2023浙江省杭州市中考数学真题试卷和答案

2023年杭州市初中学业水平考试数学考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．参考公式：二次函数

yax2bxca0

图象的顶点坐标公式：

b4acb2,2a4a试题卷一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1.杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（

）A.8.81042.(2)222（A.0

）

B.8.08104B.2

C.8.8105C.4

D.8.08105D.83.分解因式：4a21（

）A.

2a12a1

B.

a2a2

C.a4a1

D.

4a1a14.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O．若AOB60，则试卷

ABBC

（

）

1．．A.

12

B.

312

C.

32

D.

335.在直角坐标系中，把点Am,2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m（

）A.2

B.3

C.4

D.56.如图，在O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若ABC19，则BAC（

）A.23

B.24

C.25

D.267.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中1a0，0b1．若abc，数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是（A.C.

）

B.D.8.设二次函数yaxmxmk(a0,m,k是实数)，则（

）A.当k2时，函数y的最小值为aC.当k4时，函数y的最小值为a

B.当k2时，函数y的最小值为2aD.当k4时，函数y的最小值为2a9.一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（

）A.中位数是3，众数是2C.平均数是3，方差是2试卷

B.平均数是3，中位数是2D.平均数是3，众数是2

210.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，ABFBAF，连接BE．设BAF,BEF，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tantan2，则n（

）A.5

B.4

C.3

D.2二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11.计算:

28______12.如图，点D,E分别在ABC的边AB,AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若ADE28，ACF118，则A_________．13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为

25

，则n_________．14.如图，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S，△ACE的面1S积为S，则1_________．2S215.在““探索一次函数ykxb的系数k,b与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A0,2,B2,3,C3,1．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数试卷

3表达式y1k1xb1,y2k2xb2,y3k3xb3．分别计算k1b1，k2b2,k3b3的值，其中最大的值等于_________．16.如图，在ABC中，ABAC,A90，点D,E,F分别在边AB，BC,CA上，连接DE,EF,FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设

BCAB

k，若ADDF，则

CFFA

_________（结果用含k的代数式表示）．三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）17.设一元二次方程x2bxc0．在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b2,c1；②b3,c1；③b3,c1；④b2,c2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．18.某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．试卷

4（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图．（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在对角线BD上，且BEEFFD，连接AE,EC，CF,FA．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若ABE的面积等于2，求△CFO的面积．20.在直角坐标系中，已知kk0，设函数y121

k1与函数yx

2

kx25的图象交于点A和点2B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是4．（1）求k1,k2的值．（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．21.在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．试卷

5（1）若ED

13

，求DF的长．（2）求证：AECF1．（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EGED，求ED的长．22.设二次函数yax2bx1，（a0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：xy

……

1m

01

1n

21

3p

……（1）若m4，求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．23.如图，在O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC,AD,BC，作CFAD于点F，交线段OB于点G（不与点O,B重合），连接OF．（1）若BE1，求GE的长．试卷

6（2）求证：BC2BGBO．（3）若FOFG，猜想CAD的度数，并证明你的结论．试卷

72023年杭州市初中学业水平考试数学考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．参考公式：二次函数

yax2bxca0

图象的顶点坐标公式：

b4acb2,2a4a试题卷一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1.杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（

）A.8.8104

B.8.08104

C.8.8105

D.8.08105【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】808008.08104．故选：B．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．2.(2)222（试卷

）

8．．A.0

B.2

C.4

D.8【答案】D【解析】【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．【详解】解：(2)222448，故选：D．【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．3.分解因式：4a21（

）A.

2a12a1

B.

a2a2

C.a4a1

D.

4a1a1【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式分解即可．【详解】4a212a212a12a1．故选：A．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O．若AOB60，则

ABBC

（

）A.

12

B.

312

C.

32

D.

33【答案】D【解析】【分析】根据矩形性质得出OAOC

12

AC，OBOD

12

BD，ACBD，推出OAOB则有等边三角形AOB，即BAO60，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，试卷

9∴OAOC

12

AC，OBOD

12

BD，ACBD，∴OAOB，∵AOB60，∴AOB是等边三角形，∴BAO60，∴ACB906030，∵tanACB

ABBC

tan30

33

，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出BAO60是解答本题的关键．5.在直角坐标系中，把点Am,2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m（

）A.2

B.3

C.4

D.5【答案】C【解析】【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点B的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．【详解】解：点Am,2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，Bm1,23，即Bm1,5，点B的横坐标和纵坐标相等，m15，m4，故选C．【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．6.如图，在O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若ABC19，则BAC（试卷

）10A.23

B.24

C.25

D.26【答案】D【解析】1ACB270135，再根据三角形内角和定理即可求解．2【详解】解：如图，半径OA,OB互相垂直，AOB90，ADB所对的圆心角为270，ADB所对的圆周角ACB

12

270135，又ABC19，BAC180ACBABC26，故选D．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．7.已知数轴上的点A,B分别表示数a,b，其中1a0，0b1．若abc，数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是（试卷

）

11【分析】根据OA【分析】根据OA,OB互相垂直可得ADB所对的圆心角为270，根据圆周角定理可得A.C.

B.D.【答案】B【解析】【分析】先由1a0，0b1，abc，根据不等式性质得出ac0，再分别判定即可．【详解】解：∵1a0，0b1，∴aab0∵abc∴ac0A、0bc1，故此选项不符合题意；B、ac0，故此选项符合题意；C、c1，故此选项不符合题意；D、c1，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由1a0，0b1，abc得出ac0是解题的关键．8.设二次函数yaxmxmk(a0,m,k是实数)，则（

）A.当k2时，函数y的最小值为aC.当k4时，函数y的最小值为a

B.当k2时，函数y的最小值为2aD.当k4时，函数y的最小值为2a【答案】A【解析】【分析】令y0，则0axmxmk，解得：x1m，x2mk，从而求得抛物线对称轴为直线x

mmk2

2mk2

，再分别求出当k2或k4时函数y的最小值即可求解．【详解】解：令y0，则0axmxmk，解得：x1m，x2mk，∴抛物线对称轴为直线x

mmk2

2mk2当k2时，抛物线对称轴为直线xm1，试卷

12把xm1代入yaxmxm2，得ya，∵a0故A正确，B错误；当k4时，抛物线对称轴为直线m2，把xm2代入yaxmxm4，得y4a，∵a0∴当xm2，k4时，y有最小值，最小值为4a，故C、D错误，故选：A．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．9.一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（

）A.中位数是3，众数是2C.平均数是3，方差是2

B.平均数是3，中位数是2D.平均数是3，众数是2【答案】C【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差s

11322323323326322.82，5因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．试卷

13∴当x∴当xm1，k2时，y有最小值，最小值为a．x10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，ABFBAF，连接BE．设BAF,BEF，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tantan2，则n（

）A.5

B.4

C.3

D.2【答案】C【解析】【分析】设BFAEa，EFb，首先根据tantan2得到2a22ab2b2，然后表示出正方形ABCD的面积为AB23b2，正方形EFGH的面积为EF2b2，最后利用正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n求解即可．【详解】设BFAEa，EFb，∵tantan2，AFB90，∴

BFAF

BF2

，即

aab

a2b∴

aab

a2b2

，整理得a2abb2，∴2a22ab2b2，∵AFB90，∴AB2AF2BF2ab2a22a22abb23b2，∴正方形ABCD的面积为AB23b2，∵正方形EFGH的面积为EF2b2，∵正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n，试卷

14EF，EF，∴

b23b2

1n

，∴解得n3．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11.计算:

28______【答案】2【解析】【详解】试题解析：8-2=22-2=212.如图，点D,E分别在ABC的边AB,AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若ADE28，ACF118，则A_________．【答案】90##90度【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到BADE28，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】∵DE∥BC，ADE28，∴BADE28，∵ACF118，∴AACFB1182890．故答案为：90．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13.一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为【答案】9【解析】试卷

25

，则n_________．

15【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为

25

，

66n

25

，去分母，得6526n，解得n9，经检验n9是所列分式方程的根，n9，故答案为：9．【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．14.如图，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S，△ACE的面1S积为S，则1_________．2S2【答案】2【解析】【分析】连接OA,OC,OE，首先证明出△ACE是O的内接正三角形，然后证明出BAC≌OACASA，得到S

BAC

S

AFE

S

CDE

，SOACSOAESOCE，进而求解即可．【详解】如图所示，连接OA,OC,OE，∵六边形ABCDEF是O的内接正六边形，试卷

16∴ACAECE，∴△ACE是O的内接正三角形，∵B120，ABBC，∴BACBCA

1180B30，2∵CAE60，∴OACOAE30，∴BACOAC30，同理可得，BCAOCA30，又∵ACAC，∴BAC≌OACASA，∴SBACSOAC，由圆和正六边形的性质可得，SBACSAFESCDE，由圆和正三角形的性质可得，SOACSOAESOCE，∵S1SBACSAFESCDESOACSOAESOCE2SOACSOAESOCE2S2，SS2故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15.在““探索一次函数ykxb的系数k,b与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A0,2,B2,3,C3,1．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式y1k1xb1,y2k2xb2,y3k3xb3．分别计算k1b1，k2b2,k3b3的值，其中最大的值等于_________．试卷

17∴1∴12．【答案】5【解析】【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出k1b1，k2b2,k3b3进行比较即可解答．【详解】解：设y1k1xb1过A0,2,B2,3，则有：2b1

11

，解得：

1

1

11

12

2

52

；1kb275，kb2233

53则分别计算k1b1，k2b2,k3b3的最大值为值k2b2275．故答案为5．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．16.如图，在ABC中，ABAC,A90，点D,E,F分别在边AB，BC,CA上，连接DE,EF,FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设

BCAB

k，若ADDF，则

CFFA

_________（结果用含k的代数式表示）．【答案】【解析】试卷

k22k2

1832kbk12，则kb32kbk12，则kbb2同理：23【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽BAC，推出EC

12

kAB，通过证明

12

CFFA

的值．【详解】解：点B和点F关于直线DE对称，DBDF，ADDF，ADDB．ADDF，ADFA，点B和点F关于直线DE对称，BDEFDE，又BDEFDEBDFADFA，FDEDFA，DE∥AC，CDEB，DEFEFC，点B和点F关于直线DE对称，DEBDEF，CEFC，

ABAC，CB，在ABC和△ECF中，BC

，ABC∽ECF．在ABC中，DE∥AC，BDEA，BEDC，△BDE∽BAC，

BEBC

BDBA

12

，EC

12

BC，

BCAB

k，试卷

19ABC∽ECF，推出CFk2ABC∽ECF，推出CFk2AB，即可求出ACBEFCBCkAB，ECABC∽ECF．

12

kAB，

ABEC

BCCF

，12解得

ABkABCF

12

kABCF，k2AB，

CFFA

CFACCF

CFABCF

1k2AB21ABk2AB2

k22k2

．故答案为：

k22k2

．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明ABC∽ECF．三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）17.设一元二次方程x2bxc0．在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b2,c1；②b3,c1；③b3,c1；④b2,c2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，x1

352

，x2

352

；选③，x1

3132

，x2

3132【解析】【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：x2bxc0中a1，①b2,c1时，b24ac224110，方程有两个相等的实数根；②b3,c1时，b24ac3241150，方程有两个不相等的实数根；③b3,c1时，b24ac32411130，方程有两个不相等的实数根；④b2,c2时，b24ac2241240，方程没有实数根；因此可选择②或③．试卷

20选择②b3,c1时，x23x10，b24ac3241150，x

bb24ac2a

352

，x1

352

，x2

352

；选择③b3,c1时，x23x10，b24ac32411130，x

bb24ac2a

3132

，x1

3132

，x2

3132

．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程ax2bxc0，当0时，方程有两个不相等的实数根；当的实数根；当Δ0时，方程没有实数根．

Δ0时，方程有两个不相等18.某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，

随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图．（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．试卷

21【答案】（1）200名（2）见解析

（3）600名【解析】【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）先求出B类学生人数为：200601010120(名)，再补画长形图即可；（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．【小问1详解】解：6030%200(名)，答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；【小问2详解】解：B类学生人数为：200601010120(名)，补全条形统计图如图所示：【小问3详解】解：1000

120200

100%600(名)，答：估计B类的学生人数600名．【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．19.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在对角线BD上，且BEEFFD，连接AE,EC，CF,FA．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若ABE的面积等于2，求△CFO的面积．试卷

22【答案】（1）见解析

（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OAOC，OBOD，结合BEFD可得OEOF，即可证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得SAEFSABE2，再根据平行四边形的性质可得S

CFO

12

S

CEF

12

S

AEF

12

21．【小问1详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，BEFD，OBBEODFD，OEOF，又OAOC，四边形AECF是平行四边形．【小问2详解】2S

AEF

S

ABE

2，四边形AECF是平行四边形，S

CFO

12

S

CEF

12

S

AEF

12

21．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．20.在直角坐标系中，已知kk0，设函数y121

k1与函数yx

2

kx25的图象交于点A和点2B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是4．（1）求k1,k2的值．试卷

23解：SABE，BE解：SABE，BEEF，（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．（（2）见解析【解析】【分析】1）首先将点A的横坐标代入ykx25求出点A的坐标，然后代入y221

k1求出x51122k2；2（2）首先根据题意画出图形，然后求出点和点D的坐标，然后利用待定系数法求CD所在直线的表达式，进而求解即可．【小问1详解】∵点A的横坐标是2，∴将x2代入y2k2x255∴A

2,5，∴将A

2,5代入y1

k1得，k10，1∴y1

10x

，∵点B的纵坐标是4，∴将y4代入y1

10x

得，x

52

，∴

52∴将

55

222∴解得k22，∴y22x252x1；【小问2详解】如图所示，试卷

24【答案】1）k110，k22（k10，然后【答案】1）k110，k22（k10，然后将点B的纵坐标代入y10求出B,4，然后代入ykx25即可求出x2出CxB,4，B,4代入ykx25得，4k25，22由题意可得，

52∴设CD所在直线的表达式为ykxb，5kb5∴22kb4

k2，解得

，∴y2x，∴当x0时，y0，∴直线CD经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题键是熟练掌握以上知识点．21.在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED

13

，求DF的长．（2）求证：AECF1．（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EGED，求ED的长．【答案】（1）12试卷

25C,5，D2,C,5，D2,4，b0的关（2）见解析

（3）

14【解析】【分析】（1）证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；（2）证明AEB∽CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；（3）设EGEDx，则AE1x，BE1x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【小问1详解】解：由题知，ABBCCDDA1，若ED

13

，则AEADED

23

．四边形ABCD是正方形，AFDE90，又AEBFED，△AEB∽△DEF，

ABDF

=

AEED

，2即

1DF

13DF

12

．【小问2详解】证明：四边形ABCD是正方形，AC90，AB∥CD，ABEF，ABE∽CFB，

ABCF

AEBC

，AECFABBC111．【小问3详解】解：设EGEDx，则AEADAE1x，BEBGGEBCGE1x．在Rt△ABE中，AB2AE2BE2，即12(1x)2(1x)2，试卷

263，3，解得xED

1414

．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.设二次函数yax2bx1，（a0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：xy

……

1m

01

1n

21

3p

……（1）若m4，求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．【答案】（1）yx22x1（2）当a0时，则x1时，y随x的增大而减小；当a<0时，则x1时，y随x的增大而减小（3）a

13【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线x1；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把2,1代入yax2bx1，得b2a，从而得yax22ax1，再求出m3a1，na1，p3a1，从而得

a103a10

，求解即可．【小问1详解】解：把1,4，2,1代入yax2bx1，得ab14

，解得：

a1

，∴yx22x1．试卷

27mp，然后m、nmp，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得4a2b11b2【小问2详解】解：∵0,1，2,1在yax2bx1图象上，∴抛物线的对称轴为直线x

022

1，∴当a0时，则x1时，y随x的增大而减小，当a<0时，则x1时，y随x的增大而减小．【小问3详解】解：把2,1代入yax2bx1，得14a2b1，∴b2a∴yax2