2022-2023学年湖南省衡阳某中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳实验中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中：®2x-1=5；（2）4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；

⑥2M-5x-1.是方程的是（）

A.①④B.①②⑤C.①④⑤D.①②④⑤

2.若％=-1是方程2x+m-6=0的解，则m的值是（）

A.-4B.4C.-8D.8

3.解方程R1一号时，去分母正确的是（）

A.5x=1-3（x-1）B.x=1—（3%—1）

C.5x=15-3（x-l）D.5%=3-3（x-1）

4.下列说法中，正确的是（）

A.<2，，耳，门都是无理数B.绝对值最小的实数是0

C.实数分为正实数和负实数两类D.无理数包括正无理数、负无理数和零

5.如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

6.从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是（）

A.1,3,5B.1,3,7C.1,5,7D,3,5,7

7.不等式组已无佟：的解集在数轴上表示正确的为（）

vo—41X<U

8.能够铺满地面的正多边形组合是（）

A.正六边形和正五边形B.正方形和正八边形

C.正五边形和正八边形D.正三角形和正八边形

9.如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、

沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”.桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥

面，形成悬索体系使其更加稳固.其中运用的数学原理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点确定一条直线

C.两点之间，线段最短D.三角形的两边之和大于第三边

10.定义a曰b=2a+b,贝D方程3@x=4回2的解为（）

A.x=4B.x=—4C.x=2D.x=—2

11.如图，小亮从4点出发，沿直线前进10m向左转30。再沿直线

前进10小，又向左转30。，照这样走下去，他第一次回到出发地4点

时，一共走了（）

A.100m

B.110m

C.120m

D.130m

12.如图，将△ABC绕点4逆时针旋转一定角度，得到△力DE.若

/.CAE=65°,乙E=70°,且401BC,NB4C的度数为（）

A.60°

B.75°

C.85°

D.90°

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.已知方程3x-y=2,用含x的代数式表示y,则y=

14.9的算术平方根是.

15.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送25件，还剩10件；若每

个快递员派送28件，还差50件.设该分派站有x名快递员，则可列方程为.

16.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，贝叱1+43=

17.如果不等式（a-3）x>5的解集是x〈言，那么a的取值范围是.

18.如果x是一个有理数，我们把不超过久的最大整数记作[幻.例如，[3.2]=3,[5]=5,

[-2.1]=-3,那么,x=[x]+a,其中0<a<1.例如,3.2=[3.2]+0.2,5=[5]+0,-2.1=

[-2,1]+0.9.现有3a=[x]+1,则x的值为.

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题6.0分）

解方程组：户到=%

（x-y=1②

20.（本小题6.0分）

r3x—15x—1«

解不等式组：厂一'.

12%—1<3（%+1）

21.（本小题8.0分）

甲车从4地开往8地，乙车从B地开往4地，两车同时出发，沿着4B两地间的同一条笔直的

公路匀速行驶，出发1小时后两车相距48千米，又过1小时，两车又相距48千米，且此时两车

均未到达终点，求4B两地间的距离.

22.（本小题8.0分）

已知方程组+[y=m的解满足x+y的值为正数，尤一丫的值为负数.

[8%+5y=1—3m\2）

（1）求m的取值范围；

（2）化简：|m-4|-|7n+4|.

23.（本小题8.0分）

某中学为落实瞰育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知》文件要求，决

定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，己知购买2个篮球和3个足球共

需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元.

(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；

(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元.那么

有哪几种购买方案？

24.(本小题8.0分)

阅读探索：

小明在解方程组［黑一?2=之时发现若设a-1=x,b+2=y,

则方程组可变为J?］：22,解此方程组得：匕：；2,

即［：二］=六所以

3+2=23=0

［(2-1)+2(1+2)=4

(1)请你模仿运用上述方法解下列方程组｛3J.

(2(1-1)+(|+2)=5

(2)若已知关于x、y的方程组｛：：：徵二::的解是请直接写出关于m、n的方程组

跳叱式黑夕一的解.

(,5a2(Tn+3)+3D2(n-2)=c2

25.(本小题10.0分)

在△48C中，々1BC与乙4cB的平分线相交于点P.

(1)如图1,若乙4=80。，求4BPC的度数；

(2)如图2.作AABC外角NMBC,NNCB的平分线，相交于点。试探索NBQC与〃之间的数量关

系；

(3)如图3,在图2中延长线段8P,QC.交于点E,若在A8QE中，存在一个内角等于另一个内

角的2倍，求/A的度数.

26.(本小题12.0分)

如图，有一副直角三角板如图1放置(其中ND=45。，ZC=30°),PA,PB与直线MN重合,

且三角板P4C,三角板PB。均可以绕点P逆时针旋转.

(1)在图1中，Z.DPC=；

(2)①如图2,若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10。/秒，转动

一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC〃DB成立；

②如图3,在图1基础上，若三角板P4C的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3。/秒，

同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2。/秒，当PC转到与PM位置

重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当4CPD=NBPM时，求旋转的时间是多少？

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键.

根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可.

【解答】

解：①2万-1=5符合方程的定义，故本小题符合题意；

②4+8=12不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；

③5y+8不是等式，故本小题不合题意；

④2x+3y=0符合方程的定义，故本小题符合题意；

⑤2a+1=1符合方程的定义，故本小题符合题意；

⑥27-5%-1不是等式，故本小题不合题意.

故选：C.

2.【答案】D

【解析】解：把x=-1代入方程2x+m-6=0,

可得：2X(—1)+771—6—0,

解得：m=8,

故选：D.

根据方程解的定义，把％=-1代入方程2x+m—6=0,可解得m.

本题主要考查方程解的定义，解题的关键是把方程的解代入方程得到所求参数的方程.

3.【答案】C

【解析】解：楙=1一^^，

去分母，方程两边同乘15得：

5%=15-3(%-1),

故选：C.

按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：A.，五，R,=2,其中「是有理数，故此选项不合题意；

区绝对值最小的实数是0,故此选项符合题意；

C.实数分为正实数和负实数、零，故此选项不合题意；

。.无理数包括正无理数、负无理数，故此选项不合题意.

故选:B.

直接利用实数的分类以及无理数的分类、无理数的定义分别判断得出答案.

此题主要考查了实数的性质，正确掌握无理数以及实数的分类是解题关键.

5.【答案】C

【解析】解：4原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；

。.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对

称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

6.【答案】D

【解析】解：4、1+3<5,三条线段不能围成三角形，故A不符合题意；

1+3<7,三条线段不能围成三角形，故B不符合题意；

C.1+5<7,三条线段不能围成三角形，故C不符合题意；

。、3+5>7,三条线段能围成三角形，故。符合题意.

故选：D.

运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条

线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形.

本题主要考查了三角形的三边关系，用到的知识点为：组成三角形的两条小边之和大于最大的边.

7.【答案】B

【解析】解：由2x-2W4得：x<3,

由8-4x<0得：x>2,

则不等式组的解集为2<xW3,

将解集表示在数轴上如下：

-101234

故选：B.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：4、正六边形的每个内角是120。，正方形的每个内角是90。，120m+90n=360。，

显然n取任何正整数时，小不能得正整数，故不能铺满；

B、正五边形每个内角是180。-360。+5=108。，正八边形每个内角为135度，135m+108n=

360°,显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；

C、正方形的每个内角为90。，正八边形的每个内角为135。，两个正八边形和一个正方形刚好能铺

满地面；

。、正三角形每个内角为60度，正八边形每个内角为135度，135巾+108n=360。，显然n取任何

正整数时，m不能得正整数，故不能铺满.

故选：C.

能够铺满地面的图形，即是能够凑成360。的图形组合.

此题考查的是平面镶嵌，掌握好平铺的条件，算出每个图形内角和即可.

9.【答案】4

【解析】解：桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固.其中运用的数

学原理是：三角形具有稳定性.

故选：A.

由三角形具有稳定性，即可得到答案.

本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性.

10.【答案】A

【解析】解：根据题中的新定义得：

,:3团£=2X3+x,

402=2x4+2,

3团x=41212,

二2x3+x=2x4+2,

解得：x=4.

故选:A.

利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值.

本题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键.

I1.【答案】C

【解析】解：•••小亮每次都是沿直线前进10m后向左转30度，

・,.他走过的图形是正多边形，

.♦•边数71=360°+30°=12,

•・•他第一次回到出发点4时，一共走了12X10=120m.

故选：C.

根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360。除以30。求出边数，然后再乘以10m即可.

本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360。；根据题意判断出小亮走过的图形是

正多边形是解题的关键.

12.【答案】C

【解析】解：根据旋转的性质知，/.EAC=^BAD=65°,"=4E=

7°°-

如图，设AD工BC于点F.则N4FB=90。，/

.•.在RtAABF中，=90。一484。=25。，1/

-—人

二在4ABC中，Z.BAC=180°一4B-AC=180°-25°-70°=85°,

即NBAC的度数为85。.

故选：C.

根据旋转的性质知，旋转角4E4C=4840=65。，对应角4c=4E=70。，则在直角AABF中易

求NB=25°,所以利用△力BC的内角和是180。来求乙B4C的度数即可.

本题考查了旋转的性质.解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余

的性质来求相关角的度数的.

13.【答案】3x-2

【解析】解：方程3x-y=2,

解得：y=3x-2.

故答案为：y=3x-2.

将x看作己知数求出y即可.

此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出外

14.【答案】3

【解析】解：因为32=9,

所以9的算术平方根是3.

故答案为：3.

根据算术平方根的定义解答即可.

本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数.

15.【答案】25x+10=28x-50

【解析】解：根据题意得25x+10=28x-50.

故答案为：25尤+10=28x-50.

根据“若每个快递员派送25件，还剩10件；若每个快递员派送28件，还差50件”，即可得出关于

X的一元一次方程，求出答案.

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键.

16.【答案】90°

【解析】解：观察图形可知：KABEABDE,

・•.z.1=zJDBE,

又・・・4。3£1+43=90。，

・•・41+43=90°.

故答案为：90°.

观察图形可知41与43互余，利用这一关系可解此题.

本题考查了全等图形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

17.【答案】a<3

【解析】解：由题意可得a-3<0,

•••a<3.

故答案为：a<3.

由题意可得a-3<0,所以a<3.

本题考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键.

18.【答案]一1或;或日

【解析】解：x=[x]+a,其中04a<1,

•••[x]=x-a,

3a=[x]+1,

"a-3'

v0<a<1,

0<^<1,

・•・-1<[%]<2,

A[x]=­1,0,1,

当[%]=-1时，Q=0，x=-1

当［x］=0时，a=g,x=I；

当［用=1时，a=|,x=1|；

•••x=-1或3或1|.

故答案为：-1或5或1g.

根据3a=［x|+l,表示a,再根据a的范围建立不等式求x的值.

本题考查了不等式的应用和新定义的理解和运用，正确理解［幻表示不超过x的最大整数是关键，

有难度.

19.【答案】解：2+3y=#.

(x-y=1(2)

①-②，可得：4y=2,

解得y=：

把y=3弋入②，解得x=|,

(3

原方程组的解是《X=；5.

(y=2

【解析】利用加减消元法，求出方程组的解即可.

此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入

消元法和加减消元法的应用.

20.【答案】解：由蟹一早W2得：x>-13,

由2x-1<3(x+1)得：%>-4,

则不等式组的解集为x>-4.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

21.【答案】解：设4,B两地间的距离为x千米,

根据题意得：望=等，

解得：x=144.

答：A,8两地间的距离为144千米.

【解析】设4,8两地间的距离为x千米，利用速度=路程+时间，结合甲、乙两车的速度之和不变,

可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

22.【答案】解:(1)f5x+8y=m+5@

+5y=1-3m(2)

①+②得13x+13y=6-2m,即％+y=

4+m

(2)—①得3%—3y=—4—4m,即％—y=—^f

・・,x+y的值为正数，％-y的值为负数，

.号F>。

—1<m<3,

故m的取值范围是一1VmV3；

(2)v—1<m<3,

A|m—4|—|m+4|

=4—m—(m+4)

=—2m.

【解析】(1)首先对方程组进行化简求值，根据方程的解满足的条件得到关于m的不等式组，然后

求解即可得出租的范围；

(2)根据(1)化简绝对值即可求解.

此题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组解集的求法及绝对值的化简，其一元

一次不等式组解集的求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小

小大中间找，大大小小找不到(无解).

23.【答案】解：(1)设篮球的单价为a元，足球的单价为b元,

由题意可得推：湍

解得仁螳，

答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元;

(2)设果购篮球m个，则果购足球为(50-m)个,

要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元,

(m>30

(120m+90(50-m)<5490,

解得30<m<33,

m为整数，

m的值可为30,31,32,33.

答：共有四种购买方案,

方案一：采购篮球30个,采购足球20个;

方案二：采购篮球31个，采购足球19个;

方案三：采购篮球32个，采购足球18个:

方案四：采购篮球33个，采购足球17个.

【解析】(1)根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元;购买3个篮球和5个足球共需费用810元,

可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

(2)根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5490元，可以列出相应的不等式组，从而可以求

得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案.

本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出

相应的方程组和不等式组.

24.【答案】解：(1)设g-l=x,g+2=y,

则方程组可变为《二:，

解此方程组得：以二:，

艮归所以真.

(2)设5(771+3)=x,3(71-2)=y,

则原方程组可变形为『1":=R，

ka2x+b2y=c2

••・关于小y的方程组匿:可：：；的解是｛；：：，

(5(m4-3)=3

A(3(n-2)=4,

fm=-T

解得_io5-

ln

【解析】(1)用换元法解方程组；

(2)结合换元法，利用已知方程组的解分析计算.

本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.

25.【答案】解：(1)/-A=80°.

4ABC+Z.ACB=100°,

•••点P是乙4BC和乙4cB的平分线的交点,

4P=180°-^(AABC+AACB)=180°-1x100°=130°,

(2)♦.•外角ZMBC,4NCB的角平分线交于点Q,

•••Z.QBC+“CB=(NMBC+乙NCB)

=1(360°-4ABC-乙ACB)

=1(180°+z^)

=90°+*4,

•••“=180°-(90°+*)=90°-力；

(3)延长8c至尸，

•••CQ为AABC的外角NNCB的角平分线，

CE是△4BC的外角4CF的平分线，

Z.ACF=2Z.ECF,

vBE平分Z4BC,

・・・Z,ABC=2(EBC,

,/Z-ECF=Z-EBC4-乙E,

24ECF=24EBC+2乙E,

即乙4CF="BC+24E,

又；4ACF=/.ABC+“

.•.44=2",即

VZ-EBQ=Z-EBC+乙CBQ

1i

=1(/ABC+NA+"CB)=90°.

如果ABQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：

①4EBQ=2/.E=90°,则"=45°,乙4=2"=90°；

②乙EBQ=2/Q=90°,贝此Q=45°,乙E=45°,Z.A=2/E=90°；

③NQ=2/E,则90。一；U=Z.A,解得44=60°；

④NE=2/Q,贝心44=2(90。一；44),解得=120。.

综上所述，44的度数是90。或60。或120。.

【解析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出4PBe+乙PCB,进而求出NBPC

即可解决问题；

(2)根据三角形的外角性质分别表示出4MBe与N8CN,再根据角平分线的性质可求得NCBQ+

乙BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解；

(3)在ABQE中，由于NQ=90。一：乙4,求出4E=g乙4,/-EBQ=90°,所以如果ABQE中，存在

一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①4EBQ=2LE=90°；②乙EBQ=

2Z.Q=90°；