3.3 立方根（6大题型）（分层练习）（解析版）

3.3立方根（6大题型）分层练习题型目录考查题型一立方根概念理解考查题型二求一个数的立方根考查题型三已知一个数的立方根，求这个数考查题型四立方根的实际应用考查题型五算术平方根和立方根的综合应用考查题型六计算器——平方根和立方根考查题型一立方根概念理解1．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别根据乘方的定义，立方根的定义，算术平方根的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A.，故原选项计算错误，不合题意；B.，故原选项计算正确，符合题意；C.，故原选项计算错误，不合题意；D.，故原选项计算错误，不合题意．故选：B【点睛】本题考查乘方的定义，立方根的定义，算术平方根的定义，熟知相关知识，能正确对各项进行化简是解题关键．2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（

）A． B．0 C．1 D．0和1【答案】B【分析】根据平方根和立方根的定义，即可解答．【详解】解：0的平方根和立方根相同．故选：B．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．3．（2023春·湖北·七年级统考期末）一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方根等于它本身，这个数是；一个数的立方根等于它本身，这个数是．【答案】0，1；0；0，1，−1【分析】利用平方根，平方根，以及立方根定义判断即可．【详解】一个数的平方根等于它本身，这个数是0，1；一个数的平方根等于它本身，这个数是0；一个数的立方根等于它本身，这个数是0，1，−1；故答案为：0，1；0；0，1，-1．【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及立方根根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为．

【答案】1【分析】根据数轴上点的位置确定出，的正负，原式利用绝对值的代数意义，立方根及算术平方根性质计算即可求出值．【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且，，，则原式．故答案为：1．【点睛】此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．5．（2023春·河北张家口·七年级统考期末）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．(1)求a，x，y的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，，(2)5【分析】（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；（2）先求出代数式的值，然后怎根据算术平方根的定义进行求解即可．【详解】（1）解：依题意，得，解得，∴，，∴．∵负数y的立方根与它本身相同，∴；（2）解：当，时，，∴的算术平方根为5．【点睛】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．考查题型二求一个数的立方根1．（2023春·福建福州·七年级统考期中）下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用算术平方根和立方根的性质逐项判断即可．【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；B、，故此选项计算错误，不符合题意；C、，故此选项计算错误，不符合题意；D、，故此选项计算正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义与性质．2．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）已知x是5的算术平方根，则的立方根是（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用算术平方根的意义求得x值，再利用立方根的意义解答即可．【详解】解：∵x是5的算术平方根，∴，∴，的立方根是，故选：D【点睛】本题主要考查了立方根的意义和算术平方根的意义，熟练掌握实数定义与法则是解题的关键．3．（2023春·辽宁大连·七年级统考阶段练习）的立方根是，的绝对值是．【答案】2【分析】根据算术平方根、立方根以及绝对值的定义解答即可．【详解】解：，∴的立方根是2，的绝对值是．故答案为：2，．【点睛】本题考查了实数的性质，掌握算术平方根、立方根以及绝对值的定义是解题的关键．4．（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）若，则．【答案】【分析】先求的值，再求出立方根即可．【详解】解：∵，∴，当时，；当时，；故答案为：．【点睛】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握平方根和立方根的定义，正确的计算，是解题的关键．5．（2023春·河北承德·七年级校考阶段练习）（1）一个正数x的平方根是和，求x的立方根．（2）已知，求的算术平方根．【答案】（1）x的立方根是4；（2）的算术平方根为6．【分析】（1）根据平方根的和为零，可得一元一次方程，根据解方程，可得a的值，根据平方运算，可得这个数，根据开立方运算，可得答案；（2）首先根据非负数的性质列方程组求得a和b的值，然后求解．【详解】解：（1）由题意得：，∴，∴这个正数的一个平方根是：，∴，∵，∴x的立方根是4；（2）∵，∴，解得，∴，∴的算术平方根为．【点睛】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，非负数的性质，几个非负数的和等于0，则每个数是0，初中范围内的非负数有：数的偶次方、绝对值以及算术平方根．考查题型三已知一个数的立方根，求这个数1．（2023秋·山东枣庄·八年级滕州育才中学校考开学考试）若一个数的立方根是2，则这个数的平方根是（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【分析】根据一个数的立方根是2，先求出这个数，然后再求出这个数的平方根即可．【详解】解：∵这个数的立方根是2，∴这个数为，∴这个数的平方根是，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，求出这个数为8．2．（2023·浙江·七年级假期作业）若，，则x为（

）．A．214 B． C．2140 D．【答案】A【分析】将变形为，结合已知等式即可求解．【详解】解：∵，又，∴，∴，又，∴．故选：A．【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解．3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）已知的立方根是3，，则＝．【答案】1或3/3或1【分析】根据题意求出，的值，代入即可求解．【详解】解：的立方根是3，，，，，当，时，；当，时，；综上，的值为1或3，故答案为：1或3．【点睛】本题考查平方根与立方根，掌握开方与乘方之间的关系是关键．4．（2023春·四川南充·七年级校考期中）已知x的平方根是，y的立方根是3，则．【答案】【分析】根据的平方根是，的立方根是3，求出，的值，再求的值．【详解】解：的平方根是，的立方根是3，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平方根，立方根的定义，掌握平方根、立方根与平方、立方互为逆运算是解题的关键．5．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）已知的立方根是，的算术平方根是．(1)求，的值．(2)求的平方根与立方根．【答案】(1)，(2)的平方根为，立方根为【分析】（1）直接根据立方根与算术平方根的定义，列方程，求解即可；（2）直接将，；代入计算，再求平方根和立方根即可．【详解】（1）解：依题意，得，解得，，即，解得．（2），∴，，∴的平方根为，立方根为．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．考查题型四立方根的实际应用1．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）已知甲、乙两个立方体，甲的体积是乙体积的8倍，则甲的棱长是乙的棱长的（）A．8倍 B．2倍 C．4倍 D．倍【答案】B【分析】设乙的体积是x，甲的体积是，直接开立方求得甲和乙的棱长，即可求解．【详解】解：设乙的体积是x，甲的体积是，∴甲的棱长是，乙的棱长为，∴甲的棱长是乙的棱长的2倍，故选：B．【点睛】本题考查立方根的概念的应用，熟练掌握开立方的运算求棱长是解题的关键．2．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）若有个大的正方体木块，现把这个木块分割成个大小相同的小正方体木块，则的值可以是（

）A．26 B．27 C．28 D．29【答案】B【分析】根据开立方运算，可得答案．【详解】解；A、是无理数，故本选项不符合题意；B、，故本选项符合题意；C、是无理数，故本选项不符合题意；D、是无理数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了立方根的应用，能开立方是解题关键．3．（2023春·陕西安康·七年级统考期中）如图，有一个体积为的正方体“魔方”，则“魔方”的棱长为．

【答案】【分析】根据立方根的定义，即可求解．【详解】解：∵正方体“魔方”体积为∴“魔方”的棱长为，故答案为：．【点睛】本题考查了立方根的应用，熟练掌握求一个数的立方根是解题的关键．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则cm．【答案】4【分析】根据是两个立方体放入水中后水位上升的高度，利用水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积，列式进行计算即可．【详解】解：由题意得：，解得：；故答案为：4．【点睛】本题考查立方根的应用．解题的关键是明确水位上升的高度等于水位上升的高度等于浸没在水中部分的立方体的体积÷圆柱体的底面积．5．（2023春·河北邢台·八年级统考开学考试）嘉淇做了大小两个正方体纸盒，已知小纸盒棱长为2cm，大纸盒比小纸盒体积大，(1)求小纸盒的体积；(2)求大纸盒的棱长．【答案】(1)(2)3cm【分析】（1）根据正方体的体积公式求解即可；（2）先求得大纸盒的体积，然后根据立方根的性质进行求解．【详解】（1）解：小纸盒的体积为；（2）解：设大纸盒的棱长为∵大纸盒比小纸盒体积大，∴，∴．【点睛】此题考查立方根的应用，根据实际问题建立等量关系是解题关键．考查题型五算术平方根和立方根的综合应用1．（2023·浙江·七年级假期作业）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（

）A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4【答案】D【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可．【详解】解：∵一个数的算术平方根是8，∴这个数是，∴的立方根是，故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键．2．（2023·浙江·七年级假期作业）已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（

）．A． B．12 C．13 D．【答案】C【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案．【详解】解：∵的平方根是，∴，∴，又∵的立方根是3，∴，∴把x的值代入解得：，∴，∴，∴的算术平方根为，故答案选：C．【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案．3．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是．【答案】或/或【分析】根据立方根的定义求出a，估算无理数的大小得到b的值，根据平方根的定义得到c的值，代入代数式求值再求算术平方根即可．【详解】解：∵a的立方根是2，∴，∵，∴，∴，∵c是9的平方根，∴，当时，，算术平方根为；当时，，算术平方根为；综上分析可知，的算术平方根为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，考查分类讨论的思想，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．4．（2023春·全国·七年级专题练习）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为．【答案】/【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果．【详解】解：是即4的算术平方根，，是的立方根，，，故答案为：．【点睛】本题考查平方根与立方根运算，读懂题意，准确表示出与值是解决问题的关键．5．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分．(1)求和的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得和的值；（2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解．【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，即，；（2）解：∵，∴∵是的整数部分，∴，由（1）知，，所以，那么9的算术平方根是3，即的算术平方根是3．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算等知识内容，难度较小，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．考查题型六计算器——平方根和立方根1．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“=”即可得到结果．【详解】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是：．故选：D．【点睛】本题考查的是利用计算器求算术平方根，正确使用计算器是解题的关键．2．（2023春·四川自贡·七年级自贡市旭川中学校考阶段练习）在计算器上依次按键，下列算式与所计算出的结果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据计算器的使用说明求解即可得到答案．【详解】解：由计算器的按键功能可知，故选A．【点睛】本题主要考查了计算器的使用，解题的关键在于能够熟练掌握计算器的功能键．3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）用计算器进行计算，按键顺序为

的结果是．【答案】1【分析】根据题意用计算器计算即可．【详解】解：结果为：，故答案为：1．【点睛】本题考查计算器的运用，求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握计算器的运用，准确计算．4．（2023·山东淄博·校考二模）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为．【答案】【分析】根据2ndF键功能转换键列式计算，即可解答．【详解】解：依题意得，故答案为．【点睛】此题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndF键的功能．5．（2023秋·七年级课时练习）借助计算器计算下列各题．（1）________；（2）________．（3）________；（4）________；（5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求的值．【答案】（1）1；（2）3；（3）6；（4）10；（5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的；结果为【分析】（1）直接计算可得；（2）直接进行计算发现：；（3）直接进行计算发现：；（4）直接进行计算发现：；（5）总结（1）-（4）总结规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的，根据规律即可得出答案．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的；∴．【点睛】题目主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律．1．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．是3的算术平方根 B．的立方根是C．的平方是3 D．的平方根是【答案】B【分析】根据算术平方根，立方根，平方根的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A、是3的算术平方根，故A正确，不符合题意；B、的立方根是，故B错误，符合题意；C、的平方是3，故C正确，不符合题意；D、的平方根是，故D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根，立方根，平方根的定义，熟练掌握相关定义，以及求算术平方根，立方根，平方根方法．2．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案．【详解】解：，，则．故选：D．【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位．3．（2023春·云南昆明·七年级统考期末）下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质，以及用夹逼法估算无理数，逐个进行判断即可【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、∵，∴，∴，则，故C正确，符合题意；D、，故D不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义和性质，以及用夹逼法估算无理数，熟练掌握相关知识点并熟练运用，是解题的关键．4．（2023春·四川绵阳·七年级统考期末）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（

）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍【答案】A【分析】根据正方体的体积计算公式和立方根的定义即可求解．【详解】解：设原来的棱长为x，那么现在的体积为，∵，∴它的棱长变为原来的2倍，故选：A．【点睛】此题主要考查了立方根与立方体的体积公式，解题关键是利用立方根的定义准确的求出新立方体的棱长，从而求出棱长之间的关系．5．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进而求得第2020次输出的结果，再计算算术平方根的立方根即可．【详解】解：由题意可得，当时，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，第六次输出的结果是1，第七次输出的结果是4，第八次输出的结果是2，……，∵，则第2020次输出的结果是4，4的算术平方根是2，2的立方根是，故选：D．【点睛】本题考查数字的变化类，程序图，算术平方根和立方根，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字．6．（2023春·湖南长沙·七年级校考阶段练习）若，则．【答案】2【分析】根据非负数的性质分别求出，再代入求值即可．【详解】解：由题意得解得，∴．故答案为：2【点睛】本题考查了平方数、算术平方根的非负性，立方根的定义等知识，理解平方数、算术平方根的非负性，熟知“几个非负数的和为0，则每个非负数都是0”是解题关键．7．（2023春·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）的立方根的相反数是．【答案】【分析】先求64的算术平方根，再开立方，可得立方根，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：，的立方根是，的相反数是，故答案为：．【点睛】本题考查了求算术平方根，立方根，相反数，掌握相关概念是解决问题的关键．8．（2023春·河南信阳·七年级校考阶段练习）的算术平方根是7；的立方根是；的平方根是．【答案】49【分析】根据平方运算，可得平方根、算术平方根和立方根．【详解】解：∵，∴49的算术平方根是7；∵，∴的立方根是；∵，∴9的平方根是．即的平方根是．故答案为：49；；．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，平方和立方运算是求平方根和立方根的关键．9．（2023春·云南曲靖·七年级校考期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简：．

【答案】b【分析】根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．【详解】根据数轴可知，则可知，，故答案为：b．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键．10．（2023春·福建厦门·七年级统考期末）在一次出国访问途中，我国著名数学家华罗庚看到邻座乘客在阅读一道智力题：一个数是，希望求解它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分震惊，询问其奥妙．华罗庚是这样得出答案的：（1）由，，确定立方根是位数．（2）由的个位数是，确定其立方根的个位数是．（3）划去后面三位数，得到数，而，，可以确定十位数是．因此可以得到立方根为．请你仿照以上的方法，计算．【答案】【分析】根据题意的方法，确定个位数与百位数，再进行估算即可求解．【详解】解：（1）由，，确定算术平方根是位数．（2）由的个位数是，确定其算术平方根的个位数是．（3）划去后面四位数，得到数，而，可以确定个位数是．∵，，，∴十位数字为，因此可以得到，经检验故答案为：．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的定义，根据题意找到规律是解题的关键．11．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）求符合条件的x的值．(1)(2).【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根的定义求得x的值即可；（2）利用立方根的定义求得x的值即可．【详解】（1）∴∴或，解得：或；（2）原式变形得：，∴，解得：．【点睛】本题考查平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．12．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是.(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是-2，可以求得b的值，（2）根据（1）可以求得的值，从而得到算术平方根．【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根