反,

反，正），（反，反，反），

故P（4o）=Q（&）.，P（4）=右P（&）=aP（B）=*，

□

而PQ4oUB）=O,P（4））•P（B）=",故选项A错误；

7

P（4）+P（B）1,故选项2错误；

o

2P（X2）=P（B）,故选项C错误；

4i=｛（正，反，反），（反，正反），（反，反，正）｝,42=｛（正，正，反），（正，反，正），（反，正，

正）｝，

B=｛（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正反），（反，反，正）｝,

所以41+&2=8,故选项。正确.

故选：D.

列出所有基本事件，计算出对应概率，再根据独立事件和对立事件，即可逐一验证.

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了独立事件的概率公式，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：在直角圆锥P-ABC中，4B为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧4B的中点，

乙ACB=90°,

则PA=PB=号AB=AC=BC,

过点B作BD〃2C交底面圆于点。，连接PD,AD,如图,

则NPBD是异面直线PB与AC所成角或其补角,

显然BD=殍48==PD,即APB。是正三角形，

所以NPBD=60°,

即异面直线PB与AC所成角的大小为60。.

故选：C.

根据给定条件，利用几何法求出异面直线PB与4C所成角的大小作答.

本题考查异面直线所成角及其求解，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：函数/'(X)=cos(3X+(p),a＞＞。的周期为空，

0)

令/(%)=0,可得3%+0=历1+5k6Z,

所以xJ+K,即％=笔上竺，kez,

0)23

7T

又3＞0,|勿＜》

所以。＜04，/=啜，久2=/，

又犯=4%，所以二^=4x展，

2a)2a)

所以9屋.

故选：A.

求函数f(x)的周期，估计久1的范围，再求函数f(x)的零点，由此确定支1，%2,结合条件化简可得

结论.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：令长方体ABCD—4B1GD1的高为h,PD1=X,于是｛[r,；Q=g解得％=

h=1,

在△PAD中，/.PDA=^DPD1=45°,则△PAD外接圆半径r=」x-^=g=C，显然A8，

2sin45V2

平面P4。，

因此三棱锥P-2BD外接球的球心。在线段4B的中垂面上，球心。到平面PAD的距离为d=*B=

2,

则球半径R=Vr2+d2=Afm=3,所以三棱锥P-4BD外接球的表面积S=4兀底=367r.

故选：B.

根据给定条件，确定点尸的位置，求出△PAD的外接圆半径，再求出球心到平面P4D的距离，求出

球半径作答.

本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解:对于4sin26°—cos26°=—(cos26°—sin26°)=—cosl2°,故A错误；

对于B,sin60—cos6°=y/~2(^-sin6°—号cos6°)=A/-2(sin6°cos45°—cos60sin45°)=

/7sin(—39°)=—，7s讥39°,故2正确；

对于C,4sinl50sin75°=4sinl50cosl5°=2sin30°=1,故C正确；

对于::黑=tan(60。—15。)=tcm45。=1,故。正确.

故选：BCD.

对于4逆用二倍角余弦公式，即可求解，对于B,利用辅助角公式，即可求解，对于c,逆用二

倍角正弦公式，即可求解，对于。，逆用正切的和差公式即可求解.

本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：设去年第一季度营收为a亿元，则今年第一季度营收为2a亿元，

由扇形图可得：

4款珍珠商品去年第一季度营收为0.1a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，A正确;

B款珍珠商品去年第一季度营收为0.2a亿元，则今年第一季度营收为0.4a亿元，8正确;

C款珍珠商品去年第一季度营收为0.5a亿元，则今年第一季度营收为0.8a亿元，C错误;

因为商品B,。今年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%,

商品B,D去年第一季度营收的总和占总营收的比例为40%,

所以今年商品B,。营收的总和与去年相比占总营收的比例不变，。正确.

故选：ABD.

由条件，根据扇形图分别计算4B,C,。四款珍珠商品的营收，由此确定正确选项.

本题主要考查了扇形图的应用，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：连接4N交BE于点。，连接40,取BE的中点F,连接FM、FN,

对于4选项，在正方形4BCD中，因为=AE=DN,Z.BAE=/.ADN=90°,

所以，Rt4ABE三Rt4DAN,贝Ij/ABE=ACMN,

所以，LDAN+^AEB=4ABE+乙AEB=90°,则NAOE=90°,即BE1AN,

翻折后，则有BE1AO,BE1ON,

又因为A'OnON=O,4。、ONu平面40N,所以，BE1平面40N,

因为ANu平面AON,所以，BElA'N,4对；

对于B选项，因为M、F分别为4B、BE的中点，所以，MF//A'E,

因为MF仁平面ADE,A'Eu平面ADE,所以，MF〃平面ADE,

因为DE〃BC,BC=IDE,则四边形BCDE为梯形，

又因为F、N分别为BE、CD的中点，所以，FN//DE,

因为FNC平面4DE,DEu平面4DE,则FN〃平面4DE,

因为MFCIFN=F,MF、FNu平面FMN,则平面FMN〃平面ADE,

因为MNu平面FMN,故MN〃平面4DE,B对；

对于C选项，因为4。1BE,且AB=2,AE=1,^BAE=90°,

所以，BE=VAB2+AE2=V22+I2=所以，AO==—p==

BEV55

则4。=咨

ADAD22c

在Rt△>!£)可中，cos"AN=而=J2=%=不

\ADZ+DNZ

所以，OD=VOA2+AD2-20A-ADcos^DAN=J[+4-2x-x2x胃=

因为平面ABE1平面BCDE,平面A'BEn平面BCDE=BE,A'O1BE,

A'Ou平面4BE,所以，A'O_L平面BCDE,

因为。Du平面8CDE,所以，A'O1OD,

所以，A'D=VA'O2+OD2=J-+|=空言，且8。=VBC2+CD2=V4+4=2/1,

翻折前，ABLAE,翻折后，A'BlA'E,

若平面4BE_L平面ADE,且平面ABEC平面ADE=A'E,A'Bu平面4BE,

所以，4B1平面4DE,

因为ADu平面4DE,则4'B1A'D,

事实上，A'B=2,A'D=BD=26,贝iJAB?+4。2彳B£)2,

即AB、AD不垂直，假设不成立，故平面与平面ADE不垂直，C错；

-1-1一

对于D选项，因为〃。川?==；x2X1=1,且4。1平面BCDE,

所以，VAI_CDE=白皿•%。="1X亨=誓

在△4DE中，A'E=DE=1,A'D=

5

由余弦定理可得COSNAED=-慧2”2=匕璋=

2AE-nDE2xlz5

所以，sin^A'ED=71-cos2"ED=Jl-(-1)2=?，

所以‘S^A，ED=^A'E-DEsin^A'ED=xI2x悟=?,

设点C到平面A'EO的距禺为d,由，C-4'ED=^Ar-CDE9即3SM，EO,d=

2y/~5,_.___

所以，d=^r_=2£Tx5=<22；0对.

S^KED5V63

故选：ABD.

连接4N交BE于点。，连接4。，取BE的中点尸，连接FM、FN,推导出BE1平面40N,利用线面

垂直的性质可判断4选项；证明出平面FMN〃平面4DE,利用面面平行的性质可判断B选项；利

用反证法可判断C选项；利用等体积法计算出点C到平面4DE的距离，可判断D选项.

本题考查线线垂直的判断，线面平行的判断，面面垂直的判断，点面距的求解，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：在△ABC中，。为BC的中点，~BE=2ED，/-BAE=ADAE=20°,如图,

48-AEsinZ-BAE

对于4一%座一器=2,有|四|=2|而A正确;

AD^AD-AEsinZ.DAESLADE

对于B,AE=AB+BE=AB+^BD=AB+^(AD-JB}=^AB+^AD,2正确;

对于D,过C作CF//4。交BA的延长线于尸，由。为BC的中点，得4。是△BCF的中位线,

11

则CF=2AD=AB=AF,于是NDAC=^ACF=^CAF=^DAF=^(180°-40°)=70°,。正

确;

-1

对于C,由选项。知，/.EAC=90°,假定N28C=20。，则"EC=40。，AE=BE=^CE,

cos40°=coszXFC=^=|>与吸40。>处60。=)盾，因此乙4BC彳20。,C错误.

故选：ABD.

根据给定条件，利用三角形面积公式推理判断4

利用向量线性运算计算判断B；

作辅助线结合三角形中位线性质判断D;

反证法推理判断C作答.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

13.【答案】兀

【解析】解：函数/"⑺=sin2x的最小正周期为:=H,

故答案为：兀.

利用函数y=2s讥（ax+"）的周期为%得出结论.

本题主要考查函数y=4s讥（3%+0）的周期性，利用了函数y=4s讥⑷刀+s）的周期为即，属于

（Jl）

基础题.

14.【答案】150AT7

【解析】解：令甲的位置为点C,如图，在AABC中，AC=400,AB=500,BC=600,

由余弦定理得COSA=g+/用2=5。。2+4。。2-6。。2=1；sinA=11一COS24=?，

2AB-AC2x500x40088

过C作CD12B于。，所以所求距离的最小值为CD=ACsinA=400X亨=15047（米）.

O

故答案为：150<7«

根据给定条件，利用余弦定理求出cos/,进而求出s讥/作答.

本题主要考查解三角形，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】9

【解析】解：由题意可得，数据卬％2,汽3,%4,％5的平均数为％=+%2+%3+%4+%5)=%5，

22X2

方差S2=1[(%t—%)+(%2—%)+万3—)+(%4-%)?+(%5—为沟，

22

又因为(%1—x)+(%2—X)+(%3—%)2+(%4—x)2=25，

9

数据％1,次%3，%4，工5+5的平均数%'=—(%i+%2+%3+%4+%5+5)=符+1，

2222

所以方差*=1[(%]—%—1尸+(打一%—I)+(%3—X—I)+(应一%—I)+(%5—X—4)]

2X—

=1[(%1—X)—2(/—%)+(%2—%)2—2(%2—%)+(%3—汽¥—2(%3—%)+(%4~Y~2(%4

X)+(%5一%)?—8(%5一%)+20]

]一

=-[45—2(/+%2+%3+久4+%5)+10%]

=9.

故答案为：9.

由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论.

本题主要考查了平均数和方差的计算，属于中档题.

16.［答案］J4+2「

【解析】解：如下图所示:

将面ABiG、面441G沿着AC1延展为一个平面，

将面44/1、面441cl沿着44］延展为一个平面，连接BBJ,

此时，线段BBJ的长即为^BiPQ周长的最小值，

则2%=VAB2+BBl=V1+1=<1;AB=1,

由于AB】=AC=V_2>BG=CCr,4cl=ACr,则仆ACCr,

延展后，则四边形44iCiBi为矩形，

因为44=4/1',，4同,则△44/1'为等腰直角三角形，所以乙41AB/=45。,

延展后,贝叱81aBJ=135°,

由余弦定理可得B/i'=J研+4B/2-24%ABJ.cosl35。=

J2+2—2XV~2XV_2X(——)=V_4+2V2•

故答案为：J4+2口

将面ABiG、面441cl沿着AC1延展为一个平面，将面4414、面441cl沿着延展为一个平面，

连接BBJ,则线段BBJ的长即为ABiPQ周长的最小值，利用余弦定理求出线段BB/的长，即为所

求.

本题主要考查了真三棱柱的结构特征，考查了余弦定理的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由已知|初=|b|=l，且|8—b|=l，

所以,|五一3|2=片一21.3+1=2-2a-b=l'则五/=2,

所以，cos{a,b)=-^=-=I，

|明网2

因为0W(五,石)W兀，所以，(a,b)=

(2)由已知可得|||=|H|=1,且有亮=g,

所以|2不一肉=V(2c-a)2=V4c2-4a-c+a2=J4-4x1+l=V-3.

【解析】(1)利用平面向量数量积的运算性质可求得cos位，质的值，结合平面向量夹角的取值范围

可得出位，质的值；

(2)由平面向量数量积的运算性质可得出|2m-初=J(2卜-砂2的值.

本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题.

18.【答案】解:(1)如图所示,根据题意得：

111Q

匕-O1BC=匕)1-4BC=3,^t^ABC,h=-X-X3X3X3=-.

(2)如图所示，过点。1做平面4BCD的垂线，垂足为G,易知G为2C中点,

故NOMC为401与平面4BCD所成线面角，

0苧

113^3

A-AG2+G-

2-2--2/■-

所以401与平面ABC。所成角的余弦值为：C0SN014C=栽=亲=殍.

2

【解析】(1)利用等体积匕-0$C=%L4BC，即可求解.

(2)根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解.

本题考查直线与平面所成的角，属于中档题.

19.【答案】⑴证明:在RtAADE中，〃ED=90。，NZME=0,AD=1,则DE=sin夕,4E=cos/?,

在RtAADF中，AAFD=90°,Z.DAF=«+/?,AD=1,则DF=sin(a+0),

:fERtAABE,RtAECD43,ZB=zC=90°,/-CED=/-BAE=a,

则BE=sinacos^,CE=cosasin^,

依题意，四边形BCDF是矩形，则。F=8C=BE+CE,

所以sin(a+°)=sinacos/3+cosasinp.

11

(2)解：由BE=CE=§及(1)知，sinacosp=cosasin^=

则山九仇=比1九6，而a,£为锐角，即有a=/?,

sin2a=|,又2a=a+£=4B/。是锐角,于是cos2s=cos2a=?，

所以s出2a+cos2s=2+^"^.

【解析】(1)根据给定条件，利用直角三角形的边角关系推理作答.

(2)利用(1)的信息结合已知，证得a=6,再借助二倍角公式及同角公式计算作答.

本题主要考查三角和的正弦公式，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知分(2a+0.025+0.045+0,020)=1,解得a=0.005,

%=50x10x0.005+60x10x0.025+70x10x0.045+80x10x0.020+90x10x

0.005=69.5,

众数为70,

因为前2组的频率和为10X0.005+10X0.025=0,3<0.5,前3组的频率和为10X0.005+10X

0.025+10x0.045=0.75>0.5,

所以中位数在第3组，设中位数为小，

则0.3+0.045(m-65)=0.5,解得m«69.4,

所以中位数为69.4.

(2)记3名男生分别为4B,C,记2名女生分别为a,b,则所有抽签的情况有：

未中签4B,中签Cab；未中签4C,中签Bab；未中签4a,中签BCb；

未中签4b,中签BCa；未中签BC,中签Aab；未中签Ba,中签ACb；

未中签Bb,中签4Ca；未中签Ca,中签4Bb；未中签Cb,中签ABa；

未中签a6,中签ABC,共有10种情况，

其中中签者中男生比女生多的有：未中签4a,中签BCb；未中签4b,中签BCa；

未中签Ba,中签ACb；未中签8b,中签ACa；未中签Ca,中签4B6；

未中签C6,中签4Ba；未中签ab,中签ABC,共7种，

所以中签者中男生比女生多的概率为看.

【解析】(1)由频率和为1列方程可求出a的值，根据平均数的定义可求出3由众数的定义可求得

众数，先判断中位数的位置，再列方程求解即可；

(2)利用列举法结合古典概型的概率计算公式求解即可.

本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算公式，考查运算求解能力，属于中档题.

21.【答案】解：⑴⑴设4C=x,在△ACD中，由余弦定理得cosN&W=与茶="解得x=0，

在△ABC中，AB=BC=2,则底边AC上的高％=JAB?—=J4—|=3，

所以△ABC的面积S-BC=♦八=3*门x亨=9.

（讥）设“℃=8,依题意，ABAC=NBC4BC=尹8,

则=AC=2ABcosZ-BAC=4sin9,CD=2ADcosZ-ADC=8sin9cos9=2,即sin26=而5<

29<7T,

所以“BC=28=好

o

(2)连接BD,△4BD中，AD=^1.AB,^BAD=

由余弦定理得BQ?=AB2+AD2-2AB-ADcos^-=AB2+2AB2-2AB-CAB—=XB2.

则BD=4B,4ABD=3,设NCBD=a(0<a<今，在△BCD中，BC=CD=2,

=BD=IBCcos^CBD=4cosa,在△ABC中，^ABC=^+a,

由余弦定理得：AC2=AB2+SC2-2AB-BCcos^ABC,

则AC?=16cos2a+4—Qcosa-2cosc+a)=16cos2a+4+16sinacosa

=8s讥2a+8(cos2a+1)+4=8V-2sin(2a+7)+12<8V-2+12,

4

当且仅当2a+3=3,即a=寸取等号，

4Zo

所以当ay时，ACmax=J4(1+<1)2