数列的概念(基础)

PAGEPAGE1数列的概念与简单表示法 要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：，，，…，，…，或简记为.其中是数列的第项.要点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项.要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.要点三、数列的通项公式与前n项和数列的通项公式：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：，，，…的通项公式为（）；，，，，…的通项公式为（）；，，，，…的通项公式为（）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.（3）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．数列的前项和通常用表示，即…；与的关系：当时，；当时，故.要点四、数列的表示方法通项公式法（解析式法）：数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，数列是一种特殊的函数.列表法列表法就是通过列出表格来表示项数与项的关系，即项数123……项……图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点；所得的数列的图形是一群孤立的点。递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如：数列：-3，1，5，9，13，…，可用递推公式：表示。数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用递推公式：表示。要点五、数列与函数数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。（1）数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。（2）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点（3）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.【典型例题】类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:(1)0,,,,…；(2)1,,,,…；(3)9,99,999,9999,…；(4)6,1,6,1,….解：（1）将数列改写为，，，，…，故.（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.（3）将数列改写为,,,，…，故.（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列,-,,-,…，故或写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；②注意在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2).③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：数列-1，1，-1，1，…的通项公式为；数列1，2，3，4，…的通项公式为；数列1，3，5，7，…的通项公式为；数列2，4，6，8，…的通项公式为；数列1，4，9，16，…的通项公式为；数列1，，，，…的通项公式为。【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,1,1,1,…；(2)-1,1,-1,1,…；(3)1,-1,1,-1,…；(4),…；(5)2，0，2，0，….解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；类型二：通项公式的应用例2．已知数列的通项公式,试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？(1)；(2).解：（1）设,解得.故94是数列的第32项.（2）设，解得.故71不是数列的项.判断某数是不是数列的项，一般是假设是它的项，去求相应的项数，看是不是正整数.若是就是它的项，若不是正整数就不它的项.【变式1】数列的通项公式为它的前8项依次为解：【变式2】已知数列的通项公式,（1）若，试问是第几项？（2）56和28是否为数列的项？解：（1）98项；（2）56是，28不是.类型三：递推公式的应用例3.设数列满足：，，写出这个数列的前五项。解：据题意可知：，，，，故数列的前5项为:，，，，.递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。【变式1】已知数列满足：，，，写出前6项.解：，，，，，.【变式2】已知数列满足：，，写出前5项，并猜想．解：，，，观察可得类型四：前项和公式与通项的关系例4．已知数列的前项和公式，求通项.（1），(2).解：(1)当时，，当时，，∴(2)当时，，当时，，∴()为所求.已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.【变式1】已知数列的前n项和为，且，又则。解：因为解得又解得1.【变式2】已知数列的前项积，求通项解：当时，，当时，，∴.【巩固练习】选择题1.数列1,2,4,8,16,32，……的一个通项公式是（）A.B.C.D.2.已知数列……，则0.96是该数列的（）A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项3．已知数列的通项公式：则a2·a3等于（）A．70 B．28C．20 D．84．已知an＝n2＋n，那么()A．0是数列中的项 B．20是数列中的项C．3是数列中的项 D．930不是数列中的项5．设数列，，，，…则是这个数列的()A．第6项 B．第7项C．第8项 D．第9项填空题6.已知数列的前n项和Sn=3+2n,则an=__________.7.已知数列前n项和Sn=5n2-n,则a6+a7+a8+a9+a10=_________.8.已知数列中，,.那么数列的前5项依次为_________.9.数列{an}的通项公式an=n2+n+1;则273是这个数列的第_______项.10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:(1),-,,-,；.(2),,,,;.(3)5,55,555,5555,;.(4)3,5,3,5,..解答题11．已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n，求an.12．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1)＝0,＝＋(2n－1)()；(2)＝3,＝3－2().【答案与解析】1.答案：B解析：容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，故，故选B.2.答案：C解析：易知数列的通项公式，把0.96化为通项的形式，故n=243.答案：C解析：a2＝2×2－2＝2a3＝3×3＋1＝10a2·a3＝20.故选C.4.答案：B解析：令n2＋n＝0，得n＝0或n＝－1，∵n∉N*，故A错．令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，∴a4＝20.故B正确．令n2＋n＝3，即n2＋n－3＝0.∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．令n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a30＝930，故D错．5.答案：B解析：该数列通项公式为.令，得n＝7.6.答案：;解析：利用可求，另n=1时，∴7.答案：37