7.4认识三角形(讲+练)（解析版）VIP

7.4认识三角形三角形的定义由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接组成的图形.三角形的符号：△三角形ABC记作：△ABC三角形的3个顶点：A、B、C三角形的3个内角:∠A、∠B、∠C三角形的3条边：∠A所对的边记作边BC（或边a）∠B所对的边记作边AC（或边b）∠C所对的边记作边AB（或边c）三角形的分类按角分，可分为：（1）锐角三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形注：一个三角形中最多有一个直角或最多有一个钝角。按边分，可分为：（1）不等边三角形（2）等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况）三角形三边关系三角形任意两边之和大于第三边.符号语言为：△ABC三边长分别为a，b，c，则有：a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a.注：①三角形两边之差的绝对值小于第三边②我们在判断三个线段能否构成三角形时，只要判断较小的两边之和与最长边的大小即可.三角形的中线三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形中线的性质：（1）三角形的中线是线段.（2）三角形的一条中线把三角形分成了面积相等的两部分（等底等高）.（3）三角形有三条中线，且三条中线相交于三角形内部一点，称为“重心”.（4）三角形的三条中线把三角形分成了面积相等的六个部分.三角形的角平分线三角形角平分线的定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.三角形角平分线的性质：（1）三角形的内角平分线是线段；而单独一个角的角平分线是射线.（2）三角形有三条角平分线，且三条角平分线相交于三角形内部一点，称为“内心”.（3）三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.三角形的高线三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形高线的性质：（1）三角形的高是线段.（2）三角形有三条高。锐角三角形的三条高交于三角形内部一点；直角三角形的三条高交于直角顶点；钝角三角形的三条高不相交，但钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部一点.“等积法”求面积在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，则有：S△ABC=AC·BC进而可得，AC·BC=AB·CD题型1：三角形的定义与认识1．图中共有三角形8个．【分析】观察图形先找出图中基本的三角形△BDO，△ABO，△AOE，再找出复合组成的三角形即可．【解答】解：①△BDO，△ABO，△AOE，共3个；②△ABD，△ADC，2个；③△ABE，△BCE，2个；④△ABC，1个；综上，图中共有共8个三角形．故答案为：8．【变式1-1】如图所示，（1）图中共有个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是，以∠EAD为一内角的三角形是．（2）在△ABD中，∠BAD的对边是，在△ABE中，∠ABE的对边是．（3）AB既是△中∠的对边，又是△中∠的对边，还是△中∠的对边．【分析】（1）根据三角形的定义分别解答即可；（2）根据三角形角的对边的定义解答；（3）根据以AB为边的三角形确定出所对的角即可得解．【解答】解：（1）图中有：△ABE、△ADE、△BCE、△CDE、△ABD、△BCD、△AEC、△ABC共8个；以BC为一边的三角形有：△BCE、△BCD、△ABC，以∠EAD为一内角的三角形是：△ADE、△AEC；（2）在△ABD中，∠BAD的对边是BD，在△ABE中，∠ABE的对边是AE；（3）AB既是△ABE中∠AEB的对边，又是△ABD中∠ADB的对边，还是△ABC中∠ACB的对边．故答案为：（1）8，△BCE、△BCD、△ABC，△ADE、△AEC；（2）BD，AE；（3）ABE，AEB；ABD，ADB；ABC，ACB．【变式1-2】如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为4．【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分，得AD+AE＝BD+CE+BC＝2，进而解决此题．【解答】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案为：4．【变式1-3】观察图形规律：（1）图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．（2）由以上规律进行猜想，第n个图形共有(n+1)(n+2)2【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可．【解答】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③中共有10个三角形．故答案为：3，6，10；（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，∴第n个图形共有：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案为：(n+1)(n+2)2题型2：三角形的分类2.根据下列三角形中角的特征，写出三角形的名称．【分析】第1个三角形中有一个角比90°大，满足钝角三角形的定义．第2个三角形中有两条边互相垂直，符合直角三角形的特征．第3个三角形中三个角都比90°小，满足钝锐角三角形的定义．【解答】解：如图：故答案为：钝角三角形；直角三角形；锐角三角形．【变式2-1】观察图中的三角形，把它们的标号填入相应横线上．锐角三角形3，5，直角三角形1，4，6，钝角三角形2，7．【分析】分别根据三角形的分类得出答案即可．【解答】解：锐角三角形3，5，直角三角形1，4，6，钝角三角形2，7．故答案为：3，5；1，4，6；2，7．【变式2-2】下列说法中：①由三条线段围成的图形叫做三角形；②三角形的边可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示；③钝角三角形不可能是等腰三角形；④等边三角形不可能是直角三角形；⑤三角形按边的相等关系可以分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形三类，正确的有②④（填序号）．【分析】三条线段首尾顺次连接围成的封闭图形叫做三角形；等边三角形三个角都是60°；等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况．【解答】解：①由不在同一条直线上的三条线段按照首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，故①错误；②三角形的边可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，故②正确；③钝角三角形可能是等腰三角形，故③错误；④等边三角形不可能是直角三角形，故④正确；⑤三角形按边的相等关系可以分为三边都不相等的三角形、等腰三角形两类，故⑤错误．故答案为：②④．题型3：三角形的稳定性3.港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形的稳定性．【分析】利用三角形的稳定性求解即可．【解答】解：港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【变式3-1】下列生产和生活实例：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有①②③（填写序号）．【分析】根据生活常识对各小题进行判断即可得解．【解答】解：①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性，符合题意；②用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性，符合题意；③在栅栏门上斜钉着一根木条，是利用三角形具有稳定性，符合题意；④商店的推拉防盗铁门，是用四边形的不稳定性，不是用三角形具有稳定性，不符合题意；综上所述：用到三角形稳定性的是①②③．故答案为：①②③．【变式3-2】如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉3条木条．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【解答】解：再钉上三根木条，就可以使六边形分成四个三角形．故至少要再钉三根木条．题型4：三角形三边关系4.现有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条，能组成不同三角形的个数为3．【分析】根据三角形的三边关系来进行判定求解．【解答】解：因为有四条线段，长度依次是2，3，4，5，从中任选三条，它们是：2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；其中2，3，5不能构成三角形，所以能组成不同的三角形的个数是3．故答案为：3．【变式4-1】已知三角形的三边长分别为2、a、5，那么a的取值范围是3＜a＜7．【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的取值范围．【解答】解：∵三角形的三边长分别为2、a、5，∴5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7．故答案为：3＜a＜7．【变式4-2】已知三角形的三边长分别为1，a﹣1，3，则化简|a﹣3|+|a﹣5|的结果为2．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果．【解答】解：由三角形三边关系定理得3﹣1＜a﹣1＜3+1，即3＜a＜5．∴|a﹣3|+|a﹣5|＝a﹣3+5﹣a＝2．故答案为：2．【变式4-3】若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝2c﹣2b．【分析】直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，∴a+b＞c，a+c＞b，a+b＞c，∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+2（c﹣a﹣b）＝a+b﹣c﹣b+c+a+2c﹣2a﹣2b＝2c﹣2b．故答案为：2c﹣2b．【变式4-4】如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．【解答】证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．题型5：三角形的中线、高、角平分线5.现如图，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE，BE交AD于点F．（1）BE是△ABC的角平分线；（2）DE是△BCE的中线；（3）BF是△ABD的角平分线．【分析】根据三角形的角平分线，中线的定义分别填空即可．【解答】解：（1）BE是△ABC的角平分线；（2）DE是△BCE的中线；（3）BF是△ABD的角平分线．故答案为：BE，DE，BF．【变式5-1】如图，（1）若AM是△ABC的中线BC＝12cm，则BM＝CM＝6cm；（2）若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC；若∠BAC＝106°，则∠DAC＝53°（3）若AH是△ABC的高，则△ABH是直角三角形．【分析】（1）根据中线的定义即可求得；（2）根据角平分线的定义即可求得；（3）根据三角形的高的定义得出∠AHB＝90°，然后根据直角三角形的定义即可判断．【解答】解：（1）∵AM是△ABC的中线，BC＝12cm，∴BM＝CM=12BC＝6（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC=12∠∵∠BAC＝106°，∴∠DAC＝53°；（3）∵AH是△ABC的高，∴∠AHB＝90°，∴△ABH是直角三角形．故答案为：6；12∠BAC，53【变式5-2】BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．故答案为：2．【变式5-3】如图，在直角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足为F．以AD为中线的三角形是△ABC；以AE为角平分线的三角形是△ABD；以AF为高线的三角形有10个．【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．【解答】解：∵BD＝CD，∴以AD为中线的三角形是△ABC；∵∠BAE＝∠DAE，∴以AE为角平分线的三角形是△ABD；∵AF⊥BC，∴以AF为高线的三角形有△ABE、△ABD、△ABF、△ABC、△AED、△AEF、△AEC、△ADF、△ADC、△AFC，共10个，故答案为：△ABC；△ABD；10．【变式5-4】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝故答案为1．【变式5-5】如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．【分析】设AC＝x，根据题意用x表示出AB，根据中点的性质得到AD＝DC=12【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x，∵BD是中线，∴AD＝DC=12由题意得，2x+12x＝解得，x＝12，则AC＝12，AB＝24，∴BC＝20-12×12答：AB＝24，BC＝14．题型6：三角形的面积6.如图，AD、BF是△ABC的高，AD＝8，AC＝10，BF＝12，则BC＝15．【分析】根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：∵AD、BF是△ABC的高，∴12BC•AD=12AC∴BC=AC⋅BF∵AD＝8，AC＝10，BF＝12，∴BC＝15，故答案为：15．【变式6-1】如图，小方格的边长是1，求△ABC的面积13．【分析】用△ABC的面积＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积，求出△ABC的面积．【解答】解：由题意得：△ABC的面积＝8×4-12×8×1-12×3＝32﹣4﹣3﹣12＝13，故答案为：13．【变式6-2】如图，AD、CE、BF是△ABC的高，AB＝5，BC＝4，AD＝3，则CE＝125【分析】根据三角形的面积公式列出CE的方程进行解答便可．【解答】解：∵S△ABC∴CE=BC⋅AD故答案为：125【变式6-3】如图，已知直线a∥b，点B是线段AE的中点，S△ABD＝3，则S△ACE＝6．【分析】利用两个三角形高相等，底是2倍关系即可得出答案．【解答】解：假设两平行线间的距离为d，则S△ABD=12•AB•d，S△ACE=12•又∵B是线段AE的中点，∴AE＝2AB，∴S△ACE=12•AE•d=12•2AB•d＝2∵S△ABD＝3，∴S△ACE＝6．故答案为：6．一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为5，则△ABC的面积为（）A．14 B．12 C．10 D．8【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABD的面积为5，∴△ABC的面积＝2×5＝10．故选：C．2．如图，在三角形ABC中，线段AB+AC＞BC，其理由是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线【分析】根据线段的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：在三角形ABC中，线段AB+AC＞BC，其理由是两点之间线段最短，故选：B．3．有三根小棒，它们长度分别如下，以下列各组小棒的长度为边，能构成三角形的是（）A．10cm，10cm，8cm B．5cm，6cm，14cm C．4cm，8cm，12cm D．3cm，9cm，5cm【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【解答】解：A、8+10＞10，则能构成三角形，符合题意；B、5+6＜14，则不能构成三角形，不符合题意；C、4+8＝12，则不能构成三角形，不符合题意；D、3+5＜9，则不能构成三角形，不符合题意；故选：A．4．如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（）A．36 B．18 C．48 D．24【分析】根据三角形中线的性质求得S△BDE＝2S△BDF，S△BDA＝2S△BDE，S△ABC＝2S△BDA即可解答．【解答】解：∵F是BE的中点，△BFD的面积是6，∴S△BDE＝2S△BDF＝12，同理：S△BDA＝2S△BDE＝24，S△ABC＝2S△BDA＝48．故选：C．5．已知三角形的三边长分别是4，8，a+1，则a的取值可能是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据三角形的三边关系列式确定a的取值范围即可．【解答】解：根据题意得：8﹣4＜a+1＜8+4，解得3＜a＜11，只有10适合，故选：A．6．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE=14AC，△ABCA．S1＝S2 B．S1＝2 C．S2＝0.5 D．S1﹣S2＝1【分析】设AD与BE相交于点O，连接OC，过点A作AF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，设△BOD的面积为x，根据点D是边BC的中点，可得△BOD的面积＝△COD的面积＝x，△ABD的面积＝△ACD的面积，从而利用等式的性质可得△AOB的面积＝△AOC的面积，再根据已知可得CE=13AE，从而可得△AOE的面积＝3△COE的面积，进而可得AF＝3CG，然后利用三角形的面积可得△AOB的面积＝3△BOC的面积＝6x，从而可得△AOC的面积6x，进而可得△AOE的面积=92x，△COE的面积=32x，最后求出S1＝6x，S2=52x，再根据△ABC的面积是4，可得2（【解答】解：设AD与BE相交于点O，连接OC，过点A作AF⊥BE，垂足为F，过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于点G，设△BOD的面积为x，∵点D是边BC的中点，∴△BOD的面积＝△COD的面积＝x，△ABD的面积＝△ACD的面积，∴△AOD的面积﹣△BOD的面积＝△ADC的面积﹣△COD的面积，∴△AOB的面积＝△AOC的面积，∵CE=1∴CE=13∴△AOE的面积＝3△COE的面积，∴AF＝3CG，∴△AOB的面积＝3△BOC的面积＝3•2x＝6x，∴△AOC的面积＝△AOB的面积＝6x，∴△AOE的面积=34△AOC的面积=92x，△COE的面积=14∴S1＝△AOB的面积＝6x，S2＝△DOC的面积+△OEC的面积=52∴S1≠S2，故A不符合题意；∵△ABC的面积是4，∴2△ABD的面积＝4，∴2（△AOB的面积+△BOD的面积）＝4，∴2（x+6x）＝4，∴x=2∴S1＝6x=127，S2=5∴S1﹣S2=127故B，C都不符合题意；D符合题意；故选：D．7．如图将边长为a的大正方形与边长为b的小正方形放在一起（a＞0，b＞0），则三角形AEG的面积（）A．与a、b大小都有关 B．与a、b的大小都无关 C．只与a的大小有关 D．只与b的大小有关【分析】连接AC，根据正方形的性质可得AC∥GE，根据平行线之间的距离相等可得△AGE的面积＝△CGE的面积，求出△CGE的面积即可．【解答】解：连接AC，如图所示：在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∠GEC＝45°，∴AC∥GE，∴△AGE的面积＝△CGE的面积，∵正方形CEFG的边长为b，∴△CGE的面积=1∴△AGE的面积为12∴△AGE的面积只与b的大小有关，故选：D．8．如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点D是BC的中点，点F是BD的中点．连接AF，BE交于点G．已知S△ABC＝12，则S△AGE﹣S△BGF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由点E是AC的中点，S△ABC＝12知S△ABE=12S△ABC＝6，由点D是BC的中点，点F是BD的中点知BF=14BC，据此得S△ABF=14S△ABC＝3，再根据S△AGE﹣S△BGF＝S△【解答】解：∵点E是AC的中点，S△ABC＝12，∴S△ABE=12S△ABC＝∵点D是BC的中点，点F是BD的中点，∴BF=14∴S△ABF=14S△ABC＝∴S△AGE﹣S△BGF＝S△ABE﹣S△ABF＝6﹣3＝3，故选：B．二．填空题（共9小题）9．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BE⊥AC于点E，且BE＝4，则AB边上的高CD的长度为4．【分析】由S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BE，BE＝【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BE，BE＝∴BE＝CD＝4，故答案为：4．10．已知三角形的两边长分别是2cm和5cm，第三边长是奇数，则第三边长是5cm．【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数求得第三边的长．【解答】解：设第三边长xcm．根据三角形的三边关系，得3＜x＜7．又∵三角形的第三边长是奇数，因而满足条件的数是5cm．故答案为：5cm．11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝5．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．【解答】解：∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，解得a＝2，b＝5，∵5﹣2＝3，5+2＝7，∴3＜c＜7，又∵c为奇数，∴c＝5，故答案是：5．12．已知a，b，c是三角形的三边长，则|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|＝2b．【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式＝|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|+|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b．故答案为：2b．13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，BD，CD的中点，且S△ABC＝6cm2，则S△AEF＝3cm2．【分析】由于D、E、F分别为BC、BD、CD的中点，可得BE＝DE＝DF＝CF，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，得出S△ABE＝S△AED＝S△ADF＝S△ACF，再根据S△ABC＝6cm2得出答案即可．【解答】解：∵D、E、F分别为BC、BD、CD的中点，∴BE＝DE＝DF＝CF，S△ABE＝S△AED＝S△ADF＝S△ACF，∴S△AEF=12S△∵S△ABC＝6cm2，S△AEF=12S△ABC=12×6＝故答案为：3．14．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝40，则S△DEF＝5．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：连接CD，如图所示：∵点D是AG的中点，∴S△ABD=1∴S△ABD∵S△ABC＝40，∴S△ABD+S△ACD＝20，∴S△BCD＝20，∵点E是BD的中点，∴S△CDE∵点F是CE的中点，∴S△DEF故答案为：5．15．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c边长是偶数，则x的值应该是2或3．【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得x的取值范围；再根据边c是偶数这一条件，求得c的值．【解答】解：根据三角形的三边关系，得7﹣3＜2x+2＜7+3，解得4＜2x+2＜10，又∵2x+2是偶数，则2x+2的值为6、8，∴x＝2或3，故答案为：2或3．16．如图，将△ABC沿着BC方向平移5cm得到△DEF，若AB⊥BC，AB＝10cm，DH＝4cm，则四边形HCFD的面积为50cm2．【分析】连接AD，由平移得到四边形ADFC是平行四边形，AD＝6cm，∠ADH＝90°，然后求得平行四边形ADFC的面积和△ADH的面积，最后求得四边形HCFD的面积．【解答】解：如图，连接AD，由平移得，四边形ADFC是平行四边形，CF＝5（cm），∠ADH＝90°，∴S平行四边形ADFC＝AD•AB＝5×10＝60（cm2），S△ADH=12AD•DH=12×5×4＝∴S四边形HCFD＝S平行四边形ADFC﹣S△ADH＝60﹣10＝50（cm2），故答案为：50cm2．17．如图，已知△ABC的面积为1，分别倍长（延长一倍）边AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分别倍长边A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长2023次后得到的△A2023B2023C2023的面积为72023．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此规律可得结论．【解答】解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，所以，S△A1B1C1＝7S△ABC，同理S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝72S△ABC，依此类推，△A2023B2023C2023的面积为＝72023S△ABC，∵△ABC的面积为1，∴△A2023B2023C2023的面积＝72023．故答案为：72023．三．解答题（共6小题）18．在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整数，求BC的长；（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求三角形ABD的周长．【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；（2）根据三角形的中线的定义得到BD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，∴7＜BC＜9，∵BC是整数，∴BC＝8；（2）∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD∵△ACD的周长为10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝1，∴AD+CD＝9，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．19．如图，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，求AC和AB的长．【分析】先根据AC＝2BC和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①AC+CD＝70，②AC+CD＝50，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．【解答】解：设BD＝CD＝x，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成70和50两部分，AB＞BC，①当AC+CD＝70，AB+BD＝50时，4x+x＝70，解得：x＝14，∴AC＝4x＝4×14＝56，BD＝CD＝14，∴AB＝50﹣BD＝50﹣14＝36，∴AB＝36＞BC＝28，满足条件∵BC+AB＝36+28＝64＞AC＝56，满足三边关系，∴AC＝56，AB＝36；②当AC+CD＝50，AB+BD＝70时，4x+x＝50，解得：x＝10，∴AC＝4x＝4×10＝40，∴BD＝CD＝10，AB＝70﹣BD＝70﹣10＝60，∵AC＝40＜AB＝60，不满足AB＞BC这一条件，∴舍去，∴AC＝56，AB＝36．20．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．（1）有下列结论：①BF＝AF；②∠BAE＝∠CAE；③S△ABF=1④∠C与∠CAD互余．其中正确的是②③④（填序号）．（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度数．【分析】（1）根据△的中线，高线，角平分线的定义依次进行判断即可；（2）根据AD是△ABC的高线，可得∠ADE＝90°，进一步可得∠AED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠BAE的度数，再根据AE是△ABC的角平分线，可得∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠C的度数．【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，∴BF＝FC，故①选项不符合题意；∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，故②选项符合题意；∵AF是△ABC的中线，∴S△ABF=12S△故③选项符合题意；∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∴∠C与∠CAD互余，故④选项符合题意；故答案为：②③④；（2）∵AD是△ABC的高线，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝16°，∴∠AED＝90°﹣16°＝74°，∵∠B＝30°，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣30°＝44°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝88°，∴∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝62°．21．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：a2+2ab+b2；方法二：（a+b）2；（2）观察图②，试写出（a+b）2、a2、2ab、b2这四个代数式之间的等量关系a2+2ab+b2＝（a+b）2；（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大