专题08 几何模型之证一条线段等于两条线段和（差）专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题08几何模型之证一条线段等于两条线段和（差）专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在中，平分，，，则的长为（）A．3 B．11 C．15 D．9【标准答案】B【思路指引】在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，先根据SAS证明△ABD≌△AED，然后根据全等三角形的性质和已知条件可得∠BDE＝∠AED，进而可得CD＝EC，再代入数值计算即可．【详解详析】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，∵∠B＝2∠ADB，∴∠AED＝2∠ADB，而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，∴∠BDE＝∠AED，∴∠CED＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．故选：B．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．2．如图，M是的边BC的中点，AN平分，于点N，且，，，则的周长是（）A．38 B．39 C．40 D．41【标准答案】D【思路指引】可以延长BN交AC于点D，易证得Rt△ANB≌Rt△AND，可得N为DB的中点，由已知M是BC的中点可得MN是△BCD的中位线，可得CD的长，根据AC=AD+CD可得AC的长，即可得△ABC的周长．【详解详析】如图，延长BN交AC于点D，∵AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，在Rt△ANB和Rt△AND中，∴Rt△ANB≌Rt△AND，∴AD=AB=10，BN=DN，即N为BD的中点，又∵M是BC的中点∴CD=2MN=6，AC=AD+CD=10+6，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+10+6+15=41，故选：D．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定，涉及到三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，若DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分ABC，则以下命题不正确的个数是()①BC+ADAB；②E为CD中点③AEB90；④；⑤BC=CE()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【标准答案】B【思路指引】在AB上截取AF=AD，连接EF，通过证明，由全等的性质可判断结论.【详解详析】解：如图，在AB上截取AF=AD，连接EF，平分又又平分①①正确；②，所以点E为CD中点，②正确；③，，③正确；④，④正确；⑤不一定等于，⑤错误.综上，命题不正确的只有1个.故选B【名师指路】本题考查了全等三角形的证明及性质，在证明线段的和差倍分题目时，可采用截长法或补短法添加辅助线，即在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明，熟练掌握截长补短法构造全等三角形是解题的关键.4．如图，等腰△ABC，AB=AC，，ADBC于点D．点P是BA延长线上一点，O点是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①AC平分∠PAD；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【标准答案】B【思路指引】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE＋CE＝AO＋AP；【详解详析】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°−∠CAB＝60°，∴∠PAC＝∠DAC，∴AC平分∠PAD故①正确；②由①知：OB=OC，OP=OC，则OB=OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PE，由①知∠PAE＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，在△OPA和△CPE中，PA＝PE，∠APO＝∠CPE，OP＝CP，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确；故答案为：B．【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．5．在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（）A．2 B．3 C．2或6 D．3或7【标准答案】D【思路指引】依据已知条件求出，，根据证，推出，，即可得到的长．【详解详析】解：如图，当直线与线段不相交时，，，，，，，又正方形中，，，，，；如图，当直线与线段相交时，，，，，，，又正方形中，，，，，；故选D．【名师指路】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．本题要注意思考全面，直线与线段有两种情况（相交、不相交），不能遗漏．二、解答题6．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．【标准答案】（1）①AE＝BF；②见解析；（2）AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF【思路指引】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【详解详析】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠EAD＝∠FBD＝120°，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF＋CD；（2）如图3，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，在BE上截取BG＝BD，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF，故AE＝BF﹣CD或AE＝CD﹣BF．【名师指路】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用截长补短的方法做辅助线构造全等三角形和等边三角形，运用类比的方法解决问题．7．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D，CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程．（2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之．【标准答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【思路指引】（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD≌△CAE（AAS）即可；（2）先证出∠ABD＝∠EAC，再证△ABD≌△CAE（AAS）即可．【详解详析】证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∴∠ABD=∠EAC,在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA；（2）成立，理由如下：∵∠BAC＋∠BAD＋∠EAC＝180°，∠ADB＋∠BAD＋∠ABD＝180°，∠BAC＝∠BDA，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE．【名师指路】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．8．如图，，、分别平分、，与交于点O．（1）求的度数；（2）说明的理由．【标准答案】（1）120°；（2）见解析【思路指引】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD=AB．【详解详析】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，∴∠OAB+∠OBA=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°；（2）在AB上截取AE=AC，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=AB．【名师指路】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．9．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF．（1）求∠BOC的度数．（2）求证：CF＝BE+EF．【标准答案】（1）∠BOC＝120°；（2）见解析．【思路指引】（1）利用等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝，由角平分线的性质可得到∠OBC＝∠OCB＝，再利用三角形的内角和为列式计算即可；（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，通过证明△BOE≌△COG得到OG＝OE，BE＝CG，从而得到，即可通过线段的等量代换证明结论．【详解详析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝，∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OCB＝，∴∠BOC＝∠OBC∠OCB＝；（2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，∵∠BOC＝，∴∠BOF+∠COG＝，∵∠EOF＝，∴∠EOB+∠BOF＝，∴∠COG＝∠EOB，∵∠ABO＝∠ABC＝，∴∠EBO＝∠OCG，在BOE与COG中，，∴，∴OG＝OE，BE＝CG，在OEF与OGF中，，∴，∴EF＝FG，∵CF＝FG+CG，∴CF＝EF+BE．【名师指路】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线以及灵活寻找全等三角形判定的条件是解题的关键．10．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【标准答案】见解析【思路指引】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短；

方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可；

方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可；

方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可；

方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可；【详解详析】方法1：补短，构造全等证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE∵AD⊥CD∴∠D＝90°∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC在△ADC和△AEC中∵AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC∴△ADC≌△AEC(SAS)∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15°∴∠ECB＝∠B＝45°∴EC＝BE∴EC＝BE＝CD∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD方法2：补短，构造全等证明：延长DA至点F，使得AF＝AB∵∠B＝45°，∠ACB＝30°∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105°∵CD是∠ACB的角平分线∴∠ACD＝15°∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105°∴∠EAC＝∠BAC在△ABC和△AEC中AB＝AE∠EAC＝∠BACAC＝AC∴△ABC≌△AEC（SAS）∴∠E＝∠B＝45°,∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45°∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB方法3：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°过点A作AF⊥AB交BC于点F∵∠B=45°，∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135°∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠EAC＝∠ACF在△AEC和△CFA中∠EAC＝∠ACFAC＝AC∠AEC＝∠AFC∴△AEC≌△CFA(ASA)∴CE＝AF＝AB∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB方法4：截长，构造全等证明：在CD上截取DE使得DE＝AD∵AD⊥CD∴∠AED＝45°，∠AEC＝135°在CB延长上取点H，使得AH＝AC∵∠ABC＝45°∴∠ABH＝135°∴∠ABH＝∠AEC∵AH＝AC∴∠H＝∠ACB＝30°∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝15°∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75°∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30°∴∠H＝∠EAC在△ABH和△CEA中∠H＝∠EACAH＝AC∠ABH＝∠AEC∴△ABH≌△CEA(ASA)∴AB＝CE∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【标准答案】（1）见解析；（2）见解析【思路指引】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解详析】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF与△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【名师指路】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．12．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边△MNP．（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．【标准答案】（1）见解析；（2）AM+AN=AP，理由见解析【思路指引】（1）在AB上取点C，使得AC=AM，则△ACM为等边三角形，结合“手拉手”模型证明△CMN≌△AMP，得到CN=AP，即可得证；（2）在射线AO上取点D，使得AN=AD，仿照（1）的过程证明△DNM≌△ANP，即可得到AP=DM，从而得出结论．【详解详析】证：（1）由题意可知，∠BAO=60°，如图所示，在AB上取点C，使得AC=AM，则△ACM为等边三角形，MC=MA，∠CMA=60°，∵△NMP为等边三角形，∴MN=MP，∠NMP=60°，∴∠CMA=∠NMP，∴∠CMA-∠NMA=∠NMP-∠NMA，∴∠CMN=∠AMP，在△CMN和△AMP中，∴△CMN≌△AMP(SAS)，∴CN=AP，∴CN+AN=AP+AN=AC，∵AC=AM，∴AP+AN=AM，∴AM-AN=AP；（2）AM+AN=AP，理由如下：如图所示，在射线AO上取点D，使得AN=AD，∵∠BAO=60°，∴△AND为等边三角形，ND=NA，∠DNA=60°，∵△NMP为等边三角形，∴NM=NP，∠MNP=60°，∴∠DNA=∠MNP，∴∠DNA+∠ANM=∠MNP+∠ANM，∴∠DNM=∠ANP，在△DNM和△ANP中，∴△DNM≌△ANP(SAS)，∴AP=DM，∵AN=AD，DA+AM=DM，∴AN+AM=AP．【名师指路】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，掌握双等边三角形中“手拉手”模型是解题关键．13．阅读下面材料：（原题呈现）如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．（思考引导）因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．【标准答案】（1）5.8；（2）4.3【思路指引】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．【详解详析】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的长为5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．14．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．

【标准答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析【思路指引】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；

（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；【详解详析】（1）DE=BD+CE．理由如下：

如图1，∵BD⊥，CE⊥，

∴∠BDA=∠AEC=90°

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE，

∵DE=AD+AE，

∴DE=CE+BD；

（2），理由如下：如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD+CE=AE+AD=DE；【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．15．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．(提示：延长CD到G，使得DG＝BE)(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．(可利用(2)的结论)【标准答案】(1)EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立；(3)此时两舰艇之间的距离是140海里．【思路指引】（1）根据全等三角形对应边相等解答；（2）延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再求出∠EAF＝∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF＝GF，然后求解即可；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF＝∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．【详解详析】解：(1)EF＝BE+DF；证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；(2)EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；(3)如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝20°+90°+(90°﹣60°)＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝(90°﹣20°)+(60°+50°)＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1×(60+80)＝140(海里)．答：此时两舰艇之间的距离是140海里．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．16．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【标准答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．【思路指引】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．【详解详析】解：EF=AE+CF理由：延长到G，使，连接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．理由：延长到G，使，连接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．理由：延长到G，使，连接，∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF=AE+CF仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．17．在中，，，是过的一条直线，于，于．（1）填空，当直线绕点旋转到如图1位置时，与，具有怎样的等量关系？______．（2）若直线绕点旋转到如图2位置时，试说明：．【标准答案】（1）DE＝BD+CE（2）说明见解析【思路指引】（1）利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；（2）同（1）可证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；【详解详析】解：（1）如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE．∵DE＝AD+AE，∴DE＝CE+BD；（2）如图2，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE∵DE＝AE﹣AD，∴DE＝BD﹣CE．【名师指路】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，判定三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL．18．如图1，已知△ABC为正三角形，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AC=AD．（1）若∠CAD=30°，则∠BDC的度数为；（2）若∠CAD的大小在0°~90°范围内之间任意改变，∠BDC的度数是否随之改变？请说明理由；（3）E是DC延长线上一点，且EB=ED，连接AE，如图2，试探究EA，EB，EC之间的关系．【标准答案】（1）30°；（2）不会改变，理由见解析；（3）AE=BE+CE【思路指引】（1）由△ABC为正三角形，可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，由∠CAD=30°，可求∠BAD=90°，由AC=AD，可求∠ACD=∠ADC=，∠ABD=∠ADB=，由∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°即可；（2）不会改变．理由如下：设∠CAD=2α°．由AC=AD，可得∠ADC=∠ACD=90°-α°．由△ABC为正三角形，可得∠CAB=60°，AC=AB=BC，AB=AD，可求∠ADB=∠ABD=90°-（30°+α°），∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°；（3）在AE上取点F，使EF=EB，可证△BEF为正三角形，可求∠ABF=∠CBE，可证△ABF≌△CBE（SAS），可得AF=CE即可．【详解详析】解：（1）∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC，∵∠CAD=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=，∴∠ABD=∠ADB=，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°-45°=30°，故答案为：30°；（2）不会改变．理由如下：设∠CAD=2α°．∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=90°-α°，∵△ABC为正三角形，∴∠CAD=60°，AC=AB=BC，∴AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=90°-（30°+α°），∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=30°；（3）在AE上取点F，使EF=EB，∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠BED=120°．∵AB=AD，EB=ED，∴AE垂直平分BD，∴∠BED=60°，∴△BEF为正三角形，∴BE=BF，∴∠EBF=∠CBA=60°，∴∠ABC-∠CBF=∠FBE-∠CBF，∴∠ABF=∠CBE，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF=CE，∴AE=AF+EF=BE+CE．【名师指路】本题考查等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，掌握等边三角形性质与判定，等腰三角形性质，角的和差计算，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，线段的和差计算，关键是引辅助线构造三角形全等．19．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．（1）求证：．（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在