专题02-曲线的切线问题探究【原卷版】

第一章函数与导数专题02曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y-f(x1)＝f′(x1)(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.例2.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.例3.（2019·湖北高考模拟（理））已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）例6.（2018·天津高考真题（理））已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；（2）证明：以为直径的圆恒过点M.【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线上两点分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点，则直线的方程为（）A． B． C． D．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数，，设两曲线，有公共点P，且在P点处的切线相同，当时，实数b的最大值是______．4.（2013·北京高考真题（理））设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）当时，求证：过点恰有2条直线与曲线相切．9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数.（Ⅰ）讨论的极值；（Ⅱ）若曲线和曲线在点处有相同的切线，且当时，，求的取值范围.11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若在处取得极值，判断当时，存在几条切线与直线平行，请说明理由；(3)若有两个极值点，求证：.12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知，函数讨论的单调性；若是的极值点，且曲线在两点处的切线相互平行，这两条切线在轴上的截距分别为，求的取值范围13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数，直线：.（Ⅰ）设是图象上一点，为原点，直线的斜率，若在上存在极值，求的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得直线是曲线的切线？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.14.（2019·河北高考模拟（理））已知函数，．当时，，求实数a的取值范围；当时，曲线和曲线是否存在公共切线？并说明理由．15