2020年河南省中考数学试卷 (一)

2020年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

（分）（•河南）-工的绝对值是（

1.32020)

2

C.2D.-2

2.（3分）（2020•河南）成人每天维生素。的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”

用科学记数法表示为（）

A.46X107B.4.6X10C.4.6X106D.0.46X105

3.（3分）（2020•河南）如图，AB//CD,NB=75°,ZE=27°,则/。的度数为（

C.50°D.58°

4.（3分）（2020•河南）下列计算正确的是（）

A.2a+3a=6aB.（-3a）=6a

C.（x-y）2=尤2-y2D.3加-&=2圾

5.（3分）（2020•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体

平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

to

/正面

图①图②

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

6.（3分）（2020•河南）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

7.（3分）（2020•河南）某超市销售A,B,C,。四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3

元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

8.（3分）（2020•河南）已知抛物线y=-x^+bx+4经过（-2,ri'）和（4,a）两点，则n

的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

9.（3分）（2020•河南）如图，在四边形A8C。中，AZ）〃BC,ZD=90°,AD=4,BC=3.分

别以点A,C为圆心，大于Lc长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交AD于点F

2

交AC于点。.若点。是AC的中点，则C。的长为（）

10.(3分)(2020•河南)如图，在△OAB中，顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),

将△OA8与正方形ABC。组成的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋

转结束时，点。的坐标为（）

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

二、填空题（每小题3分，共15分。）

11.（3分）（2020•河南）计算：返-2,1=.

12.（3分）（2020•河南）不等式组2、的解集是.

X.-x+7>4

13.（3分）（2020•河南）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装

有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸

出的两个球颜色相同的概率是.

14.（3分）（2020•河南）如图，在扇形AO8中，ZAOB=120°,半径0c交弦AB于点D,

且。CUO4.若。4=2、后，则阴影部分的面积为.

15.（3分）（2020•河南）如图，在矩形A8C。中，AB=1,8c=a，点E在边BC上，且

BE=3a.连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点2,落在矩形A8CD的边上,

5

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

2

16.（8分）（2020•河南）先化简，再求值：（211-1）.；F,其中苫=«.

x-2X2-4X+4

17.（9分）（2020•河南）如图，在△ABC中，BA=BC,ZABC=90°,以AB为直径的半

圆。交AC于点。，点E是命上不与点8,。重合的任意一点，连接AE交8。于点凡

连接BE并延长交AC于点G.

（1）求证：AADF出ABDG；

（2）填空：

①若42=4,且点E是面的中点，则。尸的长为；

②取会的中点H，当/EA8的度数为时，四边形O8EH为菱形.

18.（9分）（2020•河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，

从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分

析.部分信息如下：

a.七年级成绩频数分布直方图：

b.七年级成绩在70Wx<80这一组的是：

7072747576767777777879

c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级平均数中位数

七76.9m

八79.279.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人；

（2）表中力的值为；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生

在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数

76.9分的人数.

19.（9分）（2020•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的

高度.如图所示，炎帝塑像。£在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角

为34°,再沿AC方向前进21根到达8处，测得塑像顶部。的仰角为60°,求炎帝塑

像。E的高度.

（精确到1m.参考数据：sin34°^0.56,cos34°=0.83,tan34°^0.67,«仁1.73）

20.（9分）（2020•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A

奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.

（1）求48两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的工.请

3

设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

21.（10分）（2020•河南）模具厂计划生产面积为4,周长为根的矩形模具.对于根的取值

范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，

过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得町=4,即>=三；由周长为优,

X

得2（x+y）=m,即尸-吗■.满足要求的（x,y）应是两个函数图象在第象

限内交点的坐标.

（2）画出函数图象

函数y=_£（x>0）的图象如图所示,而函数y=-x+Z■的图象可由直线尸-尤平移得到.请

X2

在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.

（3）平移直线>=-为观察函数图象

①当直线平移到与函数y=%（x>0）的图象有唯一交点（2,2）时，周长机的值为；

X

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长机的取值

范围.

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.

22.（10分）（2020•河南）在△ABC中，CA=CB,ZACB=a.点尸是平面内不与点A,C

重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段。P,连接A。，BD,

CP.

（1）观察猜想

如图1,当a=60°时，毁的值是，直线8。与直线CP相交所成的较小角的度

CP

数是.

（2）类比探究

如图2,当a=90。时，请写出毁的值及直线与直线CP相交所成的较小角的度数，

CP

并就图2的情形说明理由.

（3）解决问题

当a=90°时，若点E,尸分别是CA,C8的中点，点P在直线上，请直接写出点C,

P,。在同一直线上时延的值.

CP

23.（11分）（2020•河南）如图，抛物线y=a/+/x+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C.直

线y=--x-2经过点A,C.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是抛物线上一动点，过点尸作x轴的垂线，交直线AC于点设点尸的横坐

标为m.

①当△PCM是直角三角形时，求点尸的坐标；

②作点2关于点C的对称点8,则平面内存在直线/，使点M,B,B'到该直线的距离

都相等.当点尸在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线/：y^kx+b

备用图

2020年河南省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1.（3分）（2020•河南）-工的绝对值是（）

2

A.-AB.AC.2D.-2

22

【考点】15：绝对值.

【分析】根据■个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可.

【解答】解：

22

故选：B.

【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝

对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键.

2.（3分）（2020•河南）成人每天维生素。的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”

用科学记数法表示为（）

A.46X107B.4.6X107C.4.6X106D.0.46X105

【考点】1J：科学记数法一表示较小的数.

【专题】511：实数.

【分析】本题用科学记数法的知识即可解答.

【解答】解：0.0000046=4.6X106.

故选：C.

【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0

的个数的关系要掌握好.

3.（3分）（2020•河南）如图，AB//CD,ZB=75°,NE=27°,则NO的度数为（）

A.45B.48C.50°D.58°

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据平行线的性质解答即可.

【解答】解：'JAB//CD,BH

'：Z1=ZD+ZE,

J.ZD^ZB-ZE=75°-27°=48°,

故选：B.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答.

4.（3分）（2020•河南）下列计算正确的是（）

A.2a+3a=6aB.（-3。）—6a

C.（x-y）2=尤2-y2D.372-圾=2圾

【考点】35：合并同类项；47：暴的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式；78：二次根

式的加减法.

【专题】512：整式.

【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幕的乘方与积的乘方的运算法则进行运

算即可；

【解答】解：2Q+3〃=5〃，A错误；

（-3a）2=9/,8错误；

（x-y）2=/-2xy+y\C错误；

372-72=272,。正确；

故选：D.

【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，塞的乘方与

积的乘方的运算法则是解题的关键.

5.（3分）（2020•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体

平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）

/正面

图①图②

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

【考点】Q2：平移的性质；U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】根据三视图解答即可.

俯视图

【点评】本题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是学生的观察能力和对几何体三

种视图的空间想象能力.

6.（3分）（2020•河南）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【考点】AA：根的判别式.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】先化成一般式后，在求根的判别式.

【解答】解：原方程可化为：/一2厂4=0,

二〃=1,b--2,c=-4,

；.△=(-2)2-4X1X(-4)=20>0,

・•・方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键.

7.（3分）（2020•河南）某超市销售A,B,C,。四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3

元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

A.1.95元B.2.15元C.2.25元D.2.75元

【考点】VB：扇形统计图；W2：加权平均数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得.

【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5X10%+3X15%+2X55%+1X20%=2.25

（元），

故选：C.

【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义.

8.（3分）（2020•河南）已知抛物线y=-x+bx+4经过（-2,n）和（4,n）两点，则n

的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据（-2,”）和（4,〃）可以确定函数的对称轴x=l,再由对称轴的彳=旦即

2

可求解；

【解答】解：抛物线y=-，+a+4经过（-2,ri'）和（4,w）两点，

可知函数的对称轴x=1,

2

：.b=2；

2

工厂-x+2x+4,

将点（-2,71）代入函数解析式，可得”=-4；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解

题的关键.

9.（3分）（2020•河南）如图，在四边形A8CD中，AD//BC,Z£）=90°,AD=4,BC=3.分

别以点A,C为圆心，大于nC长为半径作弧，两弧交于点E,作射线3E交于点凡

2

交AC于点。.若点。是AC的中点，则8的长为（）

A.2&B.4C.3D.A/10

【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；N2：作图一基本作图.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】连接FC,根据基本作图，可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出AF

=FC.再根据ASA证明△FOA四△BOC,那么AF=BC=3,等量代换得到FC=AP=3,

利用线段的和差关系求出FD^AD-AF^l.然后在直角△EDC中利用勾股定理求出CD

的长.

【解答】解：如图，连接FC,则AP=PC.

,:AD〃BC,

:.NFAO=NBCO.

在△尸。4与△80C中，

，ZFA0=ZBC0

<OA=OC，

LZAOF=ZCOB

AAFOA^ABOC（ASA）,

.•.AF=BC=3,

：.FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.

在△F£）C中，VZD=90°,

，CIT+DF2=FC1,

.\CD2+12=32,

:.CD=2®

故选：A.

【点评】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等

三角形的判定与性质，难度适中.求出CP与。尸是解题的关键.

10.（3分）（2020•河南）如图，在△048中，顶点。（0,0）,A（-3,4）,B（3,4）,

将△OAB与正方形ABC。组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋

转结束时，点。的坐标为（）

C.(10,-3)D.(3,-10)

【考点】D2：规律型：点的坐标；R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】先求出A8=6,再利用正方形的性质确定。（-3,10）,由于70=4X17+2,

所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转

2次，每次旋转90°,此时旋转前后的点。关于原点对称，于是利用关于原点对称的点

的坐标特征可出旋转后的点D的坐标.

【解答】解：VA（-3,4）,B（3,4）,

.*.AB=3+3=6,

•・•四边形ABC。为正方形，

.\AD=AB=6,

：.D（-3,10）,

V70=4X17+2,

.••每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△043与正方形ABC。组成的图形绕

点。顺时针旋转2次，每次旋转90°,

.•.点。的坐标为（3,-10）.

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图

形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,

90°,180°.

二、填空题（每小题3分，共15分。）

11.（3分）（2020•河南）计算：V4-2-1=1A.

一2一

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数累.

【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幕两个考点.针对每个考点分别进行计算,

然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解：V4-21

=2-—

2

2

故答案为：1工.

2

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题

目的关键是熟练掌握负整数指数幕、二次根式等考点的运算.

^<-1

12.（3分）（2020•河南）不等式组2〜的解集是xW-2.

\.-x+7>4

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式三W-1,得：-2,

2

解不等式-无+7>4,得：尤<3,

则不等式组的解集为无W-2,

故答案为：尤W-2.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

13.（3分）（2020•河南）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装

有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同.从两个袋子中各随机摸出1个球，摸

出的两个球颜色相同的概率是A.

一旦一

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式

计算可得.

【解答】解：列表如下：

黄红红

红（黄，红）（红，红）（红，红）

红（黄，红）（红，红）（红，红）

白（黄，白）（红，白）（红，白）

由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，

所以摸出的两个球颜色相同的概率为三，

9

故答案为：A.

9

【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所

有等可能的结果列举出来，难度不大.

14.（3分）（2020•河南）如图，在扇形AQB中，ZAOB=120°,半径0c交弦AB于点

且。CLOA.若。4=2«,则阴影部分的面积为亚+TT.

D

B

O

【考点】MO：扇形面积的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AO。的

面积与扇形02C的面积之和再减去△2。。的面积，本题得以解决.

【解答】解:作OELAB于点F,

:在扇形AOB中，120°,半径OC交弦A8于点。，>OC±OA.。4=2«,

/.ZAOD=90°,ZBOC=30°,OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=30°,

：.OD^OA'tan3Q°=2«X返=2,AD=4,AB=2AF=2X2弧乂遮=6,OP=«,

32

：.BD=2,

2

.R日中期份的而和曰<灯<_2V3X230Xn（2V3）2X73

••阴修部刀的囿礼、TH：SA4O£）+S扇形OBCS/\BDO-------------------+-------------------------------------------------

23602

=«+Tt,

故答案为：V3+Tt-

E

O

【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

15.（3分）（2020•河南）如图，在矩形ABC。中，AB=1,BC=a,点E在边BC上，且

BE="连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点）落在矩形ABCD的边上,

5

则a的值为包或匹.

—J_一

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】分两种情况：①点次落在边上，根据矩形与折叠的性质易得即

可求出。的值；②点8,落在边上，证明sXb'CE,根据相似三角形对

应边成比例即可求出。的值.

【解答】解：分两种情况：

①当点夕落在边上时，如图1.

•.•四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD^ZB=9Q°,

:将△ABE沿AE折叠，点8的对应点8'落在边上，

：.NBAE=NB'AE=L/3AD=45°,

2

；・AB=BE,

②当点8,落在CO边上时，如图2.

:四边形ABC。是矩形，

；./BAD=/B=/C=/D=90°,AD^BC^a.

:将AABE沿AE折叠，点8的对应点3'落在CO边上，

：.ZB=ZAB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=工，

5

•**DB'={B/人2_AD2=4]_a2，EC—BC~BE=a~

55

在△AO夕与△夕CE中，

AD=ZEByC=90°-ZAB71,

IZD=ZC=9O°

/.AADB'S^B'CE,

.DB'_AB'即1

F_T'52aa5a

解得。1=U5，。2=-Y旦（舍去）.

33

综上，所求。的值为5或运.

33

故答案为5或返.

33

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理,

相似三角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

2

16.（8分）（2020•河南）先化简，再求值：（三斗-1）其中了=«.

x-2X2-4X+4

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】513：分式.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

【解答】解：原式=（±1-五2）.XG-2）

x-2x-2（X-2）2

-3.x-2

x-2x

3

当时，原式=/"=«.

V3

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和

运算法则.

17.(9分)(2020•河南)如图，在△ABC中，BA=BC,NA3C=90°,以A3为直径的半

圆。交AC于点Z),点E是加上不与点8,。重合的任意一点，连接AE交BD于点R

连接BE并延长交AC于点G.

(1)求证：4ADFmABDG；

(2)填空：

①若AB=4,且点E是俞的中点，则的长为4-2返；

②取会的中点H,当的度数为30。时,四边形OBEH为菱形.

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】11：计算题；14：证明题；152：几何综合题.

【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角，可得,再应用同角

的余角相等可得/D4P=/£>8G,易得AD=BD,△?!£)尸丝△8OG得证；

(2)作FH1AB,应用等弧所对的圆周角相等得NBAE=/D4E,再应用角平分线性质

可得结论；由菱形的性质可得8£=。6,结合三角函数特殊值可得/EAB=30°.

【解答】解：(1)证明：如图1,：氐4=夙7,ZABC=90°,

；.NBAC=45°

'：AB是。。的直径，

/.ZADB=ZAEB=90°,

ZADF=ZBDG=90°

：./DAF+/BGD=NDBG+/BGD=90°

：.ZDAF=ZDBG

,/ZABD+ZBAC^90°

：.ZABD=ZBAC=45°

：.AD=BD

:.AADF咨LBDG(ASA)；

(2)①如图2,过月作“LAB于H,：点E是面的中点，

/BAE=ZDAE

'：FD±AD,FH±AB

：.FH=FD

•.•里=sin/ABO=sin45°=返，

BF2

...胆Nl,gpBF=y/2FD

BF2

'：AB=4,

.•.B£)=4cos45°=2&,即2/+尸£>=2&,(如+1)即=2&

：.FD=.<2^=4-2V2

V2+1

故答案为4-2加.

②连接OH,EH,：点H是金的中点，

/.OHLAE,

'：ZAEB=90°

：.BE±AE

：.BE//OH

•••四边形。8即为菱形，

:.BE=OH=OB=LAB

2

sinZEAB=^,=A

AB2

ZEAB=30°.

故答案为：30°

图3

图1

【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质,

解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理.

18.（9分）（2020•河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,

从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分

析.部分信息如下：

a.七年级成绩频数分布直方图：

b.七年级成绩在70Wx<80这一组的是：

7072747576767777777879

c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级平均数中位数

七76.9m

八79.279.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有23人;

（2）表中机的值为77.5；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生

在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数

76.9分的人数.

【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；W2：加权平均数；W4：

中位数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】（1）根据条形图及成绩在70Wx<80这一组的数据可得；

（2）根据中位数的定义求解可得；

（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；

（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得.

【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人，

故答案为：23；

（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别

为78、79,

.77+78_wV

..m=―—―=77.5,

2

故答案为：77.5；

（3）甲学生在该年级的排名更靠前，

•••七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，

八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，

•••甲学生在该年级的排名更靠前.

（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400义9坦电=224（人）.

50

【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直

方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用.

19.（9分）（2020•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的

高度.如图所示，炎帝塑像。E在高55,〃的小山EC上，在A处测得塑像底部£的仰角

为34°,再沿AC方向前进21根到达8处，测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑

像QE的高度.

（精确到1m.参考数据：sin34°—0.56,cos34°=0.83,tan34°-0.67,返仁1.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】由三角函数求出AC=―得出BC=AC-A3=6Llm,在RtA

tan34

BCD中，由三角函数得出。=«fiC-105.7如即可得出答案.

【解答】解：,NCAE=34°,CE=55m,

tanZCAE—包",

AC

.\AC=_=.55.^82.1m,

tan340.67

\9AB=21m,

：.BC=AC-AB=61Am,

在RtZXBCZ）中，tan60°=型="Q，

BC

cr）=1.73X61.1^105.7m,

：.DE=CD-EC=105.7-55仁51%

答:炎帝塑像。E的高度约为51祖.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角

三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中.

20.（9分）（2020•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A

奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个8奖品共需210元.

（1）求A,B两种奖品的单价；

（2）学校准备购买A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的工.请

3

设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】52：方程与不等式；533：一次函数及其应用.

【分析】（1）设A的单价为x元，2的单价为y元，根据题意列出方程组［3x+2v=120,

15x+4y=210

即可求解；

（2）设购买A奖品z个，则购买8奖品为（30-z）个，购买奖品的花费为W元，根据

题意得到由题意可知，z》工（30-z）,W=30z+15（30-z）=450+15z,根据一次函数

3

的性质，即可求解；

【解答】解：（1）设A的单价为x元，8的单价为y元，

根据题意，得

f3x+2y=120

l5x+4y=210，

.尸，

ly=15

/.A的单价30元，B的单价15元；

（2）设购买A奖品z个，则购买8奖品为（30-z）个，购买奖品的花费为W元，

由题意可知，Z2工(30-Z),

W=30z+15(30-z)=450+15z,

当z=8时，W有最小值为570元，

即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；

【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组,

将最优方案转化为一次函数性质解题是关键.

21.(10分)(2020•河南)模具厂计划生产面积为4,周长为根的矩形模具.对于根的取值

范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，

过程如下：

(1)建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得町=4,即>=%；由周长为加,

X

得2(x+y)=m,即尸-x+'.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第一象限

内交点的坐标.

(2)画出函数图象

函数产生x>0)的图象如图所示,而函数y=7+2■的图象可由直线产-x平移得到.请

x2

在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.

(3)平移直线>=-工，观察函数图象

①当直线平移到与函数y=当(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长”的值为8；

X

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长根的取值

范围.

(4)得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长山的取值范围为打与8.

【考点】GB：反比例函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；523：一元二次方程及应用；68：模型思想.

【分析】(1)x,y都是边长，因此，都是正数，即可求解；

(2)直接画出图象即可；

(3)①把点(2,2)代入y=-x+5•即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0

个、1个、2个三种情况，联立>=9和/=-x+典并整理得：1mx+4=o,即可求解;

x22

(4)由(3)可得.

【解答】解：(1)x,y都是边长，因此，都是正数，

故点(x,y)在第一象限，

答案为：一；

(2)图象如下所示：

y=-x

（3）①把点（2,2）代入＞=7+自得：

2=-2+—,解得：M=8,

2

即：0个交点时，根〈8；1个交点时，相=8；2个交点时，冽＞8；

②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，

联立y=里和y--x+处并整理得：x-L，tr+4=0,

x22

△=工，/-4X420时，两个函数有交点，

4

解得：机28；

（4）由（3）得：相28.

【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等

知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大.

22.（10分）（2020•河南）在△ABC中，CA=CB,ZACB=a.点P是平面内不与点A,C

重合的任意一点.连接AP,将线段A尸绕点尸逆时针旋转a得到线段。P,连接A。，BD,

CP.

（1）观察猜想

如图1,当a=60。时，毁的值是1,直线2。与直线CP相交所成的较小角的度数

CP

是60°.

（2）类比探究

如图2,当a=90°时，请写出段的值及直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数，

CP

并就图2的情形说明理由.

（3）解决问题

当a=90°时，若点E,尸分别是C4,的中点，点尸在直线所上，请直接写出点C,

P,。在同一直线上时处的值.

CP

D

图1

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）如图1中，延长CP交3。的延长线于E,设A8交EC于点0.证明△CAP

学ABAD（SAS）,即可解决问题.

（2）如图2中，设8。交AC于点O,BD交PC于点、E.证明即可解

决问题.

（3）分两种情形：①如图3-1中，当点。在线段尸C上时，延长交BC的延长线

于H.证明4D=Z）C即可解决问题.

②如图3-2中，当点尸在线段。上时，同法可证：D4=QC解决问题.

【解答】解：（1）如图1中，延长CP交2。的延长线于E,设AB交EC于点0.

图1

,：ZPAD=ZCAB=60°,

：.ZCAP=ZBAD,

'：CA^BA,PA^DA,

：./\CAP^^\BAD(SAS),

：.PC=BD,ZACP=AABD,

,：/AOC=ZBOE,

：.ZBEO^ZCAO^60°,

•••旦1=1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60。，

PC

故答案为1,60°.

（2）如图2中，设BZ）交AC于点。，BD交PC于点E.

图2

VZB4D=ZCAB=45°,

：.ZPAC=ZDAB,

•.•胆=包_=正，

ACAP

/\DAB^/\PAC,

：.ZPCA=ZDBA,毁=延=加,

PCAC

■:/EO