2021-2022学年上海市闵行区高三（上）期末数学试卷（一模）（附详解）

2021-2022学年上海市闵行区高三（上）期末数学试卷（一

模）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.'：<1"是"％>1”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分也非必要条件

2.若函数/■(>)=3sina)x+4cos3%(0<%<pw>0)的值域为[4,5],贝!|cos等的取值

范围为（）

A「7%7R

A以司B.

3.已知平面a经过圆柱。。1的旋转轴，点4B是在圆柱。01的侧面上，但不在平面a上,

则下列4个命题中真命题的个数是（）

①总存在直线1,Iua且Z与48异面;

②总存在直线1,Ica且21AB-,

③总存在平面S，ABu£且£1a；

④总存在平面0,ABu0且0〃a.

A.1B.2C.3D.4

4.给定一组数据15、17、14、10、12、17、17、16、14、12,设这组数据的平均数

为a,中位数为b,众数为c,则（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

5.若直线/的一个方向向量为（1,-3）,则/的法向量可以是（)

A.(-3,1)B.(-1,-3)C.(3,1)D.(1,3)

6.已知实数无］、乃、龙2、72'%3、为满足就+比=好+龙=混+川=2,则

%2丫3、％3丫1三个数中，大于1的个数最多是（）

A.0B.1C.2D.3

7.在空间中，直线平行于直线EF,直线BC、EF为异面直线，若乙4BC=120。，则

异面直线BC、EF所成角的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.设函数/（x）=2X—2-，+高，xER,对于实数a、b,给出以下命题：

命题Pi：a+b>0；

命题P2：a-b2>0；

命题q：/（a）+/（b）>0.

下列选项中正确的是（）

A.pi、「2中仅Pi是q的充分条件B.pi、「2中仅P2是q的充分条件

C.Pi、「2都不是q的充分条件D.pi、「2都是q的充分条件

二、单空题（本大题共24小题，共108.0分）

9.已知集合4={x\x<2）,B={1,3,5,7},则AnB=.

11

10.设％、yG/?,a>0,b>0,若域=>=3,a+2b=2m，则；十三的最大值为

xy

11.（2+比）4的二项展开式中/的系数为.

12.3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆

只需1位同学，则共有种不同的安排方法.

13.已知点4、B在抛物线「：V=4%上，点M在「的准线上，线段MA、MB的中点均在

抛物线r上，设直线与y轴交于点N（0,n）,则网的最小值为.

14.设曲线C与函数中）=/2（。33机）的图像关于直线丫=限对称，若曲线c仍

为某函数的图像，则实数zn的取值范围为.

15.在复平面xOy内，复数的、Z2所对应的点分别为Zi、Z2,对于下列四个式子：

①毅=忆1『；

②氏勾=㈤•㈤；

③西2二|西|2；

④|西•西|=|西H两］.

其中恒成立的是（写出所有恒成立式子的序号）

16.已知双曲线好一”=1的左、右焦点为6、F2,过FI的直线Z与双曲线M的左、右两

6

支分别交于点2、B,若A/lBFz为等边三角形，则△ABB的边长为.

17.若线性方程组的增广矩阵为:；：），解为则q—2=.

18.在直角坐标系xOy中，角a的始边为工轴正半轴，顶点为坐标原点.若角a的终边经

过点（-3,4）,则sin（a+兀）=.

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19.已知公差不为0的等差数列{a九}的前?!项和为无,若以、S5、S76{-10,0},则S九的

最小值为.

21.已知椭圆号警+嘿”=1的右焦点为4(4,0),其中九CN*,则

lim

nt8cn=--------•

22.已知等差数列的前几项和为%,若%=3,a9=27,则$22=.

23.若(2x+》6的二项展开式中的常数项为-160,则实数a=.

24.已知。=(10,1),数列{。九}满足原+i+谥—2(a九+i+l)(an—1)+1,TLEN*若对

任意正实数人总存在%.ED和相邻两项以、ak+1,使得以+i+入%=0成立，则实

数用勺最小值为.

25.若函数/(%)=--3的反函数为y=则方程fT(%)=0的根为.

26.函数y=|si；"c：J的最小正周期为-

27.若点P(cos。,sin。)与点Q(cos(0+今,sin(0+今)关于直线3x—y=0对称，贝！

tand=.

28.已知复数z的虚部为1,且|z|=2,贝Hz在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为

29.已知集合4={3,徵},B=+若2nB={4},则4UB=.

30.某学校为落实“双减”政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第

一周的安排见如表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的

选课方案共种.

周一周二周三周四周五

演讲、绘画、舞编程、绘画、舞编程、书法、舞书法、演讲、舞书法、演讲、舞

蹈、足球蹈、足球蹈、足球蹈、足球蹈、足球

注：每位同学每天最多选一门课，每一门课一周内最多选一次

31.函数y=log2(l-久2)的定义域为.

32.已知/Xx)=1+ax-Vl+ax2,若对任意xe[0,V2],/(%)<0恒成立，则实数a的

取值范围为.

三、解答题(本大题共10小题，共152.0分)

1

33.已知函数/(%)=有式%eR).

(1)求证：函数/'(x)是R上的减函数；

(2)已知函数yQ)的图像存在对称中心(a,b)的充要条件是g(x)=/Q+a)-匕的图

像关于原点中心对称，判断函数f(x)的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对

称中心的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若对任意久1G[1,团，都存在%2G[1,寸及实数使得/(I一W1X1)+f(X[%2)=1，

求实数n的最大值.

34.城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距

离，而是沿着网格走的直角距离.在直角坐标系xOy中，定义点4(向,%)、B(x2,y2)

的“直角距离”遇4B)为:d(A,B)=|X1-x2|+|yi-y2|.W(l,l)>

(1)写出一个满足d(C,M)=d(C,N)的点C的坐标；

(2)过点M、N作斜率为2的直线512,点Q、R分别是直线力、％上的动点，求d(Q,R)

的最小值；

(3)设P(x,y),记方程d(P,M)+d(P,N)=8的曲线为「类比椭圆研究曲线「的性

质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线.

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y

1

35.已知△ABC三个内角4、B、C对应边分别为a、b、c,a=4,cosB=--.

4

(1)若sinA=2sinC,求4ABC的面积；

(2)设线段AB的中点为D,若CD=回,求△ABC外接圆半径R的值.

36.在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AC1BC,AC=BC=

CCi=2.

(1)求四棱锥2-BCCiBi的体积U；

(2)求直线4B1与平面4CC14所成角的正切值.

37.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费

用：购置费、燃油费、养护保险费.某种型号汽车，购置费共20万元，购买后第1年

燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.

Q)若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车n(nGN*)年后共支出费用

为±万元，求治的表达式；

(2)若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，

第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加10%,设使用n(neN*)年后年平

均费用为“,当几=由时，”最小.请你列出71>6时”的表达式，并利用计算器

确定沏的值(只需写出劭的值)•

38.如图，圆锥的底面直径与母线长均为4,P。是圆锥的高，点C是底面直径所对弧

的中点，点D是母线P4的中点.

(1)求该圆锥的体积；

(2)求直线CD与平面P4B所成角的大小.

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39.如图，某飞行器研究基地E在指挥中心尸的正北方向4千米处，小镇4在E的正西方向

8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和

到直线4E的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以

内(含边界)为10级噪音，每远飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无

噪音污染(飞行器的大小及高度均忽略不计).

(1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点0,并判断小镇4是否会受到该飞行器的噪

音污染？

(2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？

AE

B

40.将有穷数列｛即｝中部分项按原顺序构成的新数列｛篇｝称为｛%J的一个“子列”，剩

余项按原顺序构成“子列”｛%｝.若｛小｝各项的和与｛%｝各项的和相等，则称｛%｝和

｛%｝为数列｛即｝的一对“完美互补子列”.

(1)若数列｛即｝为2,3,5,6,8,9,请问｛an｝是否存在“完美互补子列”？并说

明理由；

(2)已知共100项的等比数列口工为递减数列，且的>0,公比为q.若存在“完

美互补子列”，求证：|<q<1；

(3)数列｛斯｝满足与=n,l<n<m,neN*.设｛册｝共有f(m)对“完美互补子列”，

求证：当m=4k和m=4k+3(kGN*)时，都存在“完美互补子列”且/(4k+

3)>3f(4k).

41.如图，在平面直角坐标系中，尻、F2分别为双曲线「：尤2—y2=2的左、右焦点，

点。为线段&。的中点，直线MN过点尸2且与双曲线右支交于MO1,当)、%(刀2，力)两

点，延长MD、ND,分别与双曲线「交于P、Q两点.

(1)已知点”(3,77),求点。到直线MN的距离；

(2)求证：x1y2-久2yl=2仇-%)；

(3)若直线MN、PQ的斜率都存在，且依次设为心、B.试判断詈是否为定值，如果

是，请求出胃的值；如果不是，请说明理由.

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y

42.已知久ER,m=(2cosx,2V3sinx),n=(cosx,cosx),

(1)设f(%)=沆•元，求函数y=/(%)的解析式及最大值；

(2)设△4BC的三个内角/、B、C的对边分别为。、b、c,当第=4时，m=an,且

c=2V3,求△ABC的面积.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由工<1解得：%>1或%<0,

X

所以{制%>1]£[x\x>1或%<0},

所以<1”是“X>1”的必要不充分条件，

故选：B.

由;<1解得：%>1或％<0,所以{x|x>1}0{x|x>1或x<0},进而可以得出结论.

本题考查了四个条件的应用，涉及到解不等式问题，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为函数/(%)=3sina)x+4cosa)x=5sm(3%+(p),其中si”=pcoscp=

0<cp<-.

5"2

令t=3X+(p,得g(t)=5s比3因为3>0,0<%<p所以口工匕转但+小

又因为g0)=4,且0<Rvf所以。(〃-0)=4,gg)=5,

所以54名3+94兀-W，即]一0三53<加-2g.

当0<三一(pWxWn-2(p<兀时，y=cos%单调递减.

因为cos(6—cp)=sincp—I，COS(TT—2(p~)=—cos2(p—sin2(p—cos2(p=巧一司=套

所以cos詈的取值范围是

故选：A.

利用辅助角公式化函数/(%)为正弦型函数，设t=3X+0,根据3、X的取值范围，求

出0、3的取值范围，再根据余弦函数的性质求得COS詈的取值范围.

本题考查了三角函数的单调性、不等式的性质、转化方法，也考查了推理与计算能力，

是中档题.

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3.【答案】C

【解析】解：对于①，当4B同侧时，平面a和圆柱在底面上的交线与4B是异面的；

当4B异侧时，平面a和圆柱在侧面上的交线与是异面的，故①正确；

对于②，当4,B同侧时，平面a和圆柱在底面上的交线与是垂直的；

当4B异侧时，直线。1。2,43,故②正确；

对于③，无论4B同侧，还是异侧，若/?为过4B的圆柱轴截面，则。la,故③正确;

对于④，当4B异侧时，直线与平面a相交，不可能存在3//a,故④错误.

故选：C.

分4B两点在平面a的同侧还是异侧，进行讨论，即可求出结果.

本题考查空间中线与面的位置关系，考查分类讨论思想、空间立体感和推理论证能力,

属于中档题.

4.【答案】B

【解析】解：该组数据从小到大排列为10、12、12、14、14、15、16、17、17、17,

计算这组数据的平均数为a=x(10+12+12+14+14+15+16+17+17+

17)=14.4,

中位数为b=jx(14+15)=14.5,

众数为c=17,

所以c>b>a.

故选：B.

把这组数据从小到大排列，再求出它们的平均数、中位数和众数，比较大小即可.

本题考查了平均数、中位数和众数的计算问题，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：直线I的一个方向向量为3=(1,—3),

由于直线1的法向量与直线的方向向量之间存在/2=0,

故当万=(3,1)时，满足条件.

故选：C.

直接利用直线的方向向量和法向量之间的关系求出结果.

本题考查的知识要点：直线的方向向量和直线的法向量之间的关系，主要考查学生的运

算能力和数学思维能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析1解：根据题意，后+资=媛+羽=蟾+川=2,

贝!］有好+资+好+秃+瑶+川=后+优+好+呼+瑶+资=6,

又由好+yl>2x^2,xl+yl>2%2y3,xl+yl>2x3yr,

则有2(%1、2+刀2,3+乂3、1)W6,即W3,当且仅当/=丫］=小=

>2=%3==1时等号成立，

故%,2、孙为、久3yl三个数中，不能三个都大于1，

当久1=当'71=冬#2=1,%=1，%3=/'为='时,％1>2、K2y3、％3为二个数中,

有2个大于1,

故三个数中，最多有2个大于1,

故选：C.

根据题意，分析可得好+yl+xl+yl+xl+yl=xl+yl+x1+yl+xl+yl=6,

由基本不等式的性质变形分析可得X,2+%2丫3+%3、1<3,由此分析可得三个数不能都

大于1,举出例子可得可以有2个数大于1,即可得答案.

本题考查合情推理的应用，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题，

7.【答案】B

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【解析】解：如图,

E----------------------------------F

・•・直线BC、EF为异面直线，且直线平行于直线EF,

・•.AB与BC所成角即为异面直线BC、EF所成角，

^ABC=120°,且异面直线所成角的范围是(0。,90。］,

••・异面直线BC、EF所成角的大小为60。.

故选：B.

由已知利用异面直线所成角的定义结合异面直线所成角的范围得答案.

本题考查异面直线所成角的定义，是基础题.

8.【答案】D

3

【解析】解:令%(久)，Xx是奇

f(x)=g(x)+g(x)-2-2~,h(x)=|X|T1GR,g(x)

函数，在R上单调递增是偶函数，在(-8,0)单调增，在(0,+8)单调减，且M%)>0,

/(a)+/(6)>0^/(a)>-/(h),

即g(a)+h(a)>-g(b)—h(b),

即g(Q)+/I(Q)>g(-b)+

①当Q+b>0时，a>-b,故g(a)>g(-b),又h(x)>0,故/i(a)>一h⑻,

・•・此时f(a)+/(b)N0,

可得Pi是q的充分条件；

②当。-接>0时，则有：

。20,—<b<V^，—yfo.W-b<yl~CLi

(i)当。之1时，a>Va,则一b<a,故g(a)N9(-2)；

此时,/i(a)>0,—h(b)<0,

:./i(a)>—/i(h),

・・・/(a)+/(b)N0成立；

(五)当a=0时,b=0,/(0)+/(O)=6>0成立,即/(a)+f(b)>0成立；

(Ui)g(%)在R上单调递增，h(%)在(-8,0)单调递增，

・•,f(x)=g(x)+h(%)在(一8,0)单调递增，

/(-l)=o,y(x)>o在(-1,0)上恒成立；

又•・,x>0时，g(x)>0,h(x)>0,

・•・/(x)>0在[0,+8)上恒成立,

・・•/(%)>0在(-1,+8)恒成立，

故当0VQ<1时，a<yfa<1,—1<—y[a<b<^/a<1,

•••f(a)>0,f(b)>0,

・・・/(。)+/的)20成立.

综上所述，。一接20时，均有f(a)+/(b)之0成立，

•••P2是q的充分条件.

故选：D.

3

Xx

令/'(久)=g(x)+h(x)，5W=2-2~,h(x)=-I同-十J7.,xeR,g(x)是奇函数，在R上

单调递增,%。)是偶函数，在(-8,0)单调增,在(0,+8)单调减，且似X)>0,根据这

些信息即可判断.

本题的关键是将函数“X)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查

对函数基本性质的掌握与熟练运用.

9.【答案】{1}

【解析】解：・集合A=(x\x<2},B={135,7},

■.ACtB={1}.

故答案为：{1}.

利用交集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

10.【答案】1

【解析】解：；ax=by=3,

x=loga3,y=10gb3,

•1•I=log3a,；=log3^,

第14页，共34页

11

=log3a+log3b=logab,

xy3

•••2ab<（等>=6,

Aab<3,故ab的最大值为3,

当且仅当a=25=历时，等号成立，

故5+；=log3ab<log33=1,

故:+；的最大值为1，

故答案为：L

由初=〃=3化简得（+（=1。83帅，再由基本不等式可得2abW（等产=6,从而可

得abW3,从而确定最大值.

本题考查了对数式与指数式的互化，对数函数的单调性及基本不等式在求最值中的应用,

同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题.

n.【答案】24

【解析】解：由于（2+久）4的二项展开式的通项公式为T『+1=CI-.光『，

令r=2,

.•.展开式中/的系数是：22.底=24,

故答案为：24.

先求出二项式展开式的通项公式，再令x的事指数等于2,求得r的值，即可求得展开式

中的/的系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，

属于基础题.

12.【答案】6

【解析】解：根据题意，3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责

1个展馆，每个展馆只需1位同学，

是排列问题，有房=6种安排方法，

故答案为：6.

根据题意，由排列数公式计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

13.【答案】2V2

【解析】解:设46,月)，8除光)，

由抛物线的方程可得焦点尸(1,0),准线方程为％=-1,设M(-1,叫，

则M4的中点p(±l,上巧，即P(专二左产)，

因为P在抛物线「上，所以(如竺/=4.处i,

2

整理可得y£—2my1—m—8=0,

2

同理可得犬—2my2—m—8=0,

所以丫2为方程y2-2my-租2-8=o的两根，

所以丫1+丫2=2m,y1y2=~8,

因为准线48与y轴交于(0,九)，所以血。0,

7,_yi-y2_4_2

所以修iB-芨卫-工7元一藐，

44

所以直线的方程为：y—丫1=京工—力,

令％=°，可得y=%一嘉，

因为直线4B与y轴交于(0,n),

2

所以71=为一5①，

2

同理n=%—孺②，

所以①+②可得加=%—等=(%+力)—如喏辿=26—

4m2-2(-m2-8)_m4

2m2

因为对勾函数的y=：+：的取值范围为(-8,-2&]U[2V2,+oo),

所以1nlm=2>/2.

故答案为：2夜.

设4B的坐标，M的坐标，可得M4的中点P的坐标，将P的坐标代入抛物线的方程，可

得4的横纵坐标的关系，同理可得B的横纵坐标的关系，进而可得4B的坐标满足的二

次方程，求出两根之和及两根之积，再求直线的方程，可得在y轴上N的纵坐标九的

表达式，换元，由对勾函数的最值可得网的最小值.

第16页，共34页

本题考查直线与抛物线的综合应用，对勾函数的最值的求法，换元法的应用，属于中档

题.

14.【答案】(0,2]

【解析】解：设，是函数/(%)=兴/曾4％工⑺在点时⑺,病)的切线，

因为曲线C与函数/(%)=~^2(0x<m)的图像关于直线y=巡%对称，

所以直线/关于y=遮》对称后的直线方程必为％=a,曲线C才能是某函数的图像,

如图所示，直线y=W%与％=。的夹角为30。，所以直线珀勺倾斜角为30。，

则直缎的方程为八y*(xf)+源2,

r

y-2

V3一

I3(%—m)+^|m

联立方程组<I可得%2—4%+4m—m2=0,

V3-

y-2

k12x

则/=16—16m+4m2=0,解得m=2,

由图像可得，0Vzn42,

所以实数zn的取值范围为(0,2].

故答案为：(0,2].

设Z是函数/(%)=—X2(0<X<771)在点M(m,3血2)的切线，则直线/关于y=g%对称

后的直线方程必为x=a,曲线c才能是某函数的图像，联立方程组结合函数的图像，分

析求解即可.

本题考查了直线与抛物线位置关系的应用，反函数定义的理解与应用，函数与方程的综

合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的理解与应用，属于中档题.

15.【答案】②③

【解析】解：设Zi=』+bi,z2=c+di,则Zi(aJ),Z2(c,d),

对于①，z"=M+块+2曲1,忆1『=M+炉，...w区产,故A错误；

对于②，zi,z2=(ac—bd)+(be+ad)i,

22222222

\zr-z2\=J(ac—bd)2+(be+ad)2=Vac+bc+ad+bdf

222222222222

1•|z2|=Va+b-Vc+d=Vac+bc+ad+bdf

A|Zi-z2|=kil•|z2|,故②正确；

对于③，西=(a,b),.•.西2=口2+人2,|西『=。2+人2,故③正确；

对于④，0Z2=(c,d),OZ]•OZ2=ac+dbi

2222

■•­|OZ1-OZ2|='(ac+bd)2=Vac+bd+2acbd,

222222222222

|OZ；|■|OZ2|=y/a+b-Vc+d=Vac+ad+bc+bd>

|西•西|7|西|•|西]，故O错误.

故答案为：②③.

设zi=a+瓦,z2=c+di,则Z】(a,b),Z2(c,d),利用复数的乘法运算法则和复数的

模判断①②；利用向量数量积公式和向量的模判断③④.

本题考查命题真假的判断，考查复数的乘法运算法则和复数的模、向量数量积公式和向

量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.【答案】4

【解析】解：如图，设AaBF2的边长为r,\AFr\=m,

因为△28%为等边三角形，所以=\AF2\=\BF2\=r,

第18页，共34页

由双曲线的方程知a=l,b=y/6,

所以由双曲线的定义得MF2I—MF/=2,\BF1\-\BF2\=2,

即r+m-r=2,r—m=2,解得r=4,m=2.

所以△A8F2的边长为4.

故答案:4.

根据题意，结合双曲线的定义求解即可.

本题主要考查双曲线的性质，属于基础题.

17.【答案】—1

【解析】解：••,线性方程组的增广矩阵为(：;：；)，解为后:；

.0=q.但=1

"[x+y=c2'-[c2=2'

则q—c2=1—2=—1.

故答案为：-L

利用增广矩阵及线性方程组的解能求出结果.

本题考查代数式求和，考查增广矩阵及线性方程组的解等基础知识，考查运算求解能力,

属于基础题.

18.【答案】

【解析】解：因为直角坐标系xOy中，角a的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点.若角

a的终边经过点(-3,4),

所以％=—3,y=4,r=J(-3)2+42=5,

所以sin(a+7T)=—sina=一十=—1.

故答案为：-].

由已知利用任意角的三角函数及诱导公式即可求解.

本题主要考查了任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基

础题.

19.【答案】—12

【解析】解：Sn取得最小值，则公差d>0,a4=-10或a4=0.

（1）当=0,d>0,S7=x7-7a4=0,S5=5a3=-10,

=>%+3d=0,5al+lOd=-10,

=CL-y——6,d=2>09a九—2几—8,a九=2几—840—TLW4,

所以S九的最小值为S4=4al+6d=-24+12=-12.

（2）当a4=-10,d>0,S7=%/x7=7a4=-70,不合题意.

综上所述：a4=0,S5=-10,S7=0,Sn的最小值为—12.

故答案为：-12.

对的值进行分类讨论，结合等差数列前几项和最值的求法求得为的最小值.

本题考查等差数列的前几项和，考查学生的运算能力，属于中档题.

20.【答案】1

，初*二、版Um3n-2，tUml-（l）"1-0•,

【解析】斛：n-cx,-=n-oO-V=~=1.

故答案为：L

直接利用数列极限的运算法则，化简求解即可.

本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题.

21.【答案】V3

【解析】解：椭圆陪+*=1化为标准方程可得套+套=1,

4n+l.nn+1

所以口2---，比

n+1九十2

第20页，共34页

-u-u--------------------------D1---------------,

n+1n+2n+2n+1

-1o

当?1—>+8时,------->0,------->0,

n+1n+1

所以ri学oo=3,

又右焦点为&(4,0),

则0>0,

所以ri吁oocn=V3-

故答案为：V3.

先将椭圆的方程化为标准方程，求出。2,然后利用极限的思想求出几学8点=3，即可

求得答案.

本题考查了椭圆方程的理解与应用，椭圆焦点坐标的理解与应用，极限思想的运用，考

查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

22.【答案】759

aQ

【解析】解：由题意可得，cz9=i+d.,

a]—3,。9=27,

••・d=3,

•••a22=0i+2Id=3+21x3=66,

.s_22XQ1+C122)_22x(3+66)_二

22

故答案为：759.

根据已知条件，结合等差数列的通项公式，求出公差d,再结合等差数列的前几项和公

式，即可求解.

本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题.

23.【答案】-1

【解析】解：根据二项式的展开式：4+1=C>(2x)6一•©)『,

当r=3时，Cg-23-a3=-160,

解得：a=-1.

故答案为：-1.

直接利用二项展开式的应用和组合数的应用求出结果.

本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的求法，主要考查学生的运算能力和数学思

维能力，属于基础题.

24.【答案】11

【解析】解：W+i+嫌=2(a九+i+l)(an—1)+1=2an+1CLn-2an+1+2c1n—1,

即为成+i+嫌—2un+^(in+2a九+i—2(1n+1=0,

即(a九+1-。九产+2(an+1—Qn+)+1=0,

即为(。九+1—。九+I)?=0,

所以。九+1—an+1=0,即。九+1—an——If

所以是首项为的,公差为-1的等差数列，

则a九=Q]一(九—1)—Q]—九+1,Q/c+1—CLk—L

Qk+i+2a上=0即为耿—1+4以=0,

所以以=*，

由于4>0,贝1J1+2>1,可得0<耿<1,

因为ak=al—k+1,所以0<al-k+l<L

即k—1<a1<k,

因为总存在的£(10,t),使得纵+1+Xak=0成立，

即(k-l,fc)£(10,t),

所以k—1210,即kN11,

又tNk,所以t的最小值为IL

故答案为：IL

由已知数列的递推式化简可得a“+i-册=-1,再由等差数列的通项公式和恒成立思想,

解不等式可得所求最小值.

本题考查等差数列的通项公式和运用，以及恒成立问题解法,考查转化思想和运算能力、

推理能力，属于中档题.

25.【答案】-3

第22页，共34页

【解析】解：•・,y=/(%)=7一3,

・,•x=\)丫+3,

将%与y对调可得，y=fT(x)=Vx+3,

•••广1(%)=o，

x——3•

故答案为：-3.

根据已知条件可得，x=\[V+3,将久与y对调可得，y=fTQ)=W+3,即可求解.

本题主要考查反函数的求解，考查计算能力，属于基础题.

26.【答案】n

【解析】解：：y=户，■久1I=sinx-cosx—0x1=-sin2x,

I0COSXI2

•1•y的最小正周期T=y=7T.

故答案为：n.

根据已知条件，结合行列式的计算公式可得,y=|sin2x,再结合正弦函数的周期公式,

即可求解.

本题主要考查行列式的计算公式，以及正弦函数的周期公式，属于基础题.

27.【答案】1

【解析】解:点Q(cos(6+》sin(e+》),即Q(—s讥acos。)，

因为点P(cosasin。)与Q(—s讥acos。)关于直线3久—y=0对称，

cos0-sin0_1

-sine-cose~~3解得tan9=士

所以rcosO-sinOsinO+cosO八2

3-----------------------------=0

22

故答案为：j.

利用点关于直线的对称点，列出关系式，由同角三角函数关系求解即可.

本题考查了点关于直线的对称点的理解与应用，三角函数诱导公式以及同角三角函数关

系的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.

28.【答案】V3

【解析】解：设2=a+i(a£R),

由|z|=2,得加+1=2,解得a=±W.

•••z在复平面内所对应的点Z到虚轴的距离为|a|=V3.

故答案为：V3.

由题意设2=a+i(a€R),再由|z|=2求解a值得答案.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.

29.【答案】{3,4,5}

【解析】解：因为集合4={3,爪},B=+若4CB={4},

所以4€4则巾=4,所以2={3,4},B={4,5},

所以4U8={3,4,5}.

故答案为：{3,4,5}.

由4CB={4},可得464从而可求得小的值，从而可求得集合4B,再由并集运算

求解即可.

本题主要考查交集和并集的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

30.【答案】15

【解析】解：由表可知周一至周五都可选足球，周二和周三可选编程，周三、周四和周

五可选书法，

故可分两类：当周二选编程，则书法有废种选法，足球有程种选法，共有废x废=9种

选法，

当周三选编程，则书法有废种选法，足球有废种选法，共有废xC/=6种选法，

再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有9+6=15种.

故答案为：15.

由表可知分周二选编程和周三选编程两类，由分步乘法计数原理及分类加法计数原理即

可求解.

本题主要考查简单计数原理问题以及分类讨论思想的应用，属于基础题.

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31.【答案】(—1,1)

【解析】解：要使原函数有意义，则1—/＞0,即—

二函数y=log2(l-/)的定义域为(一1,1).

故答案为：(—1,1).

由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

32.【答案】[1-V2,0]

【解析】解：,•・对于任意的％e/(久)<0恒成立,

(7(0)<o

V(V2)<0'解得1-

又当1-V2<a<0时，1+ax2>0,

・•・对于任意的久E[0,金],/(%)40恒成立，等价于言言＜1在％E[0,夜]上恒成立,

令以为=赤募5,久

则只需g(X)MaxW1即可.

a(l-x)

g'(x)且a<0,

(14-ax2)Vl+ax29

gQ)在(0,1)上单调递减，在(1,迎)上单调递增,

9^max=max{g(0),g(加卜

由g(0)Wl,9(鱼)<1,解得ae[l—VI,0].

依题意,<0,解得1—V2<a<0=>l+ax>0,对于任意的x£[0,V2],f(x)<

0恒成立q，接<1<1在xe[0,/]上恒成立，令g(x)=♦篝,xe[0,V2],求导,

分析可得gO)Max=max{g(0),g(a)},由g(0)W1,g(/)<1,可求得实数a的取值

范围.

本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造法与函数恒成立问题的求解，突出考查转

化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题.

33.【答案】(1)证明：设%1＜小，则人修)—/犯)=岛r—号芯=季箴5＞。，

所以/(%)＞/(上)，

所以fO)在R上单调递减；

(2)解：假设函数/'(X)的图像存在对称中心(a,b),

则g(x)=/(x+a)-b=正"-b的图象关于原点对称,

-1-1

则g(—x)+g(x)=+石袤/-2b=。恒成立，

整理得(1-2b)(2。+工+2加巧+2-2b-2b-22a=0恒成立,

所叱1为"3=0，

解得a=0,b=：,

故函数/(%)的对称中心为(0,1);

__O

⑶解：因为对任意久1e都存在%2E[1,系及实数抽，使得f(l-血%1)+/(%1%2)=1，

所以1+2)西+1+2X1X2=1,

gp2l-mx1+x1x2=0,

所以1—mx1+/g=0，

1

所以久2=m--,

X1

因为%所以m一己€[m-1,加一$,

因为久2E[L|]，所以[m-1,,771—，]U[1月，

fm—1>1(m>2

所以k1V3,即卜〉由3,

所以,2(m-|)min=I，

所以nW2,即几的最大值为2.

【解析】⑴先设/＜如然后利用作差法比较/Qi)与/(七)的大小即可判断；

(2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于a,。的方程，进而可求a,b；

(3)由已知代入整理可得的，的关系，然后结合恒成立可求血的范围，进而可求.

本题主要考查了函数的单调性，对称性的应用，还考查了不等式的恒成立问题求解参数

范围，属于中档题.

34.【答案】解：⑴设C点的坐标为“沏女),若d(C,M)=d(C,N),所以岛—1|+仇一

i1=I久o+1|+Iyo+4

所以C点在直线y=-%上，故(0,0)满足要求.

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(2)由题可知，k：y=2%-1,l2：y=2x+1,

因此Q(%i，2%i-1),R^X2,2X2+1),

所以d(Q,R)=\xr—x2\+|(2%i—1)—(2X2+1)1=l%i—+2|%i—%2-1|，

令%i—x2=t,则d(Q,R)=|t|+2\t-1|,

—3t+2,t<0

所以d(Q,R)=-t+2,0<t<1,

,3t-2,t>1

所以当t=l时，d(Q,R)取得最小值1.

(3)因为d(P,M)+d(P,N)=8,

所以—l|+|%+l|+|y-l|+|y+l|=8,

所以，类比椭圆的几何性质，曲线「的性质的性质有：

对称性：曲线r即是以%轴、y轴为对称轴的对称图形，也是以原点为对称中心的中心对

称图形：

顶点：(±3,±1),(士1,±3)

范围：—3<%<3,—3<y<3.

【解析】(1)根据题意设C(%o，yO),进而代入(0,0)检验即可得答案；

(2)由题设Q(%L2%I-1),R{x2f2x2-1),进而得d(Q,R)=%一%2I+2%一%2-1|，

(—3t+2,tV0

故令/-尤2=t得d(Q,R)=-t+2,0<t<1,再求函数的最值即可得答案;

—2,力21

（3）根据题意，作出图像，结合图像研究性质即可.

本题考查归纳推理，及两点间的距离公式，考查学生的运算能力，属于中档题.

35.【答案】解：（1）因为sin/=2sinC,

所以a=2c,

又a=4,

所以c=2,

因为cosB=

4

所以sinB=V1—cos2B=—，

4

所以△ABC的面积S=」acs讥B=^x4X2、巫=屁.

224

（2）因为线段4B的中点为D,若CD=回,

在小BCD中，由余弦定理可得19=16+—2x4xBDx

（一》，整理可得B£）2+2Bn—3=0,解得=1或一3（舍去）,

所以c=48=2,

在△28C中，由余弦定理可得b=A/CI2+c2—2accosB=14+16-2X4X2X(—[)=

2诟

cb2V64V10

所以由正弦定理可得△ABC外接圆半径R=五嬴=『=三-