高中一轮复习数学课时跟踪检测（六）二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

课时跟踪检测（六）二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)解析：选C平面区域如图所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4.))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))画出图形可知选C.3．设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0，))则目标函数z＝2x＋3y的最大值为()A．7 B.8C．22 D．23解析：选D由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0))作出可行域如图中阴影部分，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x－y－3＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝5，))则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3).由图可知，当直线y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23.4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))5．已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x≤4，,x＋y≥0.))则z＝x＋3y的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－eq\f(x,3)，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8.答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金华四校联考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m.))如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A．7 B.5C．4 D．3解析：选B画出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点使目标函数z＝x－y取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x＋y＝m，))解得x＝eq\f(m＋1,3)，y＝eq\f(2m－1,3)，代入x－y＝－1，得eq\f(m＋1,3)－eq\f(2m－1,3)＝－1，∴m＝5.选B.2．在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为()A．－5 B.1C．2 D．3解析：选D因为ax－y＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC.由题意可求得A(0,1)，B(1,0)，C(1，a＋1)，∵S△ABC＝2，BC＝|a＋1|，BC边上的高为AD＝1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×|a＋1|×1＝2，解得a＝－5或3，∵当a＝－5时，可行域不是一个封闭区域，当a＝3时，满足题意，选D.3．(2017·浙江新高考研究联盟)过点P(－1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,x＋y－2≥0，,3x＋y－9≤0))所表示的平面区域内某点(记为B)，则|PA|＋|AB|的取值范围是()A．(2eq\r(2)，5) B.[2eq\r(2)，5]C．[2,5] D．[2eq\r(2)，5)解析：选B不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,x＋y－2≥0，,3x＋y－9≤0))所表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P关于x轴的对称点为P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，过点P1作直线x＋y－2＝0的垂线，则|P1B|的最小值为eq\f(|－1－1－2|,\r(2))＝2eq\r(2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,3x＋y－9＝0))得B0(2,3)，则|P1B|的最大值为|P1B0|＝eq\r(2＋12＋3＋12)＝5.故2eq\r(2)≤|PA|＋|AB|≤5.4．(2018·浙江东部六校联考)实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,y≥x，,x＋y≤2))(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是()A.eq\f(2,11) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(11,2)解析：选B如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝eq\f(1,4).5．(2018·余杭地区部分学校测试)若函数y＝f(x)的图象上的任意一点P的坐标为(x，y)，且满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是()A．f(x)＝ex－1 B.f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝sinx D．f(x)＝|x2－1|解析：选C作出不等式|x|≥|y|所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若函数f(x)具有性质S，则函数f(x)的图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，易知f(x)＝ex－1的图象分布在区域①和③部分，f(x)＝ln(x＋1)的图象分布在区域②和④部分，f(x)＝sinx的图象分布在区域①和②部分，f(x)＝|x2－1|的图象分布在①、②和③部分，故选C.6．(2018·湖州五校联考)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,kx－y≥0，,x＋y≤1，))且目标函数z＝x＋ky－2(k>1)的最大值小于0，则实数k的取值范围为________．解析：目标函数可变形为y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(z＋2,k).由于k>1，所以－1<－eq\f(1,k)<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(z＋2,k)在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝0，,x＋y＝1))得交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋k)，\f(k,1＋k)))，所以目标函数的最大值eq\f(1,1＋k)＋eq\f(k2,1＋k)－2<0，即k2－2k－1<0，解得1－eq\r(2)<k<1＋eq\r(2)，又k>1，所以实数k的取值范围为(1,1＋eq\r(2))．答案：(1,1＋eq\r(2))7．(2018·金丽衢十二校联考)若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－3≤0，,3x－y－9≥0，,y≤3，))则eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，eq\f(y＋1,x＋1)的几何意义为可行域内一点(x，y)与点(－1，－1)连线的斜率，故由图可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x＋1)))min＝eq\f(0＋1,3＋1)＝eq\f(1,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x＋1)))max＝eq\f(3＋1,4＋1)＝eq\f(4,5)，故eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(4,5))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(4,5)))8．(2018·西安质检)若变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|＋|y|≤1，,xy≥0，))则2x＋y的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组．(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)．10．若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目标函数z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－eq\f(a,2)＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,\f(x,3a)＋\f(y,4a)≤1))若目标函数z＝eq\f(y＋3,x)的最小值为1，则a的值为________．解析：可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝eq\f(y＋3,x)可看作是过点(0，－3)与可行域内一点(x，y)的直线的斜率．从可行域可看出，过点A时斜率最小，即eq\f(0－－3,3a－0)＝1，∴a＝1.答案：12．某工厂投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百吨需要资金300万元，需场地100m2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应做怎样的组合投资，可使获利最大？解：先将题中的数据整理成下表，然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数.资金(百万元)场地(百平方米)利润(百万元)A产品(百吨)223B产品(百吨)312限制149设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元，则约束条件为eq\b\lc\{\