2021-2022学年高中人教版数学4学案：第1章I.5 函 数 y = Asin(①x + 9)的图象

Io5函数y=Asin(①x+9)的图象

学习目标核心素养

lo理解参数A、co.0对的数y

=Asin（OJX+（p）的图象的影

响.（重点）

lo通过观察参数人co.9对函

2、会用“五点法''同函数》=Asin

数y=Asin（①x+夕）图象变化的

（①x+夕）的简图；能根据y=

影响，提升学生直观想象素养，

Asin（CDX+（p）的部分图象确定

2、通过对函数y=Asin（ox+夕）

解析式,（重点）

图象和性质的应用，提升教学

3、掌握）=5111%与>=Asin（cox

运算素养。

+（p）图象间的变换关系，并能

正确地指出其变换步骤、（重点、

易混点）

迷更目主生习自主预习。探新知理3烹养感史…

匚知初援五□

1、9对y=sin（x+（/））,x£R的图象的影响

______厂（0>0时向左1（~M-y_______________

三H焉菊腰山尸…的is

2、co（co>0）^y=sin（cox+（p）的图象的影响

尸sinG+M图象上1时颤

所有点的横坐标-1时伸长「J"

【」sin®』％-----原来的士■倍"一

3、A(A>0)对y=Asin(CDX+(p)的图象的影响

产sin(3*+0)图象”>1时唾片

所有点的纵坐标小"<］时缩短］

(心sin(3酢----(原来的4倍卜~~

4、由函数y=sinx的图象通过变换得利y=Asin(cox+(p)的

图象有两种主要途径：”先平移后伸缩”与“先伸缩后平移

①先平移后伸缩

〃由么横闻•，,、乂44横坐标变为原来的」-倍■

y=sin九的图象错误,y=sin(x+s)的图象___________-_>y=sm

纵坐标不变

(GX+O)的图象错误!y=Asin(①x+9)的图象、

②先伸缩后平移

•ft皮I缶横坐标变为原来的倍♦f/rgy缶>4,c\\Jr'

y=sinx的图象刃,y=sin①x的图象向左(。>0)或

纵坐标不变

向右(0<0),平移壁1个单位长度y=sin(cox+(p)的图象错误!y二

Asin(cox+(p)的图象、

思考：由法教y=sinGX的图象平移多少个单住得到y=sin(①x

+。)个单住？为什么？

/提示_7平移错误!个单位，而不是平移I夕|单位，原因是图

象的变换是针对X而言，并非针对①X而言.

5、函数y=Asin(①x+9),A>0,①>0中参数的物理意义

70试身赛g

1、函数y=sin4x的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的

变换得到()

A、所有点的横坐标变为原来的4僖

B、所有点的横生林变为原来的错误！

C、所有点的纵坐标变为原来的4僖

D、所有点的纵坐标变为原来的错误！

B]y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的错误!后变为y

=sin4x的图象、]

2、要得到函数y=sin错误!的图象，只需将函数y=sin4x的图象

()

A、向左平移错误!个单住长度

B、向右平移错误!个单核长度

C、向左平移错误!个单核长度

D、向右平移错误!个单住长度

B»=sin错误！=sin4错误!，故只需将〉=5由4%图象向右平移

7T

五个单住即可得到：

3、函数y=Asin(CDX+(p)+1(A>0,①>0)的最大值为5,

则A=.

4£"由已知得A+l=5,故A=4o_7

4、函数y=3sin错误!的频率为,相核为，初相

为、

错误！错误!X一错误！一错误！/频率为错误！二错误！二错误！，

相优为错误!X一错误!，初相为一错误!.]

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

作函数y=Asin(cox+(p)

的图象

【例1】用“五点法”画函数y=2sin错误!在一个周期内的简

图,

思路点被：列表、描点、连线、成图是“五点法''作图的田个

基本步骤，令3x+错误!取0,错误!，兀，错误!，2兀即可找到五点.

[解1先同函数在一个周期内的图象、令X=3x+错误!，则x

=错误!错误!，列表如下：

X0错误！兀错误！2兀

71

X错误！错误！错误！错误！

-18

y020-20

［母题探究］

1.本例中把“一个周期内“改为“错误!”，又如何作图？

［解］•."£错误！，「・3x+错误！£错误！，

列表如下:

3x

+错误！错误！71错误！2兀错误！

错误！

4兀

X0错误！错误！~9错误！错误！

y12001

2

指点、,连线

2、本例中，把“五点法''改为"图象变换法”，怎样画法？

WJ法一：(先平移再伸缩)

向左平移看个单位

77

y—smx----------------»y=sinlX+

6

横坐标变为原来的等居

.y=sin(3x+/纵坐标变为原来的2倍、

纵坐标不变横坐标不变

=2sin(3%+-^-j.

法二：(先伸缩再平移)

横坐标变为原来的导售

Jy=sinx------纵,,坐,标,--不--变-------J>y=sin3x

向左平移已个单位,、

----------------=sin0%+点)纵坐标变为原来的2倍

横坐标不变

2sin(3x+

厂........规律c方法..............................

1、确定函数》=Asin(①x+9)的图象一般有两种方法:

(1)“五点法”；

(2J图象变换法、

2、用"五点法''作函数y=Asin(①x+9)的图象，五个点应是使

函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点,

3、用“五点法”作函数y=Asin(①x+9)图象的步骤是:

第~步：列表:

cox+(P0错误！兀错误!兀2兀

Tt2兀

X-错误！错误！一错误！一一错误！错误！一错误！一—错误！

CDCO

y0A0—A0

第二步：在同一坐标系中描出各点,

第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.

，跟进训练J

L已知火x)=1+错误!sin错误!，画出/(x)在错误!上的图象、

[^]列表：

-错误！-错误！-错误！错误！错误！错误！

2x一错误！-错误！-兀-错误！°错误！错误！

/fx)211一错误！11+错误！2

三角函数图象之间

、类型2____________.

的变换一

[例2](\)将函数y二错误!COS错误!的图象向左平移错误!个单

核长度，再向下平移3个单核长度，则所得图象的解析式

为、

(2)将y=sinx的图象怎样变换可得到函数y=2sin错误!+1

的图象?

思，路点、板:(1)依据左加右减;上加下减的规则写出解析式.

(2)法一：y=sinx—＞纵坐标伸缩一横坐标伸缩和平移一向上平

移'

法二:左右平移一横坐标伸缩一纵坐标伸缩一上下平移.

(l)y=-gcos2x-3［y=错误!cos错误！的图象向左平移错误!个

单核长度，

得y二也COS错误！=错误!cos(2x+兀)=-错误!cos2x,

再向下平移3个单核长度得y=-A/2COS2X_3的图象:

(2)［解］法一:(先伸缩法)①把y=sinx的图象上所有点的

纵生标伸长到原来的2僖，得到y=2sinx的图象；②将所得图

象上所有点的横生林缩短到原来的错误!僖，得y=2sin2x的图象；

③将所得图象沿x轴向左平移错误!个单住，得y=2sin2错误!的图

象；

④将所得图象沿)轴向上平移1个单核，

得y=2sin错误！+1的图象.

法二：(先平移法)①将y=sinx的图象沿x轴向左平移错误!个

单核，得y=sin错误!的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩

短到原来的错误!僖，得y=sin错误!的图象；③把所得图象上所有点

的纵坐标伸长到原来2僖，得利y=2sin错误!的图象；④将所得图

象沿y轴向上平移1个单核，得y=2sin错误!+1的图象.

［母题探究］

L本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y=2sin错误!

+1图象怎样变换可得到函数y=sinx的图象？

1T向下平移1个单位

一解］y=2sin2x++1-----------------------*y

4

纵坐标变为原来的0信

2sin|2x+-y-1--------——------------->■),—sin|2x+

\4/横坐标不变714

横坐标变为原来2倍./TT\

-------77,,........*T=sinx+-

纵坐标不变}\4/

向右平移子个单位.

----------------------=sinx.

2、本例(2)中把“y=sin>改为“y=cosx",该怎样变换？

向右平移于个单位

y-cosx-sin(x+-y7T

---------------------7=sinlx+4

横坐标变为原来;

一或国诉—>=sin(2x+书

纵坐标变为原来2倍./F\

横坐标不变J\4)

向上平移1个单位c.(cTT\।

----------------------2sinl2x+—I+1.

....规律c方法.....

由y=sinx的图象，通过变换可得到函数y=Asin(①%+(/))

(A>0,co>0)的图象，其变化途径有两条:

相核变换

(1Jy=sinx->y=sin(x+夕)错误!y=sin(cox+(p)

错误!y=Asin(a)x+(p).

/c、,周期变换相位变换./

(2))'=smx------------>y-sina)x----------------sincoIx

+哥］=sin(+M振幅变换)=.4sin(a)x+(p).

提醒：两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同：

(1)是先相核变换后周期变换，平移|夕I个单核.(2)是先周期变

换后相传变换，平移错误!个单枝，这是很易出错的地方，应特别注

意、

［J

「跟进训练］

2/1)要得到y=cos错误!的图象,只要将y=sin2x的图象()

A、向左平移错误!个单核B、向右平移错误!个单住

C,向左平移错误!个单核D,向右平移错误!个单核

(2)杷函数的图象上各点向右平移错误!个单伉，再

杷横生林伸长到原来的2僖，再杷纵坐标缩短到原来的错误!僖，所

得图象的解析式是y=2sin错误!，则«x)的解析式是()

A.f(x)=3cosxB,f(x)=3sinx

C.fix)=3cosx+3D,f(x)=sin3x

Cl)A(2)Af(lj因为y=cos错误！

=sin错误！=sin错误！

=sin2错误！，

所以将y=sin2x的图象向左平移错误!个单核,

得到y=cos错误!的图象、

(2)y=2sin^y-x+yj纵坐标伸长.17T

----------------►y=3sinr+

到原来的年倍■ry

横坐标缩短・/

-----------------3sinlx+

到原来的;倍“\

向左平移小个

OTT

y-3sinlx+-+

一单位6T)

3sin(x+

已知函数图象求解

座型3

折式

【例3】(1)已知函数/(x)=Acos(①x+夕)+3错误!的部分图象

如图所示，则函数火起)的解析式为()

：2：_

―二江0名x

22

A、y=2cos错误！+4

B、y=2cos错误！+4

C、y=4cos错误！+2

D、y=4cos错误！+2

(2J函数/(x)=Asin(①x+夕)中A>0,①>0,|夕|<错误!，且

图象如图所示，求其解析式.

思路点拨：由最大（小）值求A和员由周期求①，由特殊点坐

标解方程求9。

（1）A［由函数/G）的最大值和最小值得

A+B=6,—A+3=2,所以A=2,3=4,

函数/（x）的周期为错误!x4=4兀又①>0,

所以①二错误!，又因为点错误!在函数/（X）的图象上,

所以6=2cos错误！+4,所以cos错误！=1,

所以1+0=2%兀，所以夕=2Z兀一错误!,人£Z,

又|夕Iv错误！，

所以9二一子所以兀¥）=2cos错误！+4」

（2）［解］法一：（五点作图原理法）由图象知，振幅A=3,T

=错误！一错误！=兀，所以①=2,又由点错误!，根据五点作图原理（可吏1

为"五点法‘'中的第一点）一错误!义2+夕=0得9=错误!，

所以f{x）=3sin错误!。

法二：（方程法）由图象知，振幅A=3,7=错误！一错误！=兀,所以①

=2,

又图象过点错误!，

所以用误！=3sin错误！=0,

所以sin错误！=0,一错误！+(p=kit(ZWZ)、又因为|(p|v错误！，

所以左二0,夕=错误！，所以/=3sin错误!.

法三：(变换法)由图象知，振幅A=3,T=错误！一错误！=兀，所

兀

以co=2,且/(x)=Asin(①x+9)是由y=3sin2x向左平移J个单核

而得到的，解析灰为/(x)=3sin错误！=3sin错误!.

厂.....规律c方法..................

确定的数y=Asin(cux+w)的解析式的关键是°的确定，

常用方法有：

(1J代人法：把图象上的一个已知点代人(此时A,①已知)

或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交疝在上升区间上还

是在下降区间上).

(2)五点法：确定9值时，往往以寻找“五点法''中的第一个

零点错误!作为突破口.“五点”的CDX+(p的值具体如下：

"第一点"(即图象上升时与x轴的支点)为①x+9=0；

"第二点"(即图象的"峰点'')为COX+(P=错误!；

“第三点即图象下降时与工轴的支点)为①工+夕=兀；

3兀

"第8点''(即图象的“谷点”)为3+°=5；

"第五点"为①x+9=2兀。

［跟进训练7

3、已知函数/(x)=Asin(①x+°)的部分图象如图所示，则

fix)的表达式为()

A、f(x)=2sin错误！

B、次x)=2sin错误！

C.f(x)=2sin错误!

D,危)=2sin错误！

C［根据图象得A=2,错误!7二错误！一错误!,

ce4兀

可得T=y,

.*.69=错误！=错误！，

又/G)过点错误!，

可得2sin错误！=0,

由五点作图法可得错误!X错误！+9=兀，解得9=错误!,

所以f(x)=2sin错误!.

故选C.］

三角函数图象与性质的

类型4

综合应用

［探究问题］

1、如何求函数y=Asin（①x+9）与V=Acos（①x+夕）的对称轴方

程？

提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y=Asin（①x+力和y

=Acos（①x+9）的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直

于x轴、

函数y=Asin（①x+9）对称轴方程的求法：令sin（①x+夕）=±1,

得①x+9=Z兀+错误！（k^Z），则x=错误!（ZWZ）,所以函数y=Asin

（①x+9）的图象的对称轴方程为x=错误！（k^Z）；

函数y=Acos（cox+夕）对称轴方程的求法：令cos（cox+0）=±1,

得①X+9=E（kGZ）,处Jx=错误！（左£2）,所以函数》二4（305（6办:

+。）的图象的对称轴方程为x二错误！（攵£Z）、

2、如何求函数y=Asin（①工+夕）与y=Acos（①次+。）的对称中

心？

提示:与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y=Asin（GX+夕）和y

=Acos（①x+9）图象的对称中心即函数图象与x轴的支点.

函数y=Asin（①x+夕）对称中心的求法：令sin（Gx+9）=0,

得①x+9=E(%£Z),见Jx=错误！(k^ZJ,所以函数y=Asin(①x

kn-9、

口(k^Z)成中心对称；

f0)

函数y=Acos(①x+夕)对称中心的求法：4^COS(cox+(p)=0,

得①x+9=E+错误！(攵£Z),贝1x=错误！(kRZ),所以函数y二

Acos(cox+(p)的图象关于点错误！(k^Z))成中心对称、

【例4】门)已知函数/W=sin错误！(co>0),若用误！=用误！，

且/G)在区间错误!上有最小值，无最大值，则①二()

Ao错误！Bo错误！Co错误！D。错误！

(2)已知的数/(X)=sin(①x+°)(①>0,。二9v兀)是R上的偶

函数,其图象关于点M错误!对称，且在区间错误!上是单调函数，求

9和口的值、

思路点拨：(U先由题目条件分析函数图象的对称性，

何时取到最小值，再列方程求①的值、

(2)先由奇偶性求9，再由图象的对称性和单调性求①。

fl)B匚因为海误！二序误!，所以直线工二错误！=错误!是函数

fix)图象的一条对称轴、

又因为/G)在区间错误!上有最小值，无最大值,

所以当x=错误!时，“r)取得最小值、

所以^①+错误！=2E—错误!，左£Z，解得co=8Z—错误！（k^Z）、

又因为T=错误!N错误！一错误！=错误！，所以①S12.又因为①>0,

所以左=1,即①=8一错误！=错误!._7

（2）「解］由/W是偶函数，得/（一力=f（x）f即函数y（x）

的图象关于>轴对称，

••fix）在x=0时取得最值，即sin9=1或一L

依题设OS。<71,・二解得夕=错误！。

由于（x）的图象关于点M对称，可知

sin错误！=0,即错误!①+错误！=左兀，解得①=错误！一错误！，％£Z。

又“X）在错误!上是单调函数，

所以T>n,即错误!N兀。

co<2,又①>0,

;・%=1时,co=错误！；%=2时,co=2o

故9二错误！，①=2或错误!。

［母题探究］

L将本例（2）中"偶''改为"奇"，"其图象关于点M错误!对称,

且在区间错误!上是单调函数”改为“在区间错误!上为增函数"，试求①

的最大值.

［解7因为/（x）是奇函教，所以=sin（/）=0,又0。

<7i,所以9=0。

因为/(x)=sin①x在错误!上是增函数,

所以错误!U错误！，于是错误！，解得0<①二错误!，

所以CO的最大值为错误!.

2、本例(2)中增加条件“①〉1"，求函数》=产(1)+51!121,工仁错误!

的最大值,

Z"解］由条件知fix)=sin错误！=cos2x.

由错误!得错误！，51112不£错误！，

y=?(x)+sin2x=cos22x+sin2x=1-sin22x+sin2x=-错误!

2

+错误！。

所以当sinlx=错误！时,ymax=错误!.

1.....•规律c方法..................

1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法

正弦型函数y=Asin(cox+(p)和余弦型函数y=Acos(①x+。)

不~定具备奇偶性,对于函数y=Asin(①x+当0=E(Z《Z)

时为奇函数，当9二七兀±错误!(左时为偶函数；对于函数y二

Acos(①x+9),当(p=kjt(keZ)时为偶函数,当(p=kn土错误!(keZ)

时为奇函数.

2、与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧

（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间,

（2）确定函数）=Asin（①x+9）Q4>0，①>0）单调区间的方法：

采用“换元”法整体代换，将①x+夕看作一个整体，可令“Z=GX

+9”，即通过求>=Asinz的单调区间而求出函数的单调区间,若

gvO,则可利用诱导公式先将x的条数转变为正数，再求单调

区间、

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

g必备素养c

1、利用"五点”作图法作函数y=Asin（①x+夕）的图象时，要先

令“①x+9”这一个整体依次取0、错误!、兀、错误!兀、2兀，再求出x

的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的

值，后求“①x+9”的值、

2、由函数y=Asin（①x+夕）的部分图象确定解析式关键在于确

走参数A、①、夕的值.

门）一般可由图象上的最大值、最小值来确定|内。

（2）因为7=错误!，所以往往通过求得周期T来确定①，可

通过已知曲线与x轴的支点从而确定T,即相邻的最高点与最低

点之间的距离为错误!；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离

为To

(3J从寻找“五点法''中的第一个零点错误!(也叫初始点)作为突

破口，以y=Asin(cox+(p)(A>0,co>0)为例，核子单调遹增区

间上离y轴最近的那个零点最迨合作为“五点''中的第一个点、

3、在研究y=Asin(cox+(p)(A〉。，co>0)的性质时，注意采

用整体代换的思想，如，它在①％+9=错误!+2E(k^Tj)时取

得最大值，在①x+9=错误!+2E(%£Z)时取得最小值.

「学以致用」

L下列判断正确的是()

A、将函数y=sin错误!的图象向右平移错误!个单核可得到