2020-2021学年北京市首师大附中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市首师大附中高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共50.0分)

1.己知a,/?是两个不重合的平面，直线44[na=A,=Alt直线=

Bi，AA\HBB[,p：a///?,q：AAt=BBr,贝Up是“的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知非零向量球南第满足您+康+岔=0,向量鳍薄的夹角为1出r，且|阚卜物4，则向量做与苗的

夹角为()

A.OiTB.函C.谢D.如

V3tanl5°,、

3o.----------——=()

l-tan215°')

A.3B.\C.3D.1

322

4.若定义在R上的偶函数/(X)满足，X+2)=/W，且当Xw[(U]时，加)="则函数

y=/(x)—logJd的零点个数是8

A.6个B.4个C.2个D.8个

5.定义在R上的函数f(x)的导函数为/(%),已知/(%+1)是偶函数(％-<0,若%1<上，且

+%2>2，则/(%1)与/。2)的大小关系是()

A./(%1)<f(%2)B./(xj=/(%2)C./(%1)>/(%2)D.不确定

6.遥颗年带姆解域=曲螂阚顿Y,则蟋的取值范围是()

A唠；B专争C.吟亨D.胃

7.已知两[=|而|=3，成•丽=0，点C满足元=%m+〃砺(无〃6/?+)，且乙40C=60。,

则:等于()

A.\B.1C.3D.V3

33

8.将函数/(%)=sin(2x+0)的图象向左平移g个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=

g(%)的图象与函数y=cos2%的图象关于直线％=看对称，则取的最小值为()

9.函数y=y/x(x-1)+专的定义域是()

A.{x\x>0}B.{x\x>1}

C.{x\x>0}U{0}D.{x|0<%<1]

10.己知荏=为一7aBC=-2a+8b>CD=3(a-K).则()

A.A,C,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,D三点共线D.A,B,。三点共线

二、单空题(本大题共6小题，共30.()分)

11.己知实数a=6°-7,b=logo,76,c=0.76,用“〉”连接a,b,c是.

12.求值sin61°cosl°-sin29°sinl°=.

13.tan30(r+siM450。的值等于.

14.已知函数f(x)=loga(3x2—2ax)在区间质1]上是减函数，则实数a的取值范围____.

15.若9%+?2。+1(£1>0)对一切正实数》均成立，则实数a的取值范围是.

\2X—1|-1,x<1

16.已知函数/'(%)=%2_3%+3，下列关于函数9(%)=+好(%)-1(其中Q为常数)

匕丁产>14

的叙述中：

①对VaeR,函数g(x)至少有一个零点；

②当a=0时，函数g(x)有两个不同零点；

@3ae/?,使得函数gQ)有三个不同零点；

④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.

其中真命题有.(把你认为的真命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)

17.己知点4(一1,0),8(0,1),点P(x,y)为直线y=x—l上的一个动点.

(I)求证：NAPB恒为锐角；

(n)^|PA1=IPBI，求向量而+笆的坐标.

18.求tcml05°的值.

19.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距卡+0海里的B处有一艘走私船,

正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2虎海里/小时的速

度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达。处，此时走私船发现了

巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3亚海里/小时的速度沿

着直线追击.

(I)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里•

(H)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船•

20.(本题12分)己知函数/(x)对任意实数x均有了OOu^O+Z),其中常数上为负数，且/(X)在

区间［0,2］有表达式/(x)=x(x-2).

(1)求出了(一1),/(2.5)的值；

(2)若函数在区间［-2,2］的最大值与最小值分别为阳〃，且制-*=3,求上的值.

参考答案及解析

I.答案：A

解析：解：已知a,/?是两个不重合的平面，直线44]na=A,AA1Op=Alt直线BBiCa=B,

BB[C。=B],AA、I]BB\,

p：a///?,q：AAr=BBr,

①若p：a〃仇因为直线44na=4,AAy”=&,直线眄Ca=B,BB»C0=B「AAJ/BB1,

可得AB〃4/i，四边形44/iB为平行四边形，贝1〃&=8当，p可推出q,

②若q：AAr=BBx,因为A4J/BB1，可得四边形人人道道为平行四边形，

因为直线44ina=44410夕=4,直线BB】na=B,BBiC0=B、,所以AB〃&

ABaa,A$，uB，不能推出a〃氏

则p是q的充分不必要条件.

故选:A.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.

2.答案：B

解析：试题分析：：℃=?（-"一方）=一"-ab=-\az-|a|-21a|-cosl205=-|o|+|a|=0

TT

，a一b

故选回

考点：数量积.

3.答案：B

解析：

本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题.

由已知结合二倍角的正切求解.

低的150_V32gli50

解:=xtan30

l-tan215°-2l-tan2150T°232

故选：B.

4.答案:B

解析：本题考查了函数的奇偶性，周期性以及函数零点与方程根的联系.

因为"％+2)=/。)，所以f(x)是周期为2的周期函数。依题意可得，f(x)的大致如下:

由图可知，函数f(x)与函数1y=1吸卜|有4个交点，即函数y=1/(x)-侬3闵的零点个数为4,故

选B.

5.答案：C

解析：试题分析：由/(X+1)为偶函数可得"X)图象关于x=1对称，由(x-l)[(乃<0,可得/(x)

在(-8,1],[1,+8)上的单调性,分情况讨论：若/Ml,利用对称性把/十力变到区间[1,+8)上用

单调性与人打)比较；若Xi>1.则由1</<小直接用单调性可进行大小比较.

因为/Q+1)是偶函数，所以f(一万+1)=f(X+1),则/(乃的图象关于X=1对称，

由(x-1)/(%)<0得，x>1时尸(%)<0,f(%)单调递减,x<1时((x)>0,f(%)单调递增,

若X1<1.由+芯2>2,得>2-%!>1,

所以，。1)=/(2—与)>人犯)；

若>1,则1<X]<%2，所以f(Xl)>/(%2)-

综上知/(%)>/(&)，

故选C.

6.答案：C

解析：试题分析：由题意或触窿丑SW然=垂或K辞T与=能辿雄»—<@,{1-—.<—,

4翦到44

.•.!<&»解吟三底.士屈:昌三:建•《《，即端的取值范围是各学，故

选C

考点：本题考查了三角函数的化简及正切函数图象的运用

点评：熟练掌握三角函数的图象和恒等变换是求解此类问题的关键，属基础题

7.答案：C

OBE

OA10B>

■■■X,nGR+,

C在乙4。8内部，

•••Z.A0C=60°,ACOE=30°,

vOA=OB,

入CE4V3

一=—=tCITlOSAOO=—•

gOE3

故选c.

作出向量示意图，根据向量的几何意义即可得出*

本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题.

8.答案：A

解析：解：将函数/(%)=sin(2%+8)的图象向左平移g个单位长度，得到函数y=g(x)=sin(2%+

?+。)=coss(2x+g+0)的图象，

36

若函数y=g(x)的图象与函数y=cos2%的图象关于直线工=看对称，

贝ijcosg=cos(；+£+0),即1=-sin(p,・•・sin(p=一5故|初的最小值为会

故选：A.

由题意利用函数y=4s比3%+9)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再利用三角函数的图象的

对称性，求得|勿的最小值.

本题主要考查函数y=4s讥+w)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题.

9.答案：B

解析：解：•・,函数y=Jx(x-1)+专,

(x(x-1)>0

l\/xH0

解得卜W。或X21,

(X>0

・•・函数y的定义域是｛x|x>1].

故选:B.

根据函数y的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目.

10.答案:A

解析：

本题主要考查两个向量共线的条件，属于基础题.

由条件可得，AC//CD，可得4C、。三点共线.

解：•-AB=a-7b>BC=-2a+8b>CD=3(a-b)>

AC-AB+BC——H+/?>CD——3AC>

.-.AC//CD>

故A、C、。三点共线.

故选：A.

11.答案：a>c>b

解析：解：因为实数(1=6。・7>1,

b=1ogo7^<0，

0<c=0.76<1,

故a>c>b,

故答案为：a>c>b.

根据函数的图象和性质，比较即可.

本题考查函数图象与性质的应用，不等式比较大小，基础题.

12.答案:十

2

解析：解：因为以几29。=5苗(90。-61。)=。0561。；

:.sin61°cosl°-sin29°sinl°=sin61°cosl°—cos61°sinl°=sin(61°—1°)=sin600=y.

故答案为：县

2

直接利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果

本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题目.

13.答案：1-V3

解析：解：tan300°+sin450°=tanl200+sin900=-tan60°+1=1-V3,

故答案为：i—

由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果.

本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基

础题.

14.答案：(0,》

解析：

本题考查实数的取值范围的求法，涉及到对数函数、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、运

算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.

由对数函数定义域求出x<0或x>y,当a>1时，y=3/-2ax必须是减函数，但是不能保证在

层1］大于0；当0<a<1时，y=3/—2ax在区间层1］上是增函数，由此能求出实数a的取值范围.

2

解：•.,函数/(工)=loga(3x-2ax),

a>0,3x2—2ax>0,Ax<。或x>等

2

当a>1时，•.・函数/'(%)=loga(3x-2QX)在区间E，1］上是减函数，

・•・y=3/一2Q%必须是减函数，且在大于0,

,无解，

13—2CL>0

当。<a<1时,y=3/-2a%在区间生1］上是增函数,

fa1

3<23

・・,,小21，・y

13(2)-2a工>0

再由0<a<1,解得0<a<三.

4

综上，实数a的取值范围是(O3).

故答案为(0,：).

4

15.答案：E，+8)

解析：

本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题.利

用基本不等式，可得9x+y>6a,从而9x+y>a+l(a>0)对一切正实数无成立，转化为6a>a+

1,即可求出实数a的取值范围.

解：对一切正实数x,9%+—>6a.

X

2

v9%4-y>a+l(a>0)对一切正实数%成立,

6a>a4-1,

・•・a>I，

，实数a的取值范围是E+8).

故答案为E，+8).

函数g(x)没有零点，故①错；

②当a=0时，g(%)=0则/(X)=±1,函数g(%)有两个零点，故②正确；

③若存在函数g(%)有三个不同零点,则％轴上方2个，下方1个;或上方1个，下方2个.即有/(%)=-1,

由于nm=-1,故还有f(%)=1,不成立；第二种情况也不成立，上方有1个，即/(x)=1，还有/(x)=

-1,

故③错；

④函数g(%)有四个不同零点=即在％轴上方有两个、下方有两个，即一1<m<0且九>1,即m+n>

0,—a>0

即aV0,故函数g(x)有四个不同零点的充要条件是QV0,即④正确.

故答案为：②④.

首先化简函数式，结合指数函数的性质、基本不等式，求出函数的值域，画出函数〃X)的图象，对

g(x)=0的两根加以判断，通过a的取值，结合图象一一加以判断即可.

本题主要考查函数的零点及判断，考查函数的性质及运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题.

17.答案:(1)证明：点2(阳、)在直线丫=%-1上，即点P(x,x-1),

即PA=(-1-x,1-x),PB=(-x,2-x)>

222

BPWPA-PB=2X-2X+2=2(x-x+l)=2[(x-1)+1]>0,

PA,PB

则但<瓦PB>=〉0,

IPAIIPBI

若4P,B三点在一条直线上，则苏〃诬，

得到Q+1)。-2)-(x—l)x=O,方程无解，则到PBHO,

则有44PB恒为锐角.

(口)由14Pl=\BP\,

即I而|=|BPL即7(x+1)2+(x-1)2=7x2+(x-2)2，

化简得到2x—1=0,即x=1，

则P(,，--1)，PB+PA=(-1)+(-^.-1)=(-2,2)

乙乙乙乙乙乙

解析：(1)由「。/)在直线丫=》一1上，可以求出点尸(x,x-l),然后求出五、PB.利用向量的

数量积以及坐标运算判断出cos<PA，声〉的正负即可判断44PB为锐角；

(□)根据|PA|=|PB|.列出关于x的方程，解方程求出点P的坐标即可.

18.答案：解：tanl50=tan(45°-30°)=@45。330。===2-遮,

''l+£Q"45°tCUl30°i+更

3

tanl05°=tan(180°-75°)=-tan750=-tan(45°+30°)=-tan450+tQn30°=一*=一2一6.

K)l-tan450tan3O0更

3

解析：利用两角和与差的正切函数公式，诱导公式，特殊角的三角函