2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）

第1页（共1页）2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个数中，比1小的正无理数是（）A． B． C． D．2．（3分）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一．下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C． D．a2•a3＝a64．（3分）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（）A．2 B．3 C．6 D．85．（3分）不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球（）A．3个球都是白球 B．至少有1个黑球 C．3个球都是黑球 D．有1个白球2个黑球6．（3分）某班甲、乙、丙、丁四名篮球运动员进行投篮测试，每人每轮10次投篮机会，投进个数的平均数（单位：个）2（单位：个2）如表所示：甲乙丙丁7677s20.20.10.80.1根据表中数据可知，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加学校的投篮比赛，应选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，CD∥EF，若∠1＝105°（）A．55° B．65° C．75° D．85°8．（3分）如图，△ABC中，根据尺规作图的痕迹推断（）A．∠BAQ＝∠CAQ B．BE＝CE C．AF＝AC D．∠BED＝90°9．（3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验试验总次数100200300500150020003000落在“心形线”内部的次数61931652467599961503落在“心形线”内部的频率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（）A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.6110．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0）的图象上，则k的值为（）A．4 B． C．2 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）最新数据显示，长沙市在2023年全国的地区生产总值（GDP）达到了1.43万亿元．12．（3分）化简+的结果为．13．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣mx+3＝0有两根，其中一根为x＝1，则两根之和为．14．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，则AO与OD之比是．15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝，则⊙O的半径为．16．（3分）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，…组．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（6分）白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，如图，塔AB前有一座高为DE的景观桥（2﹣）m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为45°（1）求DE的长；（2）求白鹭塔AB的高度．（参考数据：sin27°≈45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.732，结果取整数）20．（8分）为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、乒乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，该校随机抽取若干名学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）请把条形统计图补充完整；（3）该校共有1200名学生，估计该学校学生选择排球的有多少人？（4）请你根据调查结果向该校提一条合理建议．21．（8分）如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠EDB＝145°．（1）试判断BF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若GF＝GB，求∠A的度数．22．（9分）为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买10棵香樟和5棵红枫共花费275元，购买1棵红枫比购买1棵香樟多花10元．（1）求购买1棵红枫和1棵香樟各需多少元；（2）通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过800元的经费再次购买香樟和红枫共40棵，则本次至少可以购买多少棵香樟？23．（9分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交AD于点F．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使得OE＝OF，并说明理由；（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝824．（10分）如图，半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°（点C不与点A，B重合），过圆心O分别作弦AC，BC的垂线OD，垂足分别为D，E．（1）求∠DOE的度数；（2）当点C沿着弧AB从点A出发，顺时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）设AC＝a，BC＝b，连接AB，OE于点M，N，记以线段AM，NB为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，使∠ACB＝45°，就称此抛物线为“星城”曲线（1）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点O（0，0），B（2，0），直线l过点B，与y轴相交于点E，若此抛物线为“星城”曲线，且∠COB＝75°，求直线l的解析式；（2）如图②，已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6a（a＜0）为“星城”曲线，与x轴相交于A，与y轴相交于点C，当点C为其“星城”点时；（3）如图③，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）为“星城”曲线，与x轴相交于点A（﹣4，0），B（4，0），Q为曲线上的“星城”点，当“星城”点Q至少有3个时2+32a﹣2023的最小值．

2024年湖南省长沙市中考数学适应性试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个数中，比1小的正无理数是（）A． B． C． D．【解答】解：∵是有理数，∴选项A不符合题意；∵﹣是负数，∴选项B不符合题意；∵是比1小的正无理数，∴选项C符合题意；∵是比7大的正无理数∴选项D不符合题意，故选：C．2．（3分）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一．下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、交通标志不是中心对称图形；B、交通标志不是中心对称图形；C、交通标志是中心对称图形；D、交通标志不是中心对称图形；故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C． D．a2•a3＝a6【解答】解：×＝6，符合题意；（a﹣1）2＝a2﹣2a+2，故选项B错误；不能合并，故选项C错误；a6•a3＝a5，故选项D错误，不符合题意；故选：A．4．（3分）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，∴5﹣6＜m＜8+3，∴2＜m＜14，∴整数m的最小值是3．故选：B．5．（3分）不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球（）A．3个球都是白球 B．至少有1个黑球 C．3个球都是黑球 D．有1个白球2个黑球【解答】解：A、3个球都是白球，不符合题意；B、至少有1个黑球，符合题意；C、4个球都是黑球，不符合题意；D、有1个白球2个黑球，不符合题意；故选：B．6．（3分）某班甲、乙、丙、丁四名篮球运动员进行投篮测试，每人每轮10次投篮机会，投进个数的平均数（单位：个）2（单位：个2）如表所示：甲乙丙丁7677s20.20.10.80.1根据表中数据可知，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加学校的投篮比赛，应选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，∵丁的方差较小，∴丁发挥稳定，∴选择丁参加比赛．故选：D．7．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，CD∥EF，若∠1＝105°（）A．55° B．65° C．75° D．85°【解答】解：如图：∵∠1＝105°，∴∠3＝180°﹣∠4＝75°，∵CD∥EF，∴∠2＝∠3＝75°，故选：C．8．（3分）如图，△ABC中，根据尺规作图的痕迹推断（）A．∠BAQ＝∠CAQ B．BE＝CE C．AF＝AC D．∠BED＝90°【解答】解：由作图知，AQ是∠BAC的角平分线，∴∠BAQ＝∠CAQ，故A不符合题意；由作图知MN垂直平分BC，∴BE＝CE，∠BED＝90°，D不符合题意；无法证明AF＝AC，故C符合题意，故选：C．9．（3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验试验总次数100200300500150020003000落在“心形线”内部的次数61931652467599961503落在“心形线”内部的频率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（）A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．故选：B．10．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0）的图象上，则k的值为（）A．4 B． C．2 D．【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝，∵B（2，0），∴OB＝OA＝4，∴OC＝7，AC＝2．∴A（8，2），∵等边三角形OAB的顶角A在反比例函数的图象上，∴k＝4×＝7．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）最新数据显示，长沙市在2023年全国的地区生产总值（GDP）达到了1.43万亿元1.43×1012．【解答】解：1.43万亿＝1.43×108×108＝1.43×1012，故答案为：2.43×1012．12．（3分）化简+的结果为x．【解答】解：原式＝﹣＝＝x．故答案为：x．13．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣mx+3＝0有两根，其中一根为x＝1，则两根之和为．【解答】解：∵方程的其中一根为x＝1，∴2﹣m+6＝0，解得m＝5，∴方程为7x2﹣5x+4＝0，∴两根之和为﹣＝．故答案为：．14．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，则AO与OD之比是3：1．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，AB：DE＝OA：OD＝3：1，故答案为：8：1．15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝，则⊙O的半径为5．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，在Rt△AOB中，AB＝5，∴OA＝AB•cos45°＝5×＝5，∴⊙O的半径为2，故答案为：5．16．（3分）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，…21组．【解答】解：令x+y＝t（t≥2）则t+z＝8的正整数解有：t＝6，3，4，8，6，7，共2组．其中t＝x+y＝2的正整数解有1组；t＝x+y＝3的正整数解有2组；t＝x+y＝4的正整数解有7组；..．t＝x+y＝7的正整数解有6组．总的正整数解组数为：5+2+3+4+5+6＝21，故答案为：21．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：．【解答】解：＝3+2﹣4﹣4×＝1+2﹣5﹣2＝﹣4．18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤4，则不等式组的解集为﹣7＜x≤4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：．19．（6分）白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，如图，塔AB前有一座高为DE的景观桥（2﹣）m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为45°（1）求DE的长；（2）求白鹭塔AB的高度．（参考数据：sin27°≈45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.732，结果取整数）【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°）m，∴DE＝CD＝50（2﹣，∴DE的长约为13m；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：DF＝AE，DE＝AF＝50（8﹣，在Rt△DEC中，∠DCE＝30°）m，∴CE＝CD•cos30°＝100（4﹣）×﹣150）m，设AC＝xm，∴DF＝AE＝CE+AC＝（100﹣150+x）m，在Rt△ABC中，∠BCA＝45°，∴AB＝AC•tan45°＝x（m），在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF•tan27°≈8.5（100﹣150+x）m，∵AF+BF＝AB，∴50（6﹣）+0.7（100，解得：x＝50，∴白鹭塔AB的高度约为50m．20．（8分）为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、乒乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，该校随机抽取若干名学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图（1）本次调查共抽取了多少名学生？（2）请把条形统计图补充完整；（3）该校共有1200名学生，估计该学校学生选择排球的有多少人？（4）请你根据调查结果向该校提一条合理建议．【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），答：本次调查共抽取了50名学生；（2）选择排球的人数为：50﹣8﹣12﹣10＝20，补全条形统计图如下：（3）1200×＝480（人），答：估计该学校学生选择排球的大约有480人；（4）由统计图可知，选择排球的人数较多．（答案不唯一）．21．（8分）如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠EDB＝145°．（1）试判断BF与AC的位置关系，并说明理由；（2）若GF＝GB，求∠A的度数．【解答】解：（1）结论：BF⊥AC．理由：∵∠AGF＝∠ABC，∴FG∥BC，∴∠BFG＝∠FBC，∠BFG＝35°，∴∠FBC＝35°，节∠EDB＝145°，∴∠FBC+∠EDB＝180°，∴BF∥DE，∵DE⊥AC，∴BF⊥AC；（2）∵GF＝GB，∴∠GBF＝∠BFG＝35°，∴∠ABC＝70°，∵DE∥BF，∴∠CDE＝∠FBC＝35°，∵DE⊥AC，∠CED＝90°，∴∠C＝55°，∴∠A＝180°﹣70°﹣55°＝55°．22．（9分）为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买10棵香樟和5棵红枫共花费275元，购买1棵红枫比购买1棵香樟多花10元．（1）求购买1棵红枫和1棵香樟各需多少元；（2）通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过800元的经费再次购买香樟和红枫共40棵，则本次至少可以购买多少棵香樟？【解答】解：（1）设购买1棵红枫需x元，购买1棵香樟需y元，由题意可得：，解得：，答：购买1棵红枫需25元，购买1棵香樟需15元；（2）设红枫a棵，由题意可得：25a+15（40﹣a）≤800，解得：a≥20，∵a为正整数，∴至多可以购买20棵红枫．∴至少可以购买20棵香樟23．（9分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交AD于点F．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：AO＝CO，使得OE＝OF，并说明理由；（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8【解答】解：（1）AO＝CO；理由如下：∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，∵EF⊥AC，∴∠AOF＝∠COE，又∵AO＝CO，∴△AOF≌COE（ASA），∴OE＝OF．（2）∵∠B＝90°，AB＝6，∴AC＝＝10，∵EF⊥AC，∴∠AOF＝∠COE，∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，又∵EO＝FO，∴△AOF≌COE（AAS），∴AO＝CO＝5，在Rt△COE中，tan∠OCE＝＝，在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，∴，∴，∴EF＝．24．（10分）如图，半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°（点C不与点A，B重合），过圆心O分别作弦AC，BC的垂线OD，垂足分别为D，E．（1）求∠DOE的度数；（2）当点C沿着弧AB从点A出发，顺时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）设AC＝a，BC＝b，连接AB，OE于点M，N，记以线段AM，NB为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求【解答】解：（1）连接OC，如图一，∵OE⊥BC，OD⊥AC，∴BE＝EC，CD＝DA，∵OB＝OC，OA＝AC，∴∠COE＝BOCAOC，∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝（∠BOC+∠AOC）＝．（2）连接OC，如图二，∵OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEC＝∠ODC＝90°，∴O，E，C，D四点在以OC为直径的圆上，∴△ODE的外心P为OC的中点，∴OP＝OC＝2，∵∠AOB＝90°，C为弧AB上的一个动点，∴△ODE的外心P的运动的轨迹为以O为圆心，2为半径的，∴△ODE的外心P所经过的路径的长度＝×2×7π＝π．（3）连接CM，CN，∵半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°，∴OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝4．由（1）知：OE垂直平分BC，OD垂直平分AC，∴NB＝NC，MC＝MA．∴∠NBC＝∠NCB＝α，∠MAC＝∠MCA＝β，∴∠CNM＝2α，∠NMC＝2β．∵∠DOE＝45°，OE⊥BC，∴∠BCA＝135°．∴∠NCM+α+β＝135°．∵∠NCM+∠MNC+∠NMC＝180°，∴∠NCM+2α+7β＝180°，∴α+β＝45°，∴∠NCM＝90°，∴以线段AM，MN，∴r＝MN．∵S△OEC＝S△OBC，，∴，∵S四边形OACB＝S△OBA+S△CBA＝4×8+S△CBA，∴△CAB的面积取最大值时，四边形DOEC的面积取最大值，∵AB＝4，∴AB边上的高取最大值时，△CAB的面积取最大值，∵C为弧AB上的一个动点，∴当点C为的中点时．设点C为的中点，CN，OC与AB交于点H，则，OC⊥AB，∴AC＝BC，BH＝AH＝5，∴a＝b．∴OH＝AB＝2，∴CH＝5﹣2，此时，△CMN为等腰直角