人教A版高中数学选修4-2-第四讲-一-变换的不变量与矩阵的特征向量-课件

在许多数学问题中都会研究“不变量”,那么我们研究的线性变换是否也有“不变量”?导入新课4.1变换的不变量——矩阵的特征向量教学目标知识与技能理解矩阵的特征值与特征向量的概念;培养矩阵的特征值与特征向量简单应用能力.过程与方法情感态度与价值观通过学生自我探究,从线性变换和几何直观两个角度来研究矩阵的不变量—特征向量.培养学生探究能力,知识的类比能力.重点矩阵的特征值与特征向量的概念;矩阵的特征值与特征向量的计算.教学重难点矩阵的特征值与特征向量的概念矩阵的特征值与特征向量的计算难点知识结构线性变换二阶矩阵变换的不变量、矩阵的特征向量特征值与特征向量的计算特征向量的应用探究11.对于线性变换,是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变?2.是否存在向量,使得该向量在这个线性变换的作用下有某种“不变性”?4.1.1特征值与特征向量例对于伸缩变换ρ：研究其“不变量”从几何直观上

只有x轴和平行于y轴的直线在ρ的作用下保持不变.伸缩变换只把形如，的向量变为与自身共线的向量，

在一个线性变换的作用下，确实有一些向量具有“不变性”——变成了与自身共线的向量,即变为原来向量的某个倍数.

定义

设矩阵,若存在数以及非零向量

,使得,则称是矩阵的一个特征值,是矩阵的属于特征值的一个特征向量.从线性变换上记矩阵A的线性变换为σ：=A从几何直观上

是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,即：

等式表示线性变换σ把特征向量变为共线的向量Ⅰ.当时,向量与特征向量同向;Ⅱ.当时,向量与特征向量反向;Ⅲ.当时,所得向量为零向量.思考

矩阵A的属于特征值λ的特征向量有几个呢?考察例题以λ=1为例∵是矩阵A的属于特征值λ=1的特征向量∴∵(其中k1∈R,但k1≠0)∴形如的向量都是矩阵的特征向量.即：矩阵A=的属于特征值λ=1的特征向量有无穷多个.总结1

设是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k

也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.证明：若k≠0,则∵∴是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.从几何直观上

若是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量,则与共线的所有非零向量都是A的属于特征值λ的特征向量.总结2

属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.探究2是否每个二阶矩阵都有特征向量?反例矩阵A=没有特征值,没有特征向量.请同学们从几何直观的角度进行分析!4.1.2特征值与特征向量的计算探究3

对于一个二阶矩阵,能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量?例设A=,求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解：设数和非零向量满足①③∴②若是矩阵A的特征向量,则是齐次线性方程组③的一个非零解;若是齐次线性方程组③的非零解，则满足①式,所以是矩阵A的一个特征向量.∴齐次线性方程组③有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.即：Ⅰ.把代入方程组③,得：令y=－1,则x=2.∴方程有非零解x=2,y=－1.∴是矩阵A=的一个特征值,是矩阵A=的属于的一个特征向量.且满足记Ⅱ.把代入方程组③,得：令x=1,则y=1.∴方程有非零解x=1,y=1.且满足记∴是矩阵A=的一个特征值,是矩阵A=的属于的一个特征向量.一般情况设A=,求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.请同学们先自己验证！解：设数和非零向量满足①得齐次线性方程组：②若是齐次线性方程组②的非零解,则满足①式,所以是矩阵A的一个特征向量.若是矩阵A的特征向量,则是齐次线性方程组②的一个非零解;∴齐次线性方程组②有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.即：（其中称为矩阵A的特征多项式,

称为矩阵A的特征方程）记：③解得：将代入方程组②,必有相应的非零解,分别为和,记：,.由上面过程知：是矩阵A=的特征值,,是矩阵A的分别属于的一个特征向量.课堂小结1.设矩阵,若存在数以及非零向量

,使得,则称是矩阵的一个特征值,是矩阵的属于特征值的一个特征向量.2.求二阶矩阵的特征值与特征向量的步骤:

（1）写出特征多项式;

（2）令解得特征值;

（3）分别求出一个属于各个特征值的特征向量.课堂练习1.矩阵M=的特征值为2.设二阶矩阵A由两个不同的特征值是分别属于特征值的任意特征向量,

证明：向量不共线.解：是矩阵A的分别属于不同特征值的假设向量共线,因为∴存在非零实数,使得∴特征向量,得：即：∴再见8、被乌云遮盖后的太阳，依然可以发光发亮。被石头绊倒后的你，依然可以起身微笑!11、要冒一险!整个生命就是一场冒险，走得最远的人常是愿意去做愿意去冒险的人。5、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。17、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。9、思路决定出路，气度决定高度，细节决定成败，性格决定命运。6、当所有人都低调的时候，你可以高调，但不能跑调。9、知识是无限的，要把有限的时间投入到无限的学习中去。2、人生像一块矿石，它在你手里暗淡无光，你只有从一定的角度才能看见它那深沉美丽的光芒。2、时间是不可占有的公共财产，随着时间的推移，真理愈益显露。13、当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。4、在世界的历史中，每一伟大而