2021-2022学年广东省河源市紫金县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省河源市紫金县九年级（上）期末数

学试卷

一、选择题（共10小题，共30.0分）

1.下列方程，是一元二次方程的是（）

A./+3N_I=（）B.2/2-=1C.2①+1=0

2.下面几何体的主视图是（）

匚

3.若AABOADEF,且△ABC与aOEF的面积比是9。则△ABC与AOEF对

4

应中线的比为（）

2R8193

A-3B-16C-4D-2

4.若正方形的对角线长为2,则这个正方形的面积为（）

A.2B.4C.aD.2\/2

5.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这么球员投篮一次，投中的概率约是

()

投篮次数1()50100150200250300500

投中次数4356078104123152251

投中频率0.400.700.600.520.520.490.510.50

A.0.7B.0.6C.0.5D.0.4

6.如图，点闻■为反比例函数U="的图象上一点，过点M作MN_L；r轴于点N,连

接已知△MN。的面积为3,则k的值为（）

B.(4,3.2)

C.(4,4)

D.(6,1.6)

8.由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入

约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为605()元，若

设每天的增长率为八则h满足的方程是()

A.5000(1+a;)=6050B,5000(1+2c)=6050

C.5000(1-a;)2=6050D.5000(1+x)2=6050

如图，正比例函数阴=用/的图象与反比例函数加=包

9.

X

的图象相交于4,B两点、,其中点4的横坐标为2,当

阴〉仇时，7•的取值范围是()

A.c<-2或4>2

B.x<-2或0</<2

C.—2<工<0或0</<2

D.-2<x<0或%>2

10.如图，正方形48。。中，E为BC中点,连接4E,

于点尸，连接CF,交工。于点G,

第2页，共22页

D

AP9

下列结论：①。尸=CO；②G为/。中点；③△DCFs/VlGF；④篝=：,

EF3

其中结论正确的个数有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.方程/=.?的解是.

12.若关于k的一元二次方程a/+4i-2=0有实数根，则。的取值范围为•

13.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次

随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在

（）.3左右，则盒子中黑珠子可能有颗.

14.已知矩形4BCO,当满足条件时，它成为正方形（填一个你认为正确的条

件即可）.

反比例函数;的图象经过点（）则△的值为

15.V=8L-2,

X

16.如图，△4BC中，，。是中线，BC=8,

AB^ADAC,则线段AC的长为.

17.如图，正方形纸片/BCD的边长为12,E,F分别是边4方,

BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点/落在C。

边上的点4处，此时点B落在点处.已知折痕EF=13,

则4E的长等于.

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18.解方程：2/-42-1=0（用配方法）

A

19.如图，在△ABC中，AB^AC,BD=CD,CE_L4B于E.

求证：LABDs^CBE.

20.如图，小明站在路灯B下的月处，向前走5米到。

处，发现自己在地面上的影子。。是2米.若小明

的身高DE是1.8米,则路灯B离地面的高度AB是

多少米？

第4页，共22页

\D

21.如图，已知矩形/BC。的两条对角线相交于O,

AACB=30°，48=2.

(1)求4C的长.

(2)求的度数.

(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.

22.如图，在一条直线上有两只蚂蚁，甲蚂蚁在点4处，乙蚂蚁在点B处，假设两只

蚂蚁同时出发，爬行方向只能沿直线4B在“向左”或“向右”中随机选择，并且

甲蚂蚁爬行的速度比乙蚂蚁快.

(1)求甲蚂蚁选择“向左”爬行的概率；

(2)利用列表或画树状图的方法求两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的概率.

AB

23.如图，某市近郊有一块长为60米，宽为5()米的矩形荒地，地方政府准备在此建一

个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(

其中三个矩形的一边长均为a米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地.

⑴设通道的宽度为/米，则a=(用含力的代数式表示)；

(2)若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米？

24.已知：如图，正比例函数沙=总的图象与反比例函

数,(7=2的图象交于点4(3,2)

X

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;

(2)根据图象回答，在第一象限内，当/取何值时，

反比例函数的值大于正比例函数的值；

(3)A/(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0<zn<3,过点A7作直线

A/N〃久轴，交9轴于点B；过点工作直线轴交7轴于点。，交直线A/B于

点。.当四边形O4DM的面积为6时，请判断线段BA/与。A7的大小关系，并说

明理由.

第6页，共22页

25.如图1,在平面直角坐标系中，已知直线/：u=fcr+b与立轴交于点4,与U轴交

于点B,直线CD相交于点。，其中4c=14,。(—6,0),0(2,8).

(1)求直线/函数表达式；

(2)如图2,点P为线段CD延长线上的一点，连接PB,当的面积为7时，

将线段沿着沙轴方向平移，使得点P落在直线上的点P处，求点P，到直

线C。的距离；

(3)若点E为直线CD上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F,使以点，、

D、E、F为顶点的四边形为菱形，若存在请直接写出点尸的坐标；若不存在，

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、/+3/-1=0是一元二次方程，故A正确；

B、y2-5x=1是二元二次方程，故B错误；

C、2丁+1=()是一元一次方程，故C错误；

D、1+/=1是分式方程，故。错误；

X

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：主视图有3列，从左往右小正方形的个数为2,1,2.

故选：B.

找出从几何体的正面看所得到的图形即可.

此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置.

3.【答案】D

g

【解析】解：MABCMDEF,△ABC与的面积比是二,

4

.•.△/8C与△〃£下的相似比为|,

与对应中线的比为氤

故选：D.

4.【答案】A

【解析】解：•.•四边形4BCD是正方形，

AO=BO=^AC=1cm,Z.AOB=90°,

由勾股定理得，AB=\Z2CTII»

S正=(\/2)2=2cm2.

故选A.

第8页，共22页

根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可.

考查正方形的性质，关键是根据对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角分析解答.

5.【答案】C

【解析】解：由题意得：

投篮的总次数是10+50+100+150+200+250+300+500=1560（次）,

投中的总次数是4+35+60+78+104+123+152+251=807（次）,

则这名球员投篮的次数为1560次，投中的次数为807,

故这名球员投篮一次，投中的概率约为：黑70,5.

1560

故选：C.

6.【答案】C

【解析】解：设点W的坐标为（。⑼，

•.•点时在第二象限，

a<0,b>0.

ON=—x,NM=y.

-：△八/NO的面积为3,

.•.；（一办6=3.

/.ab=—6.

■：点M在反比例函数v=&的的图象上，

X

k=ab——6•

故选：C.

根据函数图象在第二、四象限，可得k<0.设出W点坐标，用坐标表示线段和ON

的长，利用待定系数法可求k的值.

本题主要考查了反比例函数系数的几何意义和反比例图象上的点的坐标的特征，利用点

的坐标表示对应线段的长是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：•.•以原点O为位似中心，在第一象限内将线段扩大为原来的2倍后得

到线段C。，

,月点与。点是对应点，

•.♦。点的对应点力的坐标为(2,2),位似比为1：2,

二点。的坐标为：(4,4)

故选：C.

利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出。点坐标.

此题主要考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键.

8.【答案】D

【解析】解：设每天的增长率为八

依题意，得：5000(1+1)2=6050.

故选：D.

根据开业第一天收入约为5()00元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约

为6050元列方程即可得到结论.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是

解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：•.•反比例函数与正比例函数的图象均关于原点

对称，

二4、B两点关于原点对称，

•.•点4的横坐标为2,

.•.点B的横坐标为-2,

•.•由函数图象可知，当—2<①<0或％•>2时函数%=岛土的图象在数=&的上方，

X

：,当%>念时，立的取值范围是—2<工<0或］>2.

故选：D.

第10页，共22页

先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论.

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出＞佻时工的

取值范围是解答此题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：如图，作于A九

•.•四边形ABC。是正方形，

AB=BC=CD=AD,£DAB=NB=ZADC=90°，

^ADF+Z.CDF=90°,Z.CDF+4DCM=90°,

ZADF=ADCM,

•1-DF1AE,CM1DF,

：.^AFD=^CMD=90°，

ADAFmACDM,

：.CM=DF,DM=AF,

■：Z.ADF+NDAE=90°,NDAE+NBAE=90°,

NBAE=NADF,

■：BE=CE,

.-.AB=2BE,

BEI

tan/BAE=tanAADF=--=-,

AB2

AF_1

•,而=5'

/.DM=MF,vCMIDF,

/.CD=CF,故①正确，

.・.Z.CDF=/CFD,

•/ZCZ?G=ZCFG=90%

,Z.GFD=ZGDF,

.・.GF=GD,

•/LGDF+Z.DAF=90°,NGFO+N力FG=90。，

・♦.Z.GAF=AGFA，

・•.GF=GA,

・•.GD=GAf

7.G是力。中点，故②正确，

•・・ZAFD=NGFC,

：,Z.AFG=Z.CFD,ZGAF=乙CDF,

/.ADCF^AAGF,故③正确，

设4F=a,则。F=2a,4B=，^a，5E=^a，

53

r.AE=-a,EF=-a,

.••A普F=2/故④正确，

EF3

故选：D.

如图，作CA/_LOF于M.首先证明三△COM,推出。"=4F,再证明

DF=2AF,推出。M=A/F,推出CO=。9，再证明NGOF=/GF0,推出

GD=GF,再证明GF=G4即可证明G4=G£»,由此即可一一判断；

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考常考题型.

11.【答案】曲=0,1

【解析】解：/=/，

移项得：x2—rr=0>

分解因式得：x(x-l)=0,

可得工=0或工-1=0,

解得：皿=0,12=1.

故答案为：11=0,12=1

将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0,两因式中至少有

一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为

第12页，共22页

0,左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为()，两因式中至少有一个为()转化为两

个一元一次方程来求解.

12.【答案】a》-2且。壬0

【解析】解：根据题意得且4=42—4ax(—2))0,

解得a2-2且炽0.

故答案为a》一2且(#0.

利用一元二次方程根的定义和判别式的意义得到且△=42-4ax(-2)20,然后

求出两不等式的公共部分即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)的根与△=廿一4ac有如

下关系：当△〉()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实

数根；当△<()时，方程无实数根.

13.【答案】14

【解析】

【分析】

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比

例关系入手，列出方程求解.

此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的

概率.关键是根据白珠子的频率得到相应的等量关系.

【解答】

解：由题意可得，=0.3,

6+n

解得n=14.

故估计盒子中黑珠子大约有14个.

故答案为：14.

14.【答案】AB^BC

【解析】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的

条件为：AB=BC或=CO或CO=或。4=43或4C，.

故答案为：AB=BC.

根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件.

本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经

有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻动相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角.

15.【答案】-2

【解析】解：•.•反比例函数V=与的图象经过点（1,-2）,

X

解得k=-2.

故答案为：—2.

把点的坐标代入函数解析式进行计算即可得解.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入进行计算即可，比较简单.

16.【答案】g

【解析】解：•.•在中，4。是中线，BC=8,

：.CD=4,

ZB=ADAC,ZACD=£BCA,

：.小CDsZBCk,

ACCD

'^C=~CA'

即生=$_

卬8-AC'

解得，AC=4v^.

根据三角形相似的知识可以得到4C的长，本题得以解决.

本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

1KQ

17•【答案】詈

第14页，共22页

【解析】解：过点F作尸GJ.4。，垂足为G,连接

在团ZVETG中，EG=y/EF2-FG2=\/132-122=5.

・・・轴对称的性质可知AAfLEF,

ZE4H+Z4EH=90°.

\FGLAD.

4GEF+4EFG=90°.

・•・ADAAf=AGFE.

在AGEF和△044中，

fNEG尸=NO=90。

<FG=AD，

(zLDAAf=Z.GFE

4GEFm4DA/A.

DAf=EG-5.

设4E=i,由翻折的性质可知E4=/,则OE=12—i.

在①Z\ED4/中，由勾股定理得：EAi2=DE2+AfD\即/=(12—出曰+52.

切出169

解得：x=――.

24

169

故答案为：

24

过点F作FG_1月。，垂足为G,连接AAt,在4GEF中，由勾股定理可求得EG=5,

轴对称的性质可知力4_LEF,由同角的余角相等可证明/E4"=/GFE,从而可证

明△AD4mAFGE,故此可知GE=D4=5,最后在△££>//利用勾股定理列方程

求解即可.

本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定，证得

△3£F三4。44从而求得4。=5是解题的关键.

18.【答案】解：2/—4,—1=0

X2—2x--=0

"2c+1=g+1

（工-1）2=I

.-.X1=1+—>X2-1--

【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.然

后利用直接开平方法即可求解.

用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)形如/+pa：+q=o型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边

加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可.

(2)形如.工2+就+。=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成/+pz+q=o,

然后配方.

19.【答案】证明：在△4BC(中，AB^AC,BD=CD,

：,ADIBC,

■：CELAB,

.•.N4DB=NCEB=90°,

又：ZB=NB,

AABDsMBE.

【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得4。_L3。，然后求出

AADB=NCEB=90°,再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明.

本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组对

应相等的角是解题的关键.

20.【答案】解：由题图知，。。=2米，£79=1.8米，力。=5米，

4C=4D+0C=5+2=7(米).

ED//AB,

丛ECDSBCA,

EDDC1.82

----=----,即Hn---=-.

"ABACAB7

/.AB=6.3.

第16页，共22页

即路灯B离地面的高度是6.3米.

【解析】根据题意知EO〃43,得出△ECDsASCH,进而得出比例式求出即可.

此题主要考查了相似三角形的应用，得出△EC。-△3C4是解决问题的关键.

21.【答案】解：（1）在矩形中，^ABC-90°,

中，AACB=30°，

AC=2AB=4.

(2)在矩形4BC。中，

AO=OB=2,

又•••43=2,

△403是等边三角形,

：.^AOB=60°.

(3)由勾股定理，得BC=，42-22=2瓜,

SAABC=]x2x2\/3=2\/3.

S&BOC-2s△4BC—瓜>

所以菱形OBEC的面积是2a.

【解析】（1）根据的长结合三角函数的关系可得出4c的长度.

（2）根据矩形的对角线互相平分可得出△06。为等腰三角形，从而利用外角的知识可得

出乙4OB的度数.

（3）分别求出aOB。和ZXBCE的面积，从而可求出菱形OBEC的面积.

本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识

的掌握是关键.

22.【答案】解：（1）1•爬行方向只能沿直线力B在"向左”或"向右”中随机选择,

・•・甲蚂蚁选择“向左”爬行的概率为：;；

故答案为：;；

(2)画树状图得:

开始

甲左右

/\/\

%左右左右

•.•共有4种等可能的情况数，两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的2种情况，

21

.•.两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的概率为：----

42

【解析】(1)由爬行方向只能沿直线4B在“向左”或“向右”中随机选择，直接利用

概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两只蚂蚁开始爬

行后会“触碰到”的情况，再利用概率公式即可求得答案.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完

成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.【答案】⑴竺萨；

6。—3T

⑵根据题意得，(50-2T)(60-30-X-2-=2430,

解得叫=2,狈=38(不合题意，舍去).

答：中间通道的宽度为2米.

【解析】

【分析】

此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键.

(1)根据通道宽度为立米，表示出。即可；

(2)根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于立的方程，求出方程的

解即可得到结果.

【解答】

解：(1)设通道的宽度为工米，则a=

第18页，共22页

60—3/

故答案为:

2

(2)见答案.

24.【答案】解：(1)将力(3,2)分别代入#=-

X

得：2=，3Q=2,

O

,八2

.・.k=6,a=",

o

.•.反比例函数的表达式为：v=9,

X

正比例函数的表达式为〃=『2•.

O

2

y--x

⑵I今交点4为(3,2)

一

U=x

观察图象，得在第一象限内，当0<?;<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值.

(3)BM=DM

理由：,「A/AV/c轴，4。〃夕轴,

.•・四边形OCDB是平行四边形，

r轴_L"轴，

.•产OCOB是矩形.

•.•A1和力都在双曲线“=9上，

X

BMxOB=6,OCxAC=6,

S^OMB=S^OAC=(X|k|=3，

又二S四边形cuoA/=6,

.0.S矩形。3oc=S四边形OADM+S^OMB+S^OAC=3+3+6=12,

即OC-OB=12，

•・•OC=3,

・・.08=4,

即71=4

：.m=-6=-3

n2

333

/.MB=-fMO=3--=-

・•.MB=MD.

【解析】(1)将4(3,2)分别代入“=£U=中，得成的值，进而可得正比例函数

X

和反比例函数的表达式；

(2)观察图象，得在第一象限内，当()<”<3时，反比例函数的图象在正比例函数的上

方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；

⑶有SMMB=Sate=；x|用=3,可得S矩形OBDC为12；即。。03=12；进而

可得mm的值，故可得BM与。M的大小；比较可得其大小关系.

此题综合考查了反比例函数，正比例函数等多个知识点.此题难度稍大,综合性比较强，

注意对各个知识点的灵活应用.

25.【答案】解：⑴•.•点C(-6,0),2c=14,故点4(8,0),

_=J

3

将A、O的坐标代入直线/的表达式得：［黑:心，解得《o9

I8=2fc+6U.r32

故直线I的表达式为?/=-4/+?39;

JO

(2)由点。、。的坐标，同理可得，直线。。的表达式为?/=2+6

设直线CO交轴于点M点，则点A/(0,6),

由工。的表达式知，点3(0,第，

的面积

=S&BMP-S&BMD=X(xp-X£>)=-X(---6)X(xp—2)=7,

解得/p=