江西省吉安市多校联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（含答案解析）

江西高二3月联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册，选择性必修第二册第一章第1节~第3节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据数列中数据特征得到通项公式.【详解】由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，数值4，7，10，13，…满足，所以通项公式可以是．故选：B．2.对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据各图中点的分布，分析变量的相关关系即可.详解】A：各点分布没有明显相关性，不符；B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合；C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符；D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符.故选：B3.已知等比数列满足，，则数列前7项的和为（）A.256 B.255 C.128 D.127【答案】D【解析】【分析】根据等比数列通项公式，建立基本量的方程组求解，再应用前项和公式即可得.【详解】设等比数列的公比为，因为，，可得解得，，所以数列前项的和.故选：D.4.已知随机变量，则（）注：若，则.A.0.3413 B.0.4772 C.0.1359 D.0.06795【答案】C【解析】【分析】求出和即可求出.【详解】因为，，所以.故选：C.5.已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，所以.所以，所以（当且仅当时等号成立）.所以.即的最小值为1.故选：A6.已知点和圆，一束光线从点P出发，经过直线反射后到达圆C上一点的最短路程是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】求出点关于直线对称点的坐标，然后根据最短路程为即可得解.【详解】解：设点关于直线的对称点为，则，解得，所以点关于直线的对称点为，由题可知圆的圆心为，半径，最短路程即为．故选：B．7.已知，数列的前项和为，则（）A.8096 B.8094 C.4048 D.4047【答案】D【解析】【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可.【详解】由，得,,又，所以，所以.故选：D.8.将字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，若共有行字母相同，则得分，则所得分数的均值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出随机变量的可能取值，再结合排列、组合及古典摡型的概率求得各个值对应的概率，利用期望的公式，即可求解.【详解】字母放入的表格中的不同结果有种，随机变量的可能的取值为，可得，则，所以随机变量的期望为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.公式中的和不具有线性相关关系B.已知变量的对数据为，则回归直线可以不经过点，其中C.若相关系数绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强D.对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据线性相关的定义进行判断；B选项，回归直线一定经过样本中心点；C选项，由相关系数的性质进行判断；D选项，根据的定义判断D正确.【详解】A选，公式中的和为二次函数关系，故不具有线性相关关系，A正确；B选项，回归直线一定经过样本中心点，即，B错误；C选项，若相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；D选项，对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，D正确.故选：ACD10.已知随机事件的对立事件分别为，若，则（）A.B.C若独立，则D.若互斥，则【答案】ACD【解析】【分析】根据条件概率的性质及独立事件、互斥事件的概念，逐个分析判断即可.【详解】对于A，，所以A正确；对于B，，所以B错误；对于C，若独立，则，所以，所以C正确，对于D，若互斥，则，所以，，所以，所以D正确，故选：ACD11.已知数列满足，，数列的前项和为，记，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】直接求出的值，可判断A选项；推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可判断B选项；分、两种情况讨论，求出数列的通项公式，可判断C选项；分、两种情况讨论，利用奇偶分组求和法可判断D选项.【详解】因为数列满足，，则，，A错；因为+2，所以，又因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，B对；当时，，当时，，所以，故C正确；当时，，当时，，所以，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为______.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算,即可得出答案.【详解】的展开式的通项公式，当即时，故的展开式中的常数项为.故答案为：13.2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，则由已知得，，所以由全概率公式得,故答案为：14.已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2024项的和为__________.【答案】7891【解析】【分析】依题意，确定数列的前2024项所包含数列的项，以及中间插入2的数量即可求和.【详解】在数列中，在的前面的所有项的项数为，当时，，即在的前面的所有项的项数为2015，又在与之间共有63个2，所有数列的前2024项中包含数列的项有63项，中间插入2的数量为，所有数列的前2024项和为.故答案为：7891.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，，且.（1）求的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可;（2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可.【小问1详解】因为，所以，所以，所以是公差为2的等差数列，又，所以，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，.又，所以.16.如图1，在矩形中，，点分别是上一点，且，过点作于点，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取的中点，连接.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】16.17.【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系利用空间向量法求解线面角；（2）利用空间向量法即可求解面面角.【小问1详解】根据题意，两两互相垂直，如图以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】设平面的一个法向量，又，，则，令，则，，，又面的一个法向量为，，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.17.在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，点，分别在轴和轴上运动，点关于的对称点为.（1）求动点的轨迹方程；（2）若过点的直线与点的轨迹交于，两点，，求直线，的斜率之和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式可得，，再由结合向量的数量积可求出动点的轨迹方程；（2）由题意设直线的方程为，，，表示出和，再将直线方程代入抛物线方程，化简后利用根与系数的关系，然后计算化简与的和即可.【小问1详解】设，，，由点关于的对称点为，得为的中点，所以，，即，.又，所以，即，化简，得，又，不重合，所以，，故动点的轨迹方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在，故设直线的方程为，，，则，，由，得，所以，，，所以.18.某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生：评分分组70分以下人数3273832女生：评分分组70分以下频数5353426学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．（1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？满意不满意总计男生女生总计（2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望．附：，其中．0.10.050.012.7063.8416.635【答案】（1）列联表见详解；没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联（2）【解析】【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出卡法，判定是否独立；（2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可．【小问1详解】依统计表可得列联表如下：满意不满意总计男生7030100女生6040100总计13070200则，故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联．【小问2详解】男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则为0，1，2，3．则，，，，所以的分布列为0123P故19.冗余系统是指为增加系统的可靠性，而采取两套或两套以上相同､相对独立配置的设计.冗余系统因为前期投入巨大，后期的维护成本高，所以只有在高风险行业应用比较广泛，如：金融领域､核安全领域､航空领域､煤矿等领域.某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，升级后的设备控制系统由偶数个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于一半的元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行.记有个元件组成时设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由4个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由6个元件组成时设备正常运行的概率）.（1）若，求；（2）已知升级后的设备控制系统原有个元件，现再增加2个相同的元件，若对都有，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)正常工作的元件个数X服从于二项分布，利用概率公式求；(2)分情况讨论原系统中正常工作的元件个数，计算，由求的取值范围.【小问1详解】因为，所以控制系统中正常工作的元件个