2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题）.

1.若直线小2x+ay+l=0与直线&x-2y+2=0平行，则a=（）

A.1B.-1C.4D.-4

2.已知随机变量X服从正态分布N（3,1）,且P（2WxW4）=0.6826,贝ij尸（x>4）=

（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

3.已知直线/的一方向向量为（1,«）,则直线/的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.已知点G是正方形ABCD的中心，点尸为正方形A8C。所在平面外一点，则PA+PB+PC^PD

等于（）

A.4说B.3pQC.2pQD.pQ

5.“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼•保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、

数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能.某班甲、乙两

名同学分别选取其中的四艺进行学习，若“礼”“数”必选，其余两艺随机选择，那么

这两名同学都未选到“御”的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

4495

7

6.设随机变量X,y满足y=4X+l,X〜3（2,p）,若P（X21）=3,则。（丫）=（）

16

q

A.—B.3C.6D.8

2

7.如图，矩形ABC。是圆柱OOi的轴截面，且BC=2,DD]=-，“广切，

Jo

其中a,。在平面ABC。同侧，则异面直线CD与GA所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

22

8.已知Fi,B是椭圆2_+^—=1的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过Fi引NF1PF2的

2516

外角平分线的垂线，垂足为Q,则Q与短轴端点的最近距离为（）

A.5B.4C.2D.1

二、多项选择题（共4小题）.

9.过抛物线产2Px（p>0）的焦点尸作一条直线/与抛物线相交于不同A（xi,》），B

（X2,两点，则下列说法中正确的是（）

A.\AB\=x\+xi+2p

B.的最小值为2P

2

CP

X1"X2=V

D.以线段4B为直径的圆与y轴相切

10.如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，D,E,F为所在棱的中点，

则在这四个正方体中，直线43与平面QEF平行的是（）

)

A.当2<kV6,曲线C为椭圆

B.当后=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±J§x

C."k>6或k<2”是“曲线C为双曲线”的充要条件

D.不存在实数Z使得曲线C为离心率为加的双曲线

12.据《人民日报》报道，2020年10月份山东某城市在5天内完成了全城1000多万个检

测，创造了世界记录，也震惊了外媒.“中国速度”怎么做到的？其实真正的秘密在于

“混采检测”.某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知10只动物中有1只患有某

种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下

面是两种化验方案：

方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止.

方案乙：先取5只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只动物的血液再逐个

化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的5只动物再逐个化验，直到查出患

病动物()

A.若利用方案甲，平均化验次数为5.4

B.若利用方案乙，化验次数为3次的概率为0.2

C.若利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.1

D.方案乙比方案甲更好

三、填空题(共4小题).

13.己知圆Ci：(x-2)2+(),-1)2=1与圆C2：N+y2=4相交，则它们交点所在的直线

方程为.

14.中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等.学校

图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有

种(用数字作答).

15.在棱长为2的正方体ABCD-中，E为BC的中点.则点E到体对角线BCh

的距离为.

22

16.已知双曲线C：b>0)上一点P坐标为(泥，m)(m>0),F为双

曲线C的右焦点，且PF垂直于X轴.过点P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，

它们与两条渐近线围成的图形面积等于1,则该双曲线的离心率是.

四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在小总户的展开式中.

x

(1)求含x5的项；

(2)求各项系数和与各项二项式系数和的比.

18.有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙

箱中有3只红球，5只白球.

(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率;

(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

19.在①C上的点A到皮，0)的距离比它到直线x=-1的距离少1，

x2y2

②尸是椭圆々一巧一=1的一个焦点，

下7P

③B(O,1),对于C上的点A,|4B|+|AQ的最小值为返，

2

这三个条件任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,满足.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)D(2,y)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线/：与C交于M,N两

点，若△OMN的面积为加2,求成的值.

20.在图1中，ZiABC和△AC。都是直角三角形，AB=BC=V6-ZCAD=30°,ZACD=

90°.将△ABC沿AC折起，使得AB_LB。，如图2.

(1)证明：平面ABC,平面ACD；

(2)若E,F分别为4。，CO的中点，求二面角8-EF-A的大小.

21.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全

面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造

业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质

量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某企业生产流水线检测员每天随机从

流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一

级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的

100件产品的柱状图如图所示.

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂

的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；

(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取

3件，设取到二级品的件数为亭求随机变量彳的分布列；

(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进

行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产

品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8：2,若以该

生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.

22rr

22.己知椭圆C：二广l(a>b>0)的离心率为过椭圆C的左焦点Fi(-c,0)

ab/

且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C于M,N两点,且椭圆C截直线x=c所得弦长为加.

(1)求椭圆C的方程；

(2)线段MN的垂直平分线与x轴交于点P,求点P横坐标的取值范围；

(3)试问在x轴上是否存在一点。，使得而.屈恒为定值？若存在，求出点。的坐标

及该定值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、单项选择题（共8小题）.

1.若直线/i：2x+〃y+l=0与直线，2：x-2y+2=0平行，则。=（

B.-1D.-4

解：二•直线/】：2x+〃y+l=0与直线办：x-2y+2=0平行，

1X<74-2X2=0,即a=-4.

此时两直线不重合.

故选：D.

2.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且尸(2WxW4)=0.6826,则P(x>4)=

()

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

解：P(3WXW4)=—P(2WXW4)=0.3413,

观察上图得,

：.P(X>4)=0.5-P(3WXW4)=0.5-0.3413=0.1587.

故选：B.

234

3.已知直线/的一方向向量为（1,正），则直线/的倾斜角为（

A.30°B.60°C.120°D.150°

解：设直线/的倾斜角为0,ee[0°,180°）,则tane=«,

.•.0=60°.

故选：B.

4.已知点G是正方形A8C£＞的中心，点P为正方形ABC。所在平面外一点，则由•瓦+记■玩

等于（)

A.4pQB-3PGC.2而D-PG

•.[-r—I............

解：如图，PA=PG+GA，PC=PG+GC，PB=PG+GB，PD=PG+GD>

PA+PB+PC+PD

4PG+（GA+GC）+（GB+GD）=4PG-

故选：A.

5.“养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼•保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、

数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需掌握的六种基本才能.某班甲、乙两

名同学分别选取其中的四艺进行学习，若''礼”"数”必选，其余两艺随机选择，那么

这两名同学都未选到“御”的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

4495

解：六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生必需

掌握的六种基本才能.

某班甲、乙两名同学分别选取其中的四艺进行学习，“礼”“数”必选，其余两艺随机

选择，

基本事件总数Xcgcj=36,

这两名同学都未选到“御”包含的基本事件个数胆=cgc§XcWc：=9,

...这两名同学都未选到“御”的概率为尸=处=乂=].

n364

故选：A.

6.设随机变量x,y满足y=4x+i,x〜B（2,p）,若尸（x2i）=#,则。《）=（）

3

A.—B.3C.6D.8

解：由题意得，P(X2l)=\-P(X=0)=1-cg(l-p)2=},

4In

解得，p=1，

4

3

：.D(X)=2XPX(1-P)=—,

8

：.D(y)=42。(X)=16X—=6.

8

故选：c,

7.如图，矩形ABCO是圆柱001的轴截面，且A8=J§,BC=2,DD1，厂，CCi=1-n.

其中Ci,A在平面ABC。同侧，则异面直线C£＞与C|D1所成的角为()

解:如图，作£>iE〃DC,连接GE,

:.NGDiE为CD与CiDi所成的角，

..------n-----2.---兀

•DDj=CE—1"1*兀，

：0iCi=0iE=l,：.CiE=l.

又；D1E=AB=«,

C.E1

在Rt^DCE中,tanZCiD]E=——

D〔E=vi=~

即NCQE=k=30°.

6

22

8.己知Fi,B是椭圆2_+^—=1的左，右焦点，P是椭圆上任意一点，过Fi引NF1PF2的

2516

外角平分线的垂线，垂足为Q,则Q与短轴端点的最近距离为（）

A.5B.4C.2D.1

22

解：•.•尸是焦点为R、仍的椭圆—二=1上一点,

2516

P。为NFiPB的外角平分线，。尸」P。,

设F\Q的延长线交FiP的延长线于点M,

；.|PM=|PFd，

•.•|。尸1|+尸尸2|=2。=10,；.|MF2|=|PM+|PF2|=2a=10,

由题意知。。是△F|F2历的中位线，

,\\0Q\=a=5f

，Q点的轨迹是以。为圆心，以5为半径的圆，

当点。与y轴重合时，

Q与短轴端点取最近距离d=a-b=5-4=1.

故选：D.

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得。分.

9.过抛物线y1—lpx（p>0）的焦点厂作一条直线/与抛物线相交于不同A（xi,yi）,B

（X2,）>2）两点，则下列说法中正确的是（）

A.\AB\=x\+xi+2p

B.|明的最小值为2P

2

JcX1'X2=VP

D.以线段48为直径的圆与y轴相切

解：因为直线/过抛物线的焦点尸，由抛物线定义可得|AB|=xi+x2+p,A错误，

当直线轴时，|AB|有最小值且为2p,3正确,

由抛物线的方程可得尸(£■,0),

设直线/的方程为x=my+^,代入抛物线方程可得：/-2mpy-p2=0,

则匕丫2="2'所以'建2=1毕==，C正确，

4P24

=2

Xyi+yi—2mp,所以+x2m(y+y2)+p=(l+2m)p-

所以AB的中点的横坐标为要2,号L卫菱Lp(i+m2)，

2

则AB的中点到直线x=-]■的距离为卜叼.反专\=p(1+祥)，

即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，。错误，

故选：BC.

10.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，D,E,尸为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线AB与平面。EF平行的是()

A.B.

故A正确；

对于8,如图，取正方体所在棱的中点G,连接FG交延长，并A8延长线与H,

则AB与平面DEF相交于点H,故8错误；

对于C,AB//DF,ABC平面DEF,D/u平面OE尸，；.直线AB与平面。后尸平行，故C

正确；

对于。，AB与。尸所在平面的正方形对角线有交点8,QF与该对角线平行，

直线A8与平面。EF相交，故。错误.

故选：AC.

22

11.已知曲线C的方程为。^之匚二i（k€R）,则下列结论正确的是（）

k-26-k

A.当2VZV6,曲线C为椭圆

B.当&=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±JEx

C."4>6或A<2”是“曲线C为双曲线”的充要条件

D.不存在实数k使得曲线C为离心率为我的双曲线

解：对于A：当曲线C表示椭圆时，攵-2>0且6-攵>0,解得2<ZV6,

但左=4时，曲线。为N+y2=2,表示圆，故A错误；

对于B：当&=0时，曲线C为渐近线为丫=±劣=±咨=±。±,故

62bV2

B正确：

对于C：当曲线C为双曲线，则（k-2）（6-k）<0,解得ZV2或4>6,故C正确；

对于当曲线C为离心率为e=&的双曲线时，则“=江即|4-2|=|6-用，解得％=4,

经检验上=4时，曲线C表示圆，故。正确，

故选：BCD.

12.据《人民日报》报道，2020年10月份山东某城市在5天内完成了全城1000多万个检

测，创造了世界记录，也震惊了外媒.“中国速度”怎么做到的？其实真正的秘密在于

“混采检测”.某兴趣小组利用“混采检测”进行试验，已知10只动物中有1只患有某

种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下

面是两种化验方案：

方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止.

方案乙：先取5只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这5只动物的血液再逐个

化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的5只动物再逐个化验，直到查出患

病动物（）

A.若利用方案甲，平均化验次数为5.4

B.若利用方案乙，化验次数为3次的概率为0.2

C.若利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.1

D.方案乙比方案中更好

解：根据题意，依次分析选项:

选项4利用方案甲，设化验次数为X,则X可能取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,

所以P(X=l),P(X=2)X—P(X=3)X—X—

1010910109810

同理可得P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=—,

10

P(X=9)=112

1o

所以选项方案甲的平均化验次数为E(X)=(1+2+3+4+5+6+7+8)X优"+9X%=5.4,

A正确,

选项8：利用方案乙，化验次数为3次，有两种情况：

Cg11

①头5只均为阴性，则匕=T-XA六X^=今，

1「55410

L10

CgCj411

②头5只有阳性，贝IJP？=嗅工义言＞＜：=白，

z「55410

10

所以化验次数为3次的概率尸=表得女2,8正确，

选项C：由选项4的解析可得利用方案甲，化验次数为9次的概率为0.2,C错误,

选项。：利用方案乙，化验次数为X,则X取2,3,4,5,

41年1

p(x=2)=得＞＜卷1-乂卷=0.04，

「55rb5

Jovio

Cg431Cg431

P(X=3)=0.2,P(X=4)=-^-X^*X；X3+—^-xUx；X3=O.2，

「5543「5543

JoJo

P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.04-0.2-0.2=0.56,

所以E(X)=2X0.04+3X0.2+4X0.2+5X0.56=4.28,和选项A中的期望比较，利用方

案乙更好，。正确，

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆Ci：(x-2)2+(k1)2=1与圆C2：N+y2=4相交，则它们交点所在的直线

方程为2x+y-4=0

解：根据题意，圆Ci：(x-2)2+(y-1)2=1,即N+y2-4x-2y+4=0,

x2+y2=4,

f92

则有［X+Y⑷-2y+4=0,

,x2+y2=4

联立可得4x+2y-8=0,即2x+y-4=0,

故两圆交点所在的直线方程为2x+y-4=0.

故答案为：2x+y-4=0

14.中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等.学校

图书馆计划将这四本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有

36种（用数字作答）.

解：根据题意，分2步进行分析：

①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有C42c31=18种分法，

②剩下的2本安排给其余2人，有422=2种分法，

则有18X2=36种借阅方式，

故答案为：36.

15.在棱长为2的正方体ABCD-AiBiGDi中，E为BC的中点.则点E到体对角线BDi

的距离为巫.

-3-

解：如图，

连接8。|,EDi,构成三角形BEZZ,

22=yll2+(2^2)2BE=\,222

ED!=A/CE+CD1=3,BD[=^2+2+2=2V3>

32+12-(273)21

由余弦定理可得,

cos/BED]―2X3X1F

贝I」sinZBED1=/1-（二）2=与工

V33

则SABE%VX3X1X^=^'

设点E到体对角线BD^的距离为h,由等面积法可得：

yX2V3h=V2'即仁号

故答案为：返.

3

22

16.已知双曲线C：^y-^l（a>0,b>0）上一点P坐标为（泥，m）（m>0）,F为双

azbz

曲线。的右焦点，且P尸垂直于x轴.过点尸分别作双曲线。的两条渐近线的平行线,

它们与两条渐近线围成的图形面积等于1,则该双曲线的离心率是一代或亨

解:由题意知，a2+fe2=c2=5,

双曲线C的渐近线方程为y=+-X,

a

设过点P且与渐近线>=与平行的直线与渐近线y=-与相交于点4如图所示,

aa

直线AP的方程为y-m=^-（x-依），

a

将其与、二一与联立，解得*,产《b+am,即A（逗幽,二^竺吧）,

a2b2a2b2a

...QAIJ幽陋2倔+匹乙I倔-ami，上，

V、2b''2a'2ab

,j/5b।

点、P（炳，m）到直线y=-—X的距离为4=-/=^=匚」立b+理|

aLb、2一c

・・,所围图形面积等于1,

：.\OA^d=\,即-।"­""।♦°•」J'/?_"血I,=\,

2abc

化简得,|5Z?2-a2m2\=2ab,

_R2

•点P(J^，相)在双曲线上，即5按-〃2加2=〃2。2,

「bz

:.ab=2,

又出+加=5,.\a=l,人=2或。=2,b=l,

・•・离心率e=

故答案为：娓或零.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在(x+3)7的展开式中.

x

(1)求含2的项；

(2)求各项系数和与各项二项式系数和的比.

解：(1)由题意知

7-kkk7-2k

Tk+1=C7x(―)=C？3x.k€[0,1,2,3,4,5,6,7],

令7-2k=5,得&=1,

所以含X5的项为丁2=，；3。5=21乂5.

(2)令x=l得各项系数和为47,

又由题意知各项二项式系数和为27,

477

所以号=27=128，

27

所以各项系数和与各项二项式系数和的比为128.

18.有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙

箱中有3只红球，5只白球.

(1)随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；

(2)从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率.

解：(1)根据题意，记事件Ai：从甲箱中取一球为红球，事件A2：从乙箱中取一球为

红球，事件A3：从丙箱中取一球为红球，

记事件8：取得的三球都为红球，且事件4,A2,4相互独立，

所以P(B)=P(Ai)・P(A〉P(A3)d>4x。*,

1/J458160

所以三球都为红球的概率为；工.

160

(2)记事件C该球为红球，事件。1：取甲箱，事件。2：取乙箱，事件。3：取丙箱

因为)

p(c|Di-1,P(CID2)=|1P(C|D3)=1.

所以P(C)=P(£h)P(C|Di)+PCD2)P(C|£>2)+P(D3)P(C|£>3)=

11131349

■yxv-^-fvx—4--xv—=,

343538120

所以该球为红球的概率为黑.

120

19.在①C上的点4到0)的距离比它到直线乂=得的距离少1，

22

xy

@F是椭圆三一节一=1的一个焦点,

4P7P

@B(0,1),对于C上的点A,|A2|+|Afl的最小值为乎,

这三个条件任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,满足.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)D(2,>1)是抛物线C上在第一象限内的一点，直线/：y=x+加与C交于M,N两

点，若aOMN的面积为机2,求，"的值.

解：(1)选条件①：

由条件可解，A到点(/,0)的距离与到x=［的距离相等，

由抛物线的定义可得p=l,

所以抛物线C的方程为/=2r.

选条件②：

因为抛物线V=2px(p>0)的焦点坐标为管，0)

22

xy

所以由己知得椭圆々—『二1的一个焦点为噜，0).

7P7P2

所以3一L』一,又p>o,所以p=i,

4P2P4

所以抛物线C的方程为炉=2x.

选条件③:

由题意可知得，当凡A,B三点共线时，|而|+|研|=恒8|斐，

由两点间距离公式

解得p=l,

所以抛物线C的方程为/=2x.

(2)把。(2,y)代入方程产=2%,可得。(2,2),

设M(xi,y\),N(及，”)，

联立方程组消去y可得N+(2/n-2)"序=0,

由4=(2/77-2)2-4/n2>0,解得

=_=2

又知X[+x222m,x।x2m，

所以IMN|=V1+k2Ixi-x2I=V1+k2J(x]+X2)2-4xix2

V2V4-8m=2&{l_2m,

由。(2,2)到直线/的距离为d音鬻-猾"，

所以S&)MN卷X2&41-2m二

即41-2m=周,m^+2m-l=0>

解得in=-1-或m=-1+V2

经检验均满足△>(),

所以m的值为-1-J5或-1+72

20.在图1中，ZsABC和△4CO都是直角三角形，AB=BC=V6-/。。=30°,ZACD=

90°.将△ABC沿AC折起，使得A8_LBO,如图2.

(1)证明：平面ABCJ_平面ACD；

(2)若E,F分别为AO,CD的中点，求二面角B-EF-A的大小.

【解答】(1)证明：因为A8LBC且BCC8O=B,

所以面BCD,

因为COu面BCD,

所以4B_LC£>,

因为CDLACS.ABQAC^A,

所以面ABC,

因为CDc®ACD,

所以面48。_1_面ACD

(2)解：取AC的中点O,连接OB,则80J_AC,

因为面ABCJ_面ACC,面A8CD面ACO=AC,

所以BOL^ACD,

连接0E,则OE〃CC,

所以4C_LC。，

所以0E1AC.

以0为坐标原点，OE,0C,根的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系，

则0(0,0,0),B(O,0,®E(l,0,0),F(l,技0),

所以诬=S,0,«),BE=(1,0,-«)，EF=(O,如,0)>

显然OB是平面AEF的一个法向量.

设平面8EF的一个法向量为W=(x,y,z)，

/—•—♦

则r,<_n_-_B_E.=0,

n*EF=0

即产T,

[x-v3z=0

所以y=0,

令z=l,可得x=V^，

所以n=G/§,0,1)>

因为cos〈丽，三冷鸣二=杏=）

IOBI-In|V3-22

所以二面角4-EF-B的大小为60°.

21.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全

面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造

业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质

量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某企业生产流水线检测员每天随机从

流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一

级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的

100件产品的柱状图如图所示.

（1）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂

的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；

（2）现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取

3件，设取到二级品的件数为亭求随机变量J的分布列；

（3）已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进

行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产

品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8：2,若以该

生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.

80

70

60

50

40

30

20

10

一级二线三级级别

解：（1）抽取的100件产品是一级品的频率是=二,

10010

故从出厂的所有产品中任取1件，是一级品的概率是看，

设从出厂所有产品中随机选3件，至少有一件是一级品的事件为4.

O

7.3_973

31CTJ-1000'

（2）由题意可知10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，故W的取值范围

是｛0,1,2],

「3

C87

P(&=o)=-

Cl'

p(g=1)=

的分布列为:

012

p771

151515

（3）今年利润为：80x（常•X500-含'XZ。。-黑X1200）=1520C（万元），

OO

明年预计利润为：70X（^-X500-^X200）-2000=2320（（万元）

因为23200>15200,

所以该升级方案合理.

22r~

22.已知椭圆C：l（a>b>0）的离心率为乂2,过椭圆C的左焦点Q（-c,0）