2023-2024学年高二数学2019选择性试题3.2双曲线

3.2双曲线一、单选题1．已知椭圆和双曲线有相同焦点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得椭圆的半焦距为，双曲线的半焦距为，所以.故选：A2．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A3．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,双曲线的实轴,,,,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.故选：B4．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.则，因为点在双曲线上，所以，则，又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，所以，解得.故选：C.5．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C6．设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，故选：B7．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，渐近线方程为，其中一条为，于是有，，∴，∴渐近线方程为．故选：C．8．方程－＝12的化简结果为（

）A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1(x＞0) D．－＝1(x＞0)【答案】C【解析】解：设A(−10,0)，B(10,0)，，由于动点P(x,y)的轨迹方程为－＝12，则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a=12，c=10，则，故P的轨迹的标准方程为－＝1(x＞0).所以原方程可以化简为－＝1(x＞0).故选：C二、多选题9．已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是（）A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4C．离心率为 D．渐近线方程为【答案】BD【解析】∵双曲线C：∴..∴∴.∴双曲线的实轴长是，虚轴长是，A错误；焦距为.B正确；离心率为，C错误：渐近线方程为，D正确.故选：BD10．已知圆：和圆：则（

）A．两圆相交 B．公共弦长为C．两圆相离 D．公切线长【答案】AB【解析】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为圆的标准方程为：，圆心为（3，1）半径为所以两圆心的距离：，两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：，选项B正确，选项D错误.故选：AB11．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（

）A．的实轴长为6B．的渐近线为C．的最小值为D．的最小值为【答案】ACD【解析】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.故选：ACD.12．已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（

）A．若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为B．若曲线的离心率，则C．若，则曲线上不存在点，使得D．若为上一个动点，则面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，故B选项正确；对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.故选：ABD三、填空题13．双曲线的焦距为4，且其渐近线与圆相切，则双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】因为双曲线的焦距为4，所以．由双曲线的两条渐近线与圆相切，可得．又，所以，，所以双曲线的标准方程为．故答案为：14．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为_________.【答案】【解析】依题意，设双曲线方程为：，于是得，则有，所以双曲线的标准方程为.故答案为：15．若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】解：由题意得：是已知双曲线的左焦点，即双曲线方程为设点，则有，解得，，根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增当时，取得最小值，故答案为：16．已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.【答案】【解析】因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，令，则，，，又，在中，，即，在中，，即于是得，解得，即，所以双曲线的渐近线的斜率为.故答案为：四、解答题17．解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．【解析】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．所以，双曲线的方程为．（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为．18．根据下列已知条件求曲线方程.(1)求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；(2)求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.【解析】(1)设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：点，在双曲线上，所求双曲线方程为：，即.(2)若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为.若焦点在轴上，设方程为代入点，得，.19．已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的方程；（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．【解析】（1）由双曲线的方程可得，在直角三角形中，，，可得，且，解得，又，所以，则双曲线的方程为；（2）由题意可得直线的斜率存在，设为，直线的方程为，联立，可得，，解得设，的横坐标分别为，，则由、中点的横坐标为1，可得，解得或（舍去），所以直线的方程为；（3）证明：设，则，由，解得，由，解得，所以，即．20．已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意，得双曲线的渐近线方程为，右顶点为.又，且，所以，故.又，解得，所以双曲线的方程为.(2)设.当直线和轴线平行时，，解得，所以点到直线的距离为.当直线和轴线不平行时，设直线的方程为，由得，，所以.又，所以，得，解得.又点到直线的距离为，则，故，所以点到直线的距离为定值.21．已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．【解析】（1）因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以，将点代入椭圆方程得，联立两式解得，，，所以椭圆的标准方程为：．（2）依题意，直线AB：，则点坐标为，直线与直线不重合，于是得直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得，设，，，则，，由，，共线得：，即：，同理，由，，共线得：，两式相减并整理得，，从而得，解得，综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动．22．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整