人教A版高中数学（选择性必修二）同步讲义第16讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）（原卷版）

第07讲拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）一、知识点归纳1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数SKIPIF1<0，把使SKIPIF1<0的实数SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的零点．（2）三个等价关系方程SKIPIF1<0有实数根SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴有交点的横坐标SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点．2、函数零点的判定如果函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的图象是连续不断的一条曲线，并且有SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内有零点，即存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，这个SKIPIF1<0也就是SKIPIF1<0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点二、题型精讲题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数1．（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最值；(2)讨论SKIPIF1<0的零点个数.2．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0的零点的个数.3．（2022下·山东聊城·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处切线的斜率为-2.（1）求SKIPIF1<0的值及SKIPIF1<0的极小值；（2）讨论方程SKIPIF1<0的实数解的个数.4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；(2)若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，讨论方程SKIPIF1<0的解的个数．5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0为奇函数，求实数SKIPIF1<0的值；(2)已知SKIPIF1<0仅有两个零点，证明：函数SKIPIF1<0仅有一个零点．题型02利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值；(3)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零点，求SKIPIF1<0的取值范围.2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值；(2)若函数SKIPIF1<0恰有三个零点，求a的取值范围.3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存2个零点，求SKIPIF1<0的取值范围.4．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求SKIPIF1<0的最小值；(2)若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0有且只有一个交点，求SKIPIF1<0的取值范围．5．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0有且仅有两个交点，求SKIPIF1<0的取值范围.6．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点，且方程SKIPIF1<0有3个不同的实数解，求实数SKIPIF1<0的取值范围．题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题1．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数SKIPIF1<0.(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求SKIPIF1<0的最小值；(2)若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0有且只有一个交点，求SKIPIF1<0的取值范围．2．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；(2)若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，讨论方程SKIPIF1<0的解的个数．3．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若方程SKIPIF1<0有三个根，求SKIPIF1<0的取值范围．

4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值：(2)若SKIPIF1<0有两个零点，求a的取值范围.5．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，(1)已知直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线，且SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，求SKIPIF1<0的值；(2)若方程SKIPIF1<0有三个不同实数解，求实数SKIPIF1<0的取值范围.6．（2023·四川·校联考一模）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)令SKIPIF1<0（a为常数），若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，求实数a的取值范围.题型04构造函数研究函数零点（方程的根）问题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性．(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个实数根，求实数SKIPIF1<0的取值范围．2．（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的零点个数；(2)已知函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个实根SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.（注：SKIPIF1<0是自然对数的底数）3．（2023上·重庆