《数学分析》课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

适用专业信息与计算科学专业

课程类型专业基础课程

学时数________300___________

学分数________17_____________

一、编写说明

（-）本课程的性质、地位和教学目的

数学分析课程是数学系的一门重要的专业基础课，讲授3学期，总学时达306。它在数

学系各专业教学中的地位是由其本身丰富的内容，严密完整的体系，以及对后继课程、中学

数学教学直至毕业生的进一步提高与深造的深刻影响所决定的。分析基础是否扎实，对学生

学习其他专业课如：复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等课

程有举足轻重的影响。它还是数学专业任何方向考研必考的两门专业基础课之一，也直接影

响到考研。因此，数学分析在数学系的课程体系中起着至关重要的作用。

通过对本课程的学习，应使学生

⑴对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生正确的认知观；

⑵正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演

算技能和初步应用的能力。

（-）大纲制定的依据

（1）.编写本大纲是为了规范考试要求，通过规范考核要求来规范不同班级、不同年级

对本课程的教学目标。

（2）.本大纲根据本专业人才培养的目标所需要的基本理论和基本技能的要求而制定。

（3）.本大纲所列各单元顺序与华东师范大学数学系编《数学分析》（高等教育出版社第

3版）所列相同。

（三）大纲内容选编原则

⑴本大纲所列各单元讲授顺序与华东师范大学数学系编《数学分析》（高等教育出版社

第3版）所列相同，可作适当调整。

⑵为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推迟进行，如实数

的一些基本定理可移到一元函数微分学之后。

⑶作为中学数学老师，应对实数理论、微积分简史有一定的理解。本大纲把微积分简史、

实数理论作为附录放在最后。建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。

⑷本大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用，不计入总课时。

（四）实践环节

⑴名称：习题课

⑵主要内容的学时分配：习题课90学时，大纲内容括号内所注的时数是指讲授时数。

（五）教学时数分配表（表格内的文字为5号仿宋）

、教

学、K学

章节、冰、环

序号、讲授习题课见习实验其它小计

节教学危

—实数集与函数8210

二数列极限9413

三函数极限9413

四函数的连续性8412

五导数与微分14620

六微分中值定理及应用9615

七实数的完备性10515

八实数的完备性8412

九定积分11617

十定积分的应用628

十一反常积分8311

十二数项级数10313

十三函数列与函数项级数11415

十四猴级数8412

十五傅里叶级数7411

十六多元函数极限与连续11415

十七多元函数微分学14620

十八隐函数定理及应用10313

十九含参量积分9413

二十曲线积分628

二十一重积分12820

二十二曲面积分12416

总计21090300

（六）考核方法与要求

1.平时成绩：作业成绩、期中考查成绩、课堂提问等占30缸

2.期终考试成绩占70缸

3.综合考核成绩的计算：综合考核成绩=（平时成绩）X0.3+（期终考试成绩）X0.7。

（七）教材与主要参考书

按使用的重要性程度、顺序排列，并注明：

1.教材：

华东师范大学数学系编《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，第三版。

2.主要参考书:

1裴礼文，《数字分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社。

2王戈平，《数学分析选讲》，中国矿业大学出版社。

3刘玉连等，《数学分析讲义练习题选解》，高等教育出版社。

（八）修订说明

本大纲与上一版（2003）相比做了如下变动：

1第十七章少了2节课。

2第二十一章多了2节习题课。

3第二十二章少了4节课，少了2节习题课。

变动理由：教学计划学时数减少。

二、教学内容纲要

第一章实数集与函数（8学时）

一、教学目标：

熟练掌握函数定义域值域的求法，理解函数有解、无界的概念，理解数集确界原理。

二、教学内容

实数概述

绝对值不等式

区间与邻域

函数概念

函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）

一些特殊类型的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）

函数的有理运算

复合函数

反函数

基本初等函数

初等函数

数界的上界、下界

△数集有界概念，确界概念

O确界原理

要点：确界原理及上、下确界的求法。

第一节实数

一、实数及其性质

二、绝对值与不等式

第二节数集确界原理

一、区间与邻域

二、有界集确界原理

第三节函数概念

一、函数的定义

二、函数的表示法

三、函数的四则运算

四、复合函数

五、反函数

六、初等函数

第四节具有某些特性的函数

一、有界函数

二、单调函数

三、奇函数和偶函数

四、周期函数

第二章数列极限（9学时）

一、教学目标

理解数列极限的e-N定义，熟练掌握用极限的“e—N”定义证明一些数列的极限。

理解极限不存在的定义，掌握数列极限存在的条件及性质。

二、教学内容

数列

△。数列极限的e-N定义

收敛数列的性质一一唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算

△有界单调数列极限存在定理

lim（l+-）n

〃一＞8YI

△柯西收敛液则

O子数列

要点：数列极限的“e-N”定义.

第一节数列极限概念

第二节收敛数列的性质

第三节数列极限存在的条件

第三章函数极限（9学时）

一、教学目标

理解并掌握数列极限的“e—8”、“e—N”定义，掌握o,0,〜符号的定义，熟练利

用两个典型公式求极限。

二、教学内容

函数极限

△Oe—3定义，e—M定义

单侧极限

△函数极限性质一一唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算

归结原则(Heine定理)

函数软限的柯西准则

lim(l+x)”

KTO

无穷小量及其阶的比较

O记号。、0、~

广义极限

△无穷大量及其阶的比较

要点：极限的£—8定义及极限的求法。

第一节函数极限概念

一、x趋于无穷时函数的极限

二、x趋于xo时函数的极限

第二节函数极限的性质

第三节函数极限存在的条件

第四节两个重要的极限

sinx

—、lim----.

.v->0%1

二、lim(l+x)x

x—>0

第五节无穷小量与无穷大量

一、无穷小量

二、无穷小量阶的比较

三、无穷大量

四、曲线的渐近线

第四章函数的连续性(8学时)

一、教学目标

理解掌握函数连续性的概念及连续函数的性质，熟练掌握间断点的分类。理解一致连续

性概念。

二、教学内容

△在一点函数的连续性

单侧连续性

△间断点及其分类

在区间上连续的函数

连续函数的局部性质一一有界性、保号性

连续函数的有理运算

复合函数的连续性

O一致连续性定义

闭区间上连续函数的性质一一有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性、反函

数的连续性、初等函数连续性

第一节连续性概念

一、函数在一点的连续性

二、间断点及其分类

三、区间上的连续函数

第二节连续函数的性质

一、连续函数的局部性质

二、闭区间上连续函数的基本性质

三、反函数的连续性

四、一致连续性

第三节初等函数的连续性

一、指数函数的连续性

二、初等函数的连续性

第五章导数与微分（14学时）

一、教学目标

熟练掌握导数及微分的定义，理解导数的几何及物理意义，熟练掌握求导数、求微分的

方法。了解微分在近似计算中的应用。

二、教学内容

引入问题（切线问题与瞬时速度问题）

△导数定义

单侧导数

导函数

导数的几何意义

和、积、商的导数

O反函数的导数

△复合函数的导数

初等函数的导数

微分概念

微分的几何意义

微分的运算法则

△一阶微分形式的不变性

微分在近似计算中的应用

高阶导数与高阶微分

由参量方程所表示的曲线的斜率

［附注］

⑴结合求导举例，可介绍对数求导法，隐函数求导数。

⑵高阶导数的莱布尼茨（Leibniz）公式可述而不证。

要点：导数、微分的求证。

第一节导数的概念

一、导数定义

二、导函数

三、导数的几何意义

第二节求导法则

一、导数的四则运算

二、反函数的导数

三、复合函数的导数

四、基本求导法则与公式

第三节参变量函数的导数

第四节高阶导数

第五节微分

一、微分的概念

二、微分的四则运算

三、高阶微分

四、微分在四则运算中应用

第六章微分中值定理及其应用（9学时）

一、教学目标

理解微分中值定理的几何意义，掌握微分中值定理的证明，理解泰勒公式。熟练掌握函

数极值、最值、凸凹性及拐点的求法，了解方程的近似解及泰勒公式在近似计算中的应用。

熟练掌握罗比达法则求极限。

二、教学内容

费马（Fermat）定理

罗尔（Rolle）中值定理

△拉格朗日（Lagrange）中值定理

柯西中值定理

O泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）

近似计算

△罗比塔（L'Hospital）法则

函数单调性判别法

极值、最大值与最小值

曲线的凹凸性

拐点

函数图象讨论

要点：利用微分中值定理、泰勒公式解决一些具体问题。

第一节拉格朗日定理及其应用

一、罗尔中值定理与拉格朗日定理

二、单调函数

第二节柯西中值定理和不定式极限

一、柯西中值定理

二、不定式极限

第三节泰勒公式

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式

二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式

三、在近似计算上的应用

第四节函数的极值与最大（小）值

一、极值判别

二、最大值与最小值

第五节函数的凸性与拐点

第六节函数图像的讨论

第七节方程的近似解

第七章实数的完备性（10学时）

一、教学目标

理解聚点的概念，理解掌握区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理及闭区间上连续函

数性质的证明。了解实数完备性定理的等价性。了解上、下极限的概念。

二、教学内容

区间套定理

柯西准则（数列）

△聚点定理

O△致密性定理（子数列定理）

有限覆盖定理

实数完备性定理的等价性

△闭区间上连续函数性质的证明

要点：聚点的定义及闭区间套定理的应用。

第一节关于实数集完备性的基本定理

一、区间套定理与柯西收敛准则

二、聚点定理、有限覆盖定理

第二节闭区间上连续函数性质的证明

第八章不定积分（8学时）

一、教学目标

理解原函数、不定积分概念，熟练掌握计算不定积分的方法。

二、教学内容

△原函数与不定积分概念

基本积分表

线性运算法则

△换元积分法

△分部积分法

O有理函数积分法

三角函数有理式的积分

O几种无理函数的积分（R（xq+bx+c)

ex+d

［附注］

连续函数的原函数存在性的证明留待下一单元“定积分”中进行。

要点：不定积分的换元积分法及分部积分法。

第一节不定积分概念与基本积分公式

一、原函数与不定积分

二、基本积分表

第二节换元积分法与分部积分法

一、换元积分法

二、分部积分法

第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分

一、有理函数的不定积分

二、三角函数有理式的不定积分

三、某些无理根式的不定积分

第九章定积分（11学时）

一、教学目标

理解定积分的概念，掌握可积条件及可积函数类。熟练掌握定积分的性质及定积分的计

算。了解上和、下和的性质及可积充要条件的证明。

二、教学内容

引入问题（曲边梯形面积与变力作功）

O定积分定义

定积分的几何意义

可积的必要条件

(*)上和、下和及其性质

可积的充要条件

可积函数类一一在闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有

界函数

定积分性质一一线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理

微积分学基本定理

△牛顿一莱布尼兹公式

△换元积分法

△分部积分法

泰勒公式的积分型余项

要点：定积分性质的应用，积分等式、不等式的证明。

第一节定积分的概念

一、问题提出

二、定积分的定义

第二节牛顿―莱布尼兹公式

第三节可积条件

一、可积的必要条件

二、可积的充要条件

三、可积函数类

第四节定积分的性质

一、定积分的基本性质

二、积分中值定理

第五节微积分学基本定理定积分计算

一、变限积分与原函数的存在性

二、换元积分法分部积分法

三、泰勒公式的积分型余项

第十章定积分的应用(6学时)

一、教学目标

熟练掌握利用定积分求面积、旋转体体积、弧长、旋转曲面面积、压力、引力、功。了

解定积分的近似计算。

二、教学内容

简单平面图形的面积

△曲线的弧长与弧微分

已知截面面积函数的立体体积

△旋转体体积与侧面积

平均值

O物理应用（压力、功、静力矩与重心等）

定积分的近似计算

［附注］

在定积分应用中，介绍“微元法”

要点：利用微元法解决实际问题。

第一节平面图形的面积

第二节由平行截面面积求体积

第三节平面曲线的弧长与曲率

一、平面曲线的弧长

二、曲率

第四节旋转曲面的面积

一、微元法

二、旋转曲面的面积

第五节定积分在物理中的某些应用

一、液体静压力

二、引力

三、功与平均功率

第十一章反常积分（8学时）

一、教学目标

理解反常积分的概念，绝对收敛与条件收敛概念。掌握反常积分敛散性的比较判别法,

柯西判别法、狄利克雷与阿贝尔判别法。

二、教学内容

反常积分的引入（第二宇宙速度的计算问题）

△无穷限反常积分

无界函数非正常积分

柯西准则

敛散性的比较判别法

O柯西判别法

阿贝尔、狄利克雷判别法

绝对收敛、条件收敛性

要点：反常积分敛散性的判别。

第一节反常积分概念

一、问题提出

二、两类反常积分的定义

第二节无穷积分的性质与收敛判别

一、无穷积分的性质

二、比较判别法

三、阿贝尔、狄利克雷判别法

第三节瑕积分的性质与收敛判别

第十二章数项级数（10学时）

一、教学目标

掌握级数收敛与发散的定义，级数收敛的柯西准则，级数收敛的必要条件。能够熟练地

利用比较判别法、比值判别法、根式判别法、莱布尼兹判别法判别级数的敛散性。理解级数

的条件收敛及绝对收敛。理解阿贝尔判别法及狄利克雷判别法。了解拉贝判别法。

二、教学内容

级数收敛与和的定义

柯西准则

收敛级数的基本性质

正项级数

比较原则

△比式判别法与根式判别法

拉贝（Raabe）判别法与高斯判别法

一般项级数的绝对收敛与条件收敛

交错级数

莱布尼茨判别法

阿贝尔（Abe1）判别法与狄利克雷（Dirich1et）判别法*

O绝对收敛级数的重排定理

条件收敛级数的黎曼（Riemann）定理

要点：正项级数敛散性的判别，绝对收敛级数性质。

第一节级数的收敛性

第二节正项级数

一、正项级数收敛性的一般判别原则

二、比式判别法与根式判别法

三、积分判别法

第三节一般项级数

一、交错级数

二、绝对收敛级数及其性质

三、阿贝尔(Abel)判别法与狄利克雷(Dirichlet)判别法

第十三章函数列与函数项级数(11学时)

一、教学目标

理解一致收敛的概念，掌握一致收敛性质的证明过程，能够熟练判别函数列、函数项级

数的一致收敛性。

二、教学内容

△。函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念

一致收敛的柯西准则

函数项级数的维尔斯特拉斯(Weierstrass)优级数判别法

阿贝尔判别法与狄利克雷判别法*

函数列极限函数与函数项级数和的连续性

逐项积分与逐项微分

要点：一致收敛性的判别。

第一节一致收敛性

一、函数列及其一致收敛性

二、函数项级数及其一致收敛性

三、函数项级数的一致收敛性判别法

第二节一致收敛函数列与函数项级数的性质

第十四章鬲级数(8学时)

一、教学目标

理解基级数的性质，掌握幕级数收敛域的求法，理解函数基级数的展开式，了解复变量

指数函数，欧拉公式。

二、教学内容

阿贝尔第一定理

△收敛半径与收敛区间

内闭一致收敛性

连续性

逐项积分与逐项微分

幕级数的四则运算

O泰勒级数

泰勒展开的条件

△初等函数的泰勒展开

近似计算

用基级数定义正弦、余弦函数

复变量的指数函数与欧拉(Euler)公式

要点：幕级数收敛域的求法及求和函数。

第一节幕级数

一、基级数的收敛区间

二、基级数的性质

三、基级数的运算

第二节函数的幕级数展开

一、泰勒级数

二、初等函数的基级数展开

第十五章傅里叶级数(7学时)

一、教学目标

熟练掌握傅里叶级数的求法，理解傅里叶级数的性质，了解傅里叶级数平均收敛定理的

证明过程，理解平均收敛定理的应用。

二、教学内容

三角级数

三角函数系的正交性

贝塞尔(Bessel)不等式

黎曼―勒贝格(Riemann—Lebesgue)定理

傅里叶级数的部分和公式

△按段光滑且以2n为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理

奇函数与偶函数的傅里叶级数

△以21为周期的函数的傅里叶级数

O一致收敛性定理

傅里叶级数的逐项积分与逐项微分

维尔斯特拉斯的函数逼近定理

要点：傅里叶级数的求法。

第一节傅里叶级数

一、三角函数正交函数系

二、以2T为周期的函数的傅里叶级数

三、收敛定理

第二节以21为周期的函数的展开式

一、以21为周期的函数的傅里叶级数

二、偶函数与奇函数的傅里叶级数

第三节收敛定理的证明

第十六章多元函数的极限与连续（11学时）

一、教学目标

理解多元函数极限的定义，掌握多元函数极限的求法，熟练掌握多元连续函数的性质。

二、教学内容

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）

O平面点集的基本定理一一区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理

二元函数概念

△二重极限

累次极限

△二元函数的连续性

复合函数的连续性定理

有界闭域上连续函数的性质

n维空间与n元函数（距离、三角形不等式、极限、连续等）

要点：多元函数极限的定义及连续性。

第一节平面点集与多元函数

一、平面点集

二、片上的完备性定理

三、二元函数

四、n元函数

第二节二元函数的极限

一、二元函数极限

二、累次极限

第三节二元函数的连续性

一、二元函数的连续性概念

二、有界闭域上连续函数的性质

第十七章多元函数微分学（14学时）

一、教学目标

理解偏导数、全微分的概念及几何意义，熟练掌握偏导数、全微分、方向导数、极值的

求法。理解掌握偏导数存在、可微性、连续性、偏导函数连续之间的因果关系及这些关系的

推导过程及一些典型反例。了解微分近似计算中的应用。

二、教学内容

偏导数及其几何意义

△全微分概念

全微分的几何意义

全微分存在的充分条件

全微分在近似计算中的应用

方向导数与梯度

△复合函数的偏导数与全微分

一阶微分形式的不变性

O高阶导数及其与顺序无关性

高阶微分

二元函数的泰勒定理

△二元函数极值

要点：偏导数、方向导数、可微、连续之间的关系。

第一节可微性

一、可微性与全微分

二、偏导数

三、可微性条件

四、可微性几何意义及应用

第二节复合函数微分法

一、复合函数的求导法则

二、复合函数的全微分

第三节方向导数与梯度

第四节泰勒公式与极值问题

一、高阶偏导数

二、中值定理与泰勒公式

三、极值问题

第十八章隐函数定理及其应用（10学时）

一、教学目标

掌握隐函数、隐函数组存在的条件和结论，理解隐函数定理的证明，熟练掌握隐函数导

数、偏导数的求法。掌握曲线的切线、法平面；曲面的切平面、法线的求法。掌握条件极值

的求法。

二、教学内容

△隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导

存在的条件概念

隐函数组定理

△隐函数组求导

反函数组与坐标变换

函数行列式

函数相关

几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法

要点：隐函数一阶、二阶偏导数的求法。

第一节隐函数

一、隐函数概念

二、隐函数存在性条件的分析

三、隐函数定理

四、隐函数求导举例

第二节隐函数组

一、隐函数组概念

二、隐函数组定理

三、反函数组与坐标变换

第三节几何应用

一、平面曲线的切线与法线

二、空间曲线的切线与法平面

三、曲面的切平面与法线

第四节条件极值

第十九章含参量积分（9学时）

一、教学目标

理解含参量积分的收敛、一致收敛的概念。掌握含参量积分收敛、一致收敛的性质。理

解欧拉积分的性质，熟练掌握利用积分导下求导，交换积分顺序求一些积分值的方法。

二、教学内容

△O含参量非正常积分的一致收敛性

一致收敛的判别法

△一致收敛的性质

欧拉积分

要点：一致收敛性质的应用。

第一节含参量正常积分

第二节含参量反常积分

一、一致收敛性及其判别法

二、含参量反常积分的性质

第三节欧拉积分

一、「-函数

二、B-函数

三、函数与B-函数之间的关系

第二十章曲线积分（6学时）

一、教学目标

理解曲线积分的定义，熟练掌握曲线积分的计算公式，了解两类曲线积分的联系。

二、教学内容

△第一型曲线积分的定义及计算公式

△第二型曲线积分的定义及计算公式

（*）两类曲线积分的联系

要点：曲线积分的计算

第一节第一型曲线积分

一、第一型曲线积分的定义

二、第一型曲线积分的计算

第二节第二型曲线积分

一、第二型曲线积分的定义

二、第二型曲线积分的计算

第二十一章重积分（12学时）

一、教学目标

理解二重积分、三重积分的定义及性质，掌握重积分的应用，熟练掌握二重积分、三重

积分的计算方法。熟练掌握格林公式及曲线积分与路径的无关性。

二、教学内容

二重积分定义与存在性

二重积分性质

△二重积分计算（化为累次积分）

二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）

△格林公式、曲线积分与路线无关性

利用二重积分计算,人

三重积分定义与计算

△三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换）

重积分应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）

要点：重积分的计算。

第一节二重积分概念

一、平面图形的面积

二、二重积分的定义及其存在性

三、二重积分的性质

第二节直角坐标系下二重积分的计算

第三节格林公式曲线积分与路线的无关性

一、格林公式

二、曲线积分与路线的无关性

第四节二重积分的变量替换

一、二重积分的变量变换公式

二、用极坐标计算二重积分

第五节三重积分

一、三重积分的概念

二、化三重积分为累次积分

三、三重积分换元法

第六节重积分的应用

一、曲面的面积

二、重心

三、转动惯量

四、引力

第二十二章曲面积分(12学时)

一、教学目标

理解曲面积分的定义及性质，掌握曲面积分的计算公式的证明过程，能够熟练地利用曲

面积分的计算公式、高斯公式、斯托克斯公式计算两类曲面积分。了解两类曲面积分的联系,

了解梯度、散度、旋度概念及性质。

二、教学内容

第一型曲面积分及其计算公式

曲面的侧

第二型曲面积分及其计算公式

(*)两类曲面积分的联系

△高斯公式与斯托克斯公式

(*)场论初步

要点：曲面积分的计算。

第一节第一型曲面积分

一、第一型曲面积分的概念

二、第一型曲面积分的计算

第二节第二型曲面积分

一、曲面的侧

二、第二型曲面积分的概念

三、第二型曲面积分的计算

第三节高斯公式与斯托克斯公式

一、高斯公式

二、斯托克斯公式

制订者：分析学教研室

执笔人：刘永民，朱江

制定日期：2007年12月

审核：数学科学学院教学委员会

《高等代数》课程教学大纲

适用专业信息与计算科学

课程类型

学时数

学分数

一、编写说明

（-）本课程的性质、地位和教学目的

高等代数是信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课，其主要内容有多项式理

论与线性代数两部分。本课程的教学目的是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和

抽象的严格的代数方法，为后继课程如常微分方程、离散数学、数值分析:矩阵计算等

提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽

象思维能力提供一定的训练。高等代数课程是中学代数的继续和提高。通过本课程的教

学，要使学生加深对中学代数的理解。

本课程在教学中要求学生确切理解高等代数中的基本概念，不仅要正确掌握这些概

念的内涵，还要了解这些概念的实际背景。对于一些基本的重要概念，还要求了解它们

产生与发展的过程及概念推广的原则；与中学代数有直接联系或者平行的概念，要求学生能

与中学数学中相应概念加以比较，以确立较高的观点。对于高等代数中的基本理论，要求学

生掌握基本理论的结果，对于典型定理还要求掌握论证方法或思想，同时要求学生能了解严

谨的理论体系，体会建立这种体系的抽象的代数方法。通过本课程的教学，要求学生能显著

地提高应用基本概念、基本理论作抽象论证的能力；较好地掌握基本的论证方法与基本的计

算方法，特别要掌握基本的线性代数计算法。

（二）本大纲制订的依据

根据本专业人才的培养目标所需要的基本理论和基本技能的要求，根据本课程的教学性

质、条件和教学实践而制定。

（三）大纲内容选编原则与要求

1.本大纲所列各单元讲授顺序与北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编《高

等代数》（高等教育出版社第三版）所列基本相同，讲授时可根据具体情况作适当调整。

2.为了避免教学上的难点过于集中，有些定理的掌握可以侧重于定理的结果和证明定

理的方法，以达到掌握基本的代数方法的目的。

3.每一章的重点内容要重点讲解，在讲清概念的基础上，通过适当的练习（习题课、

作业、问题探讨等）以达到掌握高等代数中常用的计算方法、基本运算中的技能和技巧以及

提高综合计算和解决问题的能力的目的。难点要逐步引入，分散讲解。

4.本大纲列入部分带“*”的内容，供选用，不记算入总课时。

（四）实践环节

1.本课程的实践环节主要分为习题课、问题探讨（讨论）、课后辅导、课后作业等四

部分，问题讨论可在辅导课或课后完成。

2.本课程教学时数为192学时，其中课堂讲授约138学时，习题课约54学时。

（五）教学时数分配表

教

学、\学

章节

讲授习题课小计

序号

教学内容

第零章预备知识1111

第一章一元多项式21930

第一早行列式8311

第三章线性方程组14620

第四章矩阵14721

第五章二次型10414

第六章线性空间16824

第七章线性变换18725

第八章丸_矩阵12416

第九章欧氏空间14620

总计13854192

（六）考核方法与要求

1.平时成绩：包括期中考试成绩，出勤、作业成绩、课堂提问、问题探讨（讨论）等。

平时成绩占30%。

2.试卷成绩：期终考试成绩，占70%。

3.综合考核成绩：（平时成绩）*30%+（期终考试成绩）X70%。

（七）教材与主要参考书

使用教材：北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》第三版，高等

教育出版社，2003。

参考书：

1.陈利国主编，《高等代数主要概念与定理详析》，中国矿业大学出版社，1992。

2.张禾瑞、郝^新编，《高等代数》第三版，高等教育出版社，1983。

3.钱芳华主编，《高等代数方法选讲》，广西师范大学出版社，1991。

4.徐仲等编，《高等代数》导教•导学•导考，西北工业大学出版社，2005。

5.李炯生等编，《线性代数》，中国科学技术大学出版社，1989。

（八）修订说明

本大纲与上一版（2003年版）相比做了如下改动：

1.第四章矩阵增加了“分块矩阵的初等变换及应用”内容；

2.第七章线性变换增加了“最小多项式”内容；

3.增加了第八章“4一矩阵”内容。

变动理由：根据院加强本科专业基础课教学及措施精神以及学生专业知识结构需要。

二、教学内容纲要

第。章预备知识

一、教学目标

1.掌握集合的有关概念（子集、集合的相等、并集、交集、差集），会熟练进行集合

的并、交、差运算，会证明集合的相等，掌握并与交的算律。

2.掌握映射、单射、满射、双射和可逆映射的概念，并能较熟练地运用这些概念进行

映射是单射、满射的论证。

3.掌握第一、第二数学归纳法的意义与论证方法。

4.掌握复数的有关概念及基本性质，能熟练进行复数的运算。

5.理解“双重和”的意义，了解其写法与性质，并能运用。

二、教学内容

第一节集合

1.集合的概念

2.子集、集合的相等

3.并集、交集、差集

4.集合运算的基本算律

第二节数学归纳法

1.最小数原理

2.第一数学归纳法

3.第二数学归纳法

第三节映射

1.映射的概念

2.△满射、单射和双射

3.映射的合成，可逆映射和映射可逆的充要条件

第四节复数

1.复数的概念及其运算

2.复数的表示

3.复数的乘累与方根

4.共辄复数

第五节连加号Z（着重双重和）

第一章一元多项式

一、教学目标

1.理解数域的概念，掌握数域最基本的性质。

2.理解数域上文字》的多项式的概念；理解多项式的次数、整除、最大公因式、互素、

不可约多项式、重因式等重要概念，了解这些概念和系数域的扩大与缩小的关系。

3.熟练掌握“整除性”，互素与不可约多项式的基本性质；理解带余除法的实质，掌

握用带余除法求商式和余式;会求两个多项式的最大公因式并掌握把最大公因式表示成这两

个多项式的组合的方法；会用微商判断多项式有、无重因式；能把多项式的有关概念、性质

与整数的有关概念、性质进行比较。

4.理解数域P上多项式分解唯一性定理的内容、意义及这一定理在多项式理论中的重

要地位。掌握多项式在复数域和实数域上的标准分解式，掌握多项式的根与系数的关系。

5.理解多项式的函数观点，明确多项式的根、因式与可约性之间的关系，特别要掌握

余数定理和因式定理。

6.理解本原多项式的概念及多项式在有理数域Q上的可约性问题，掌握Eisenstein

判别法和整系数多项式有理根的求法。

二、教学内容

第一节数域

1.数域

2.有理数域是最小的数域

第二节一元多项式

1.△多项式的有关概念

2.多项式的运算与算律

3.多项式和与积的次数

第三节多项式的整除性

1.△带余除法

2.△整除的定义和基本性质

第四节最大公因式

1.△最大公因式

2.。最大公因式的存在性定理及辗转相除法

3.△。互素的定义和基本性质

4.多个多项式的最大公因式和互素

第五节因式分解定理

1.△不可约多项式的定义和基本性质

2.O因式分解唯一性定理

3.利用标准分解式求最大公因式

第六节重因式

1.多项式的微商及微商法则

2.△重因式的定义

3.△多项式的重因式与其微商的关系

4.△多项式无重因式的充要条件

第七节多项式函数

1.多项式的值，多项式函数

2.△余数定理

3.△多项式的根，因式定理

4.重根

5.非零多项式的根的最多个数

6.多项式的相等与多项式函数的相等（Lagrange插值公式）

第八节复数域和实数域上的多项式

1.代数基本定理

2.△复系数多项式因式分解定理

3.△实系数多项式因式分解定理

第九节有理系数多项式

1.本原多项式，Gauss引理

2.整系数多项式在有理数域上的可约性问题

3.△Eisenstein判别法

4.△有理数域上多项式的有理根

第二章行列式

一、教学目标

1.掌握排列的奇偶性，逆序数的求法及排列在对换下奇偶性的变化。

2,了解行列式概念推广的过程，理解n阶行列式的定义，熟练掌握n阶行列式的性质

及依行依列展开定理。

3.掌握计算n阶行列式的常用方法：三角化法、递推法、加边法等。

4.掌握Gramer法则，不仅要明确其条件、结论，还应理解证明这一法则的思路与论

证方法。

二、教学内容

第一节排列

1.排列的逆序数，奇排列和偶排列

2.对换对排列的作用

第二节n阶行列式的定义和基本性质

1.On阶行列式的定义

2.An阶行列式的基本性质

第三节行列式的展开

1.依一行（列）展开

2.Laplace展开式

第四节行列式的计算

1.△行列式的计算

2.OVandermonde行列式

第五节克兰姆（Gramer）法则

1.OGramer法则

2.△Gramer法则的应用

第三章线性方程组

一、教学目标

1.了解消元法解一般线性方程组的依据，熟练掌握利用矩阵的初等变换求线性方程组

的解的方法。

2.理解n维向量的概念，掌握n维向量的加法和数乘两种运算和它们的基本性质。

3.理解n维向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、向量组的极大无关组、

向量组的秩等重要概念，掌握它们常用的重要性质，熟练掌握讨论线性相关性的一般论证方

法，会求向量组的极大无关组。

4.理解矩阵的秩的概念及这一概念的几种等价刻划，熟练掌握用初等变换求矩阵秩的

方法。

5.掌握线性方程组的有解性判别定理及线性方程组的解的结构，熟练掌握求齐次线性

方程组的基础解系的方法。

二、教学内容

第一节线性方程组的消元法

1.线性方程组的同解性及线性方程组的初等变换

2.用初等变换（即消元法）解线性方程组

3.矩阵的概念及矩阵的初等变换

4.△用矩阵的初等变换解线性方程组

第二节n维向量空间

1.n维向量的线性运算和基本性质

2.向量的线性组合（线性表示）和向量组的等价

3.△（：）向量组的线性相关性

4.△向量组的极大无关组

第三节矩阵的秩

1.O矩阵的行秩和列秩

2.。矩阵的子式和行列式秩

3.△用初等变换求矩阵的秩

第四节线性方程组有解的判别定理

1.△€）线性方程组有解的判别定理

第五节线性方程组解的结构

1.△齐次线性方程组的基础解系、齐次线性方程组的解的结构

2.△非齐次线性方程组的解的结构

第四章矩阵

一、教学目标

1.熟练掌握矩阵的各种运算，特别要理解矩阵乘法运算的不可交换性，有零因子，不

满足消去律等特点。

2.掌握矩阵乘积的行列式与因子的行列式、矩阵乘积的秩与因子的秩之间的关系。

3.理解矩阵的等价（即相抵）与等价标准形、可逆矩阵与逆矩阵、初等矩阵等概念，

牢固掌握可逆矩阵的几种常用的等价刻划，熟练掌握求逆矩阵的两种方法。掌握初等矩阵与

初等变换之间的“左行右列”规则。

4.初步掌握矩阵分块的原则、技巧及运算。理解广义初等变换和广义初等矩阵的概念,

掌握广义初等变换与广义初等矩阵的“左行右列”规则。

二、教学内容

第一节矩阵的概念和运算

1.矩阵的有关概念

2.△矩阵的运算和算律，矩阵的多项式

3.△矩阵的转置及性质

4.对角矩阵，数量矩阵、上（下）三角阵、对称矩阵、反对称矩阵

第二节矩阵乘积的行列式和秩

1.△矩阵乘积的行列式

2.a。矩阵乘积的秩

第三节可逆矩阵

i.△可逆矩阵的定义及简单性质

2.△矩阵的等价及等价标准形

3.△初等矩阵，初等变换与初等矩阵的关系

4.△€）矩阵可逆的充要条件

5.△求逆矩阵的两种方法

6.Gramer法则的矩阵形式

第四节矩阵的分块

1.分块矩阵的概念

2.分块矩阵的运算

3.准对角矩阵的概念及有关性质