2023年北京高考数学真题实战复习(三年高考+一年模拟)10 填空压轴题(含详解)

专题10填空压轴题

1.（2022•北京）已知数列｛4｝的各项均为正数,其前n项和S“满足S,,=95=1,2,…）.给

出下列四个结论：

①｛%｝的第2项小于3；

②为等比数列；

③｛%｝为递减数列；

④他“｝中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是—.

2.（2021•北京）已知函数/（x）=|/gx|-日-2,给出下列四个结论:

（1）若1=0,则/*）有2个零点；

（2）存在负数%,使得f（x）恰有1个零点；

（3）存在负数%,使得f（x）恰有3个零点；

（4）存在正数3使得/（x）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是—.

3.（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排

放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量卬与时间/的关系为w=/c）,用

一/3）一/（0的大小评价在团,加这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，

b-a

甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

①在［6，切这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在芍时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在G时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标：

④甲企业在［0,",用，t2］,［t2,幻这三段时间中，在［0,“的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是—.4.（2022•海淀区一模）已知函数人制=平竺，给出

X+1

下列四个结论:

①/（x）是偶函数；

②/（X）有无数个零点；

③/（X）的最小值为-g;

④/（x）的最大值为1.

其中，所有正确结论的序号为—.

5.（2022•东城区一模）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图所示，线

段他表示角楼的高，C,D,£为三个可供选择的测量点，点B,C在同一水平面内，CD

与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行

测量，则可以选择的几何量的编号为—.（只需写出一种方案）

①C,。两点间的距离：

②C,E两点间的距离；

③由点C观察点A的仰角a；

④由点。观察点A的仰角£；

⑤ZACE和ZA£C；

⑥NADE•和

6.（2022•朝阳区一模）在

平面直线坐标系xOy中，设抛物线C：y?=4x的焦点为F,直线/:y=6（x-l）与抛物线C

交于点A,且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P,与x

轴交于点给出下列四个结论：

①AOE4的面积是G:

②点H的坐标是（-6,（））；③在x轴上存在点Q使耳。,尸0=0；

④以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N,则AF=2FN.

其中所有正确结论的序号是—.

7.（2022•东城区二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r">0）,

劳累程度T（O<T<1），劳动动机"1<人<5）相关，并建立了数学模型E=10-107•8知”.

已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱.

其中所有正确结论的序号是—.

8.(2022•房山区一模)如图，正方体A8CO-A8CR的棱长为2,点O为底面43CZ)的

中心，点P在侧面的边界及其内部运动.给出下列四个结论：

①AC；

②存在一点尸，D、O”B,P；

③若ROLOP,则△RGP面积的最大值为㈠；

④若P到直线D©的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.

其中所有正确结论的序号是

9.(2022•丰台区一模)如图，在棱长为2的正方体A8CD-AgCQ中,

M,N分别是棱A4，AR的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论:

①平面CMN截正方体ABCD-ABCR所得的截面图形是五边形；

②直线到平面CMN的距离是岸;

③存在点P,使得NB/A=90。；④APDR面积的最小值是亚.

6

其中所有正确结论的序号是

10.(2022•石景山区一模)已知非空集合A,3满足：A|jB=R，

=0，函数/(x)=§对于下列结论:

①不存在非空集合对(48)，使得/*)为偶函数；

②存在唯一非空集合对(A,B),使得/(x)为奇函数;

③存在无穷多非空集合对(A,B),使得方程/(x)=0无解.

其中正确结论的序号为—.

11.(2022•西城区二模)已知四棱锥P-A8CD的高为1,A/牛3和APCD均是边长为灰的

等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥P-/WCD可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到P,A,B,C,。距离都相等的点；

③可能有平面PADJ■平面ABCD；

tb

其中所有正确结论的序号是—.

12.(2022•西城区一模)己知函数/。)=|2*-〃|-依-3,给出下列四个结论：

①若。=1,则函数/(x)至少有一个零点；

②存在实数a,k,使得函数/(x)无零点；

③若a>0,则不存在实数3使得函数/(x)有三个零点；

④对任意实数〃，总存在实数后使得函数f(x)有两个零点.

其中所有正确结论的序号是—.

13.(2022•丰台区二模)如图，某荷塘里浮萍的面积y(单位：机?)与时间，(单位：月)

满足关系式：为常数)，记y=/(f)(r..O).给出下列四个结论:

①设a„=/(〃)(〃eN*),则数列｛«„｝是等比数列；

②存在唯一的实数w(l,2),使得f(2)-f(1)=:(幻成立，其中/'⑺是的导函

数；

③常数ae(1,2)；

④记浮萍蔓延到2机，3m2,6加所经过的时间分别为4,勺4，则6+%>，3.

其中所有正确结论的序号是

14.(2022•昌平区二模)刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有

2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案-即图中的阴影部

分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形A4G，取正三角形A4G各边的三等

分点为，B2,G，得到第一个阴影三角形人片修；在正三角形&与q中，再取各边的三

等分点人，B、,c3,得到第二个阴影三角形&修员；继续依此方法，直到得到图中的螺旋

形图案，则人鸟=—；图中螺旋形图案的面积为.

15.（2022•门头沟区一模）如图，已知四棱锥

P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且ND48=%,PD=AD,平面ABCD,F,

3

O分别是R4,8。的中点，E是线段依上的动点，给出下列四个结论：

①ACJ_OE；②FC=PO；

③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为£；

④AAEC面积的取值范围是［半,后］.

其中所有正确结论的序号是

（2022•通州区一模）如图，在棱长为2的正方体

ABCO-A4GA中，点、E,F.G分别是棱3C,CC,,OR的中点，点P为底面A4GR

上任意一点.若P与。重合，则三棱锥E-PFG的体积是；若直线8。与平面EFG无

公共点，则BP的最小值是

DiGCi

17.(2022•顺义区模拟)向量集合S=｛d[&=(x,y),x,y&R],

对于任意heS,以及任意/Le[0,1],都有/U+(l-/l)EeS,则称集合S是“凸集”,

现有四个命题：

①集合M=｛1|6=(x,y),是“凸集”；

②若S为“凸集”，则集合N=｛24|aeS)也是“凸集”；

③若A，&都是“凸集”，则AU4也是“凸集”；

④若A，上都是“凸集”，且交集非空，则an”也是“凸集”•

其中，所有正确的命题的序号是—.

18.(2022•海淀区二模)在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数

列｛"“｝，｛〃｝分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：

a„+l=2a„+bn,bn+t=an+2bn[n=\,2,•••)>描述了这两组信息在互相影响之下的传播演

化过程.若两组信息的初始信息强度满足“>仇，则在该模型中，关于两组信息，给出如下

结论：

①eN*,an>bn；

②V“eN"，an+l>a„,b„+i>b„；

③弘eN*,使得当时，总有

b,

@HkeN',使得当〃时，总有|色a

其中，所有正确结论的序号是—.

19.(2022•房山区二模)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦

函数.纯音的数学模型是函数y=AsinM.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音•已

知一个复合音的数学模型是函数/(x)=sinx+gsin2x.给出下列四个结论：

①/(x)的最小正周期是万；

②/(x)在[0,2刊上有3个零点;

③/(x)在［0,自上是增函数；

④/(x)的最大值为地.

4

其中所有正确结论的序号是—.

20.(2022•海淀区校级一模)已知集合尸={(x,y)|(x—cosOp+(y-sin8)2=4,臊七万}.由

集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的''水滴”.给

出下列结论：

①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A,则点A的坐标为(0,1)；

②在集合尸中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；

③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C,D,则|CO|=2+G：

④白色“水滴”图形的面积是口万-6.

21.(2022•平谷区模拟)设棱长为2的正方体43cD-A4G。，E是4)中点，点”、N

分别是棱至、上的动点，给出以下四个结论：

①存在EN/IMC、；

②存在MV平面ECCt；

③存在无数个等腰三角形EMN；

④三棱锥C-的体积的取值范围是［2,

33

则所有结论正确的序号是—.

22.(2022•海淀区校级模拟)声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液

体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声

波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.

(1)若甲声波的数学模型为£(f)=sin200加，乙声波的数学模型为

人Q)=sin(200m+G)3>0),甲、乙声波合成后的数学模型为/。)=/")+6(/).要使

/(f)=0恒成立，则夕的最小值为；

(2)技术人员获取某种声波，其数学模型记为“⑺，其部分图象如图所示，对该声波进行

逆向分析，发现它是由S?两种不同的声波合成得到的，号，S?的数学模型分别记为了⑺

和g(r),满足"⑴=f«)+g(r).已知S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中

的两个.

®y=sin—r；@y=sin2^-z；(3)j=sin37rt；@y=2sin3^/.

23.(2022•房山区校级模拟)设函数=

[log3x,x>\.

(l)如果/(1)=3,那么实数“=；

(2)如果函数y=/(x)-2有且仅有两个零点，那么实数。的取值范围是.

24.(2022•朝阳区二模)如图，在正方体AB8-AAGR中，E,F,G分别为棱

4n，上的点(与正方体顶点不重合)，过A作A"J•平面EFG,垂足为H.设正方

体ABS-ABCI。的棱长为1，给出以下四个结论：

①若E,F,G分别是AA,4A，AA的中点，则A4=且；

6

②若£,F,G分别是4A，4与，AR的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体

A8CO-A4G。，得到的截面图形一定是等边三角形；

③ASFG可能为直角三角形；

④1111

产+A尸+AG?一.“2•

其中所有正确结论的序号是

X———

，D

25.(2022•海淀区校级模拟)著名数学家棣莫佛

(De/nHwe,1667~1754)出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论

文.1707年棣莫佛提出了公式：［r(cos0+isin0)］'=r"(cosnO+zsinnd),其中r>0,

neN*.根据这个公式，则(cos3+isin^y=；若［r(cos?+isi吟)f=-16>则r=

26.(2022•密云区一模)已知点A(2,0),8(0,2)和点尸(cos仇sin。)，2eR.给出下列四个

结论：

①点P到直线AB的最大距离为6+1；

②当最大时，|PA|=G；

③A/V出的面积的最大值为4+&；

@^y=AB-AP,则4-2勒卜4+2夜.

其中所有正确结论的序号是—.

27.(2022•西城区校级三模)直线x=l与抛物线C：V=4x交于“，N两点，点P是抛物

线C准线上的一点，记0户=aOM'+bON(a,b€R),其中O为抛物线C的顶点.给出下列命

题：

©3a<0.使得而与丽平行；

②且6<o,使得0户与。M垂直；

③APMV不可能是等边三角形；

④无论点P在准线上如何运动，4+。=-1总成立.

其中，所有正确命题的序号是

—X+2x,—3„x<0

28.(2022•东城区校级三模)已知/(x)=,

In---,O^lk3

x+1

(1)函数/(x)的零点个数为个；

(2)若g(x)=|/(x)|-公-a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数。的取值范围为—

29.(2022•朝阳区校级三模)已知函数/(x)=sin(工+x)sin(巳-x),给出下列四个结论:

①/*)的值域是［-1，1］;

②/(x)在［0,自上单调递减：

③/(x)是周期为7的周期函数;

④将/(x)的图象向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图象.

其中所有正确结论的序号是

30.(2022•海淀区校级模拟)某班在一次考试后分析学生在语文、数学、英语三个学科的

表现，绘制了各科年级排名的散点图如图所

英语排名

语文排名

关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：

①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；

②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；

③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；

④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200,则其英语和数学排名均在150以内

的概率为

3

其中所有正确结论的序号是—.

31.(2022•东城区三模)已知函数/(幻=2国+/+a.

①对于任意实数a,f(x)为偶函数；

②对于任意实数a,.f(x)在(fo,0)上单调递减，在(0,仪)上单调递增；

③存在实数a，使得/(%)有3个零点；

④存在实数使得关于x的不等式/(x)..2022的解集为(-8,,+a>).

所有正确命题的序号

为•

专题10填空压轴题

1.（2022•北京）已知数列｛4｝的各项均为正数,其前n项和S“满足q•S,,=95=1,2,…）.给

出下列四个结论：

①｛%｝的第2项小于3；

②为等比数列；

③｛%｝为递减数列；

④他“｝中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是—.

【答案】①③④

【详解】对于①”=1时，可得q=3,当〃=2时、由4,S2=9,可得能■（《+生）=9,可

得生="”<3,故①正确；

对于②，当〃..2时，由s,=2得s-=2,于是可得4=2-2,即&=上一£,

a„%a„%9

若｛4｝为等比数列，则几.2时，an+l=an,即从第二项起为常数，可检验〃=3不成立，故

②错误；

对于③，因为〃j5,=9,a„>0,q=3,

当”..2时，S„=—,

an

qg

所以a”=5“-S,-=----------->0,

ana“T

9911

所以一>——=>—>——=a“<凡1,

44a,7

所以伍“｝为递减数列，故③正确；

对于④，假设所有项均大于等于」一,取“>90000,贝l」a"..」一,S.>900,则a“S”>9与己

知矛盾，故④正确；

故答案为：①③④.

2.（2021•北京）已知函数，x）=|/gx|Ttr-2,给出下列四个结论:

（1）若斤=0,则f（x）有2个零点；

（2）存在负数%,使得/*）恰有1个零点；

（3）存在负数3使得/（x）恰有3个零点；（4）存在正数3使得/（x）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是

【答案】(1)(2)(4)

【详解】函数/(x)=|/gx|-七-2的零点的个数可转化为函数y=|/gx|与直线y=履+2的交

点的个数：

作函数y=|/gx|与直线y=fcc+2的图象如右图，

若&=0,则函数y=|/gx|与直线>="+2的图象在(0,1)与(l,+oo)上各有一个交点，如直线

4，则f(x)有两个零点，故(1)正确；

当后=一2时，当尤e(0,1］时，f(x)=-lgx+2x-2,

/(10-2)=2+^-2>0,/(10-')=1+^-2<0,

故/(x)在(10N,10)上至少有一个零点，

又/(1)=0,结合图象知，f(x)在(0,1］上有两个零点，

即y■如|与y=-2x+2有两个不同的交点，故当直线绕点(0,2)顺时针旋转时，

存在直线)，=丘+2与函数)，=|/gx|与直线的图象相切，即f(x)有一个零点，如直线“，故

(2)正确；

当上<0时，函数y=|/gx|与直线y=履+2的图象至多有两个交点，故(3)不正确；

当A>0且人足够小时，函数y■姐|与直线y=丘+2的图象在(0,1)与(l,+oo)上分别有1个、

2个交点，如直线的故(4)正确；

故答案为：(1)(2)(4).

3.(2020•北京)为满足人民对美好生活

的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的

污水排放量w与时间f的关系为w=/«)，用-‘3)二八’的大小评价在为,切这段时间

b-a

内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如

给出下列四个结论：

①在匕，图这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在L时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在G时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,4］,匕，出，口这三段时间中，在［0，G的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是—.

【答案】①②③

【详解】设甲企业的污水排放量W与时间，的关系为w=f（f）,乙企业的污水排放量卬与

时间f的关系为W=g（t）.

对于①，在也，芍］这段时间内，甲企业的污水治理能力为-/仇）:/（G,

乙企业的污水治理能力为-g“2匕g（G..

t2Tl

由图可知，/（G-/G）＞g（G-gG），,J（幻-＞（G＞-g（4）r（G，

12ft2-t1

即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；

对于②，由图可知，/⑺在f?时刻的切线的斜率小于gQ）在时刻的切线的斜率，但两切

线斜率均为负值，

.•.在与时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；

对于③，在与时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

.•・在与时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；

对于④，由图可知，甲企业在［0,小，匕，t2］,［t2,编这三段时间中，在国，外的污

水治理能力最强，

故④错误.

正确结论的序号是①②③.

故答案为：①②③.

4.（2022•海淀区一模）已知函数/（》）=学少，给出下列四个结论:

①/（X）是偶函数；②/（X）有无数个零点;

③/（X）的最小值为-工；

④/（X）的最大值为1.

其中，所有正确结论的序号为—.

【答案】①②④

【详解】•.•函数/•（》）=华巴，

X2+1

.〃_幻=溶3=与三=〃幻，.•.该函数是偶函数，故①正确;

（一九）+1X+1

令函数/(%)=C1S乃X=0,贝|JCOS7TX=0,.,.乃X=ATF+工(RwZ),

厂+12

x=k+—(keZ)»故②正确;

2

COS71X-7r(x+1)sin乃工一2xcos7tx

•e,f(x)

x2+1(X2+1)2

,/f(1)=―-,:.f'(1)=—^0,

22

.•.函数的最小值不可能为-1,故③错误；

2

Icos7rx\„],当；rx=%r(AwZ)时取等号，/.0<——„1,

当且仅当x=0时取等号，喀里”1,

x2+1

当且仅当x=0时取等号，.•./（》）=竿三,,1,故④正确.

x2+1

故答案为：①②④.

5.（2022•东城区一模）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图所示，线

段他表示角楼的高，C,D,E为三个可供选择的测量点，点3,C在同一水平面内，CD

与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行

测量，则可以选择的几何量的编号为—.（只需写出一种方案）

①C,。两点间的距离；

②C,E两点间的距离：

③由点C观察点A的仰角a；

④由点。观察点A的仰角£；

⑤NACE和NAEC；⑥/4DE和Z4£D.

A

【答案】①③④或②③⑤

【详解】经分析可知，若选①③④,

在AACD中，ZACD=^-a,ZADC=^+j3,ZCAD=a-j3,

所以———=———.

sin(；+0sin(a-0

所以AC='os。.CD,

sin(a-B)

所以AB=AC•sinc=侬刖。«D,其中各个量均已知；

sin(a-0)

若选②③⑤，

已知NACE和NAEC,则NC4E=4—NACE-NAEC,

由AC=CE=CE,

sinZAECsinZCAEsin(ZACE+ZAEC)'

sinZ.AEC

所以AC=•CE,

sin(ZACE+ZAEC)

sinZAEC•sina「「

所以AB=ACsina.CE,其中各个量均己知;

sin(ZAC£+ZA£C)

其他选择方案均不可求得A8氏.

故答案为：①③④或②③⑤.

6.（2022•朝阳区一模）在平面直线坐标系xOy中，设抛物线C:丁=4x的焦点为尸，直线

/:y=6（x-l）与抛物线C交于点A,且点A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物

线C的准线交于点尸，与x轴交于点，.给出下列四个结论：

①AOE4的面积是石；②点〃的坐标是（-百,0）；

③在x轴上存在点Q使

④以HF为直径的圆与y轴的负半轴交于点N,则AF=2FN.

其中所有正确结论的序号是—.

【答案】①③④

【详解】由题意知，

联立卜「6（x7）,W3X2-10X+3=0,解得x=3或L

/=4x3

因为点A在》轴上方，所以A（3,2君），

所以AOE4的面积S=g|O/q»=；xlx2G=G，即①正确:

又y2=4x,可取y=2&,所以y，=j=,

1=#—3),

故点A处的切线斜率为切线方程为y-26即y=ix+

令y=0,则X=—3,所以点”（一3,0）,即②错误;

1店中，得y=[G，即p（_l,|6）,

把x=-l代入y=-r=X+

设点Q（町0）,

由/10-P0=0,得。"—3,—2\/3)-(/«+1,——>/3)=0,BPnr—1m+1=0,所以％=1,

3

所以点Q(l,0),即③正确；

因为H(-3,0),尸(1,0),所以以HF为直径的圆的方程为(x为>+③=4,所以点N(0,-百),

所以而:=(-2,-2石)，丽=(-1,-6),所以砺=2成，即④正确.

故答案为：①③④.

7.（2022•东城区二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（r>0）,

劳累程度T（O<T<1）,劳动动机仪1<6<5）相关，并建立了数学模型E=10-10,。如”.

已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；

@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱.

其中所有正确结论的序号是—.

【答案】①②④

【详解】设甲与乙的工人工作效率用,E2,工作年限仆2,劳累程度7；,T2,劳动动机

4,打，

14

对于①，bt=b2,r,>r2,Tt<T2,1cb<5,0<Z>/<1,

.•.蛇°吐，o<Tt<T2,

则g_心=10-107；也《叫-(10-107；■…)=10(7；-a⑷叫-Tt-4如")>0,

>£2,即甲比乙工作效率高，故①正确；

对于②，ht>b2,4=4，

..I>b^'4>>0,,

则g-&=10-107；,4«叫-(10-107；-V4^)=107；(仇-b^A4r')>0,

:.4>E,,即甲比乙工作效率高，故②正确；对于•③，4=v，£,>£,,bt<b2,0<—<1»

b2

4rA4r

E「E?=10(7；•b2-°'--7；-b^')>0,T2-b^>Tt-b^',

>能吟，

T\b2-b2

所以工<(，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；

对于④，b[=b?,E[>E?,弓，

，4r：T

E]-E2=10(7；•V-\•4如)>0,T?*bjk>7；-,

严"F>]，

工y17

所以工<不，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.

故答案为：①②④.

8.(2022•房山区一模)如图，正方体ABCD-ABCR的棱长为2,点O为底面ABCZ)的

中心，点P在侧面B2CC的边界及其内部运动.给出下列四个结论：

®D,O1AC；

②存在一点P,DQHB\P；

③若QOLOP,则面积的最大值为百；

④若尸到直线RG的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.

其中所有正确结论的序号是

【答案】①③

【详解】对于①，连接AR,CD,,由正方体的性质知三角形ACR为等边三角形，由于O

为底面A8CD的中心，故为AC中点，故AC1.RO,①正确；

对于②，将。。进行平移到过用点，使之与具有公共顶点，根据立体图形判断，无

论如何也不可能满足用“平行或重合于8/,所以R0不可能平行于耳”，②错误；对于

③取B超的中点E,连接OE,EC,BD,RE,证明_L平面OEC,所以P在线段EC

上运动，当点P到点E位置

时，Cf最大，此时面积最大为：5„MV=-X2XA/5=5/5.所以③正确.

对于④，P到宜线的距离为线段PG的长度，所以IPGRP8I，判定出。点位置为直

线8G的垂直平分线，故④错误.

故正确的序号是：①③.

故答案为：①③.

（2022•丰台区一模）如图，在棱长为2的正方体

ABCD-A4GR中，M,N分别是棱A用，AR的中点，点尸在线段CM上运动，给出

下列四个结论：

①平面CMV截正方体A8C£）-A4C|R所得的截面图形是五边形；

②直线到平面CMN的距离是与；

③存在点P,使得N4PR=90。；

④“叩面积的最小值是正.

长线分别交于M，连接CM，CM分别交8线，D.于用2，M，连接NN],

°C则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形，故①正确;

对于②，由题可知MV//与9，MNu平面CMV，耳。仁平面CMV,

8Q//平面CMN,故点B，到平面CMN的距离即为直线BR到平面CMN的距离，

长为2可得,

CM=CN=3,MN=H夜乂•不畀=乎,

.v3而「后i

V

■-B,-CMN=§SACMNX〃=—〃，

Vc-"MN=(SRVN，CC|三''21,

•'•由VB、_CMN=Vc-B,MN，可得〃=2%，

所以直线AA到平面CMV的距离是耳，故②错误；

对于③，如图建立空间直角坐标系，则用(2,0,2),£).(0,2,2),C(2,2,0),M(1,

设PCS/IA/U喷收11

PC=A.MC=A(i,2,-2),又C(2,2,0),4(2,0,2),R(0,2,2),

.-.P(2-2,2-2A,24),PBi=(2,22-2,2-2A),PDi=(2-2,22,2-22),

假设存在点P，使得ZB.PD,=90°,

PB,-PDi=A(A-2)+22(2A-2)+(2-22)2=0,整理得92,—144+4=0,

,A=7+7B>](舍去)或)=7一而,

99

故存在点P,使得ZB,PR=90°,故③正确：

对于④，由上知产(2-彳，2-22,2㈤，所以点P(2-4,2-2A,22)在的射影为(0,

2,2/1),

.•.点P(2-/l,2-22,2团到。"的距离为：

d=J(2—()~+(―2九)~=5/5九2—44,+4=^5(A——)"+,

.,.当2=|■时，dmin=>

故面积的最小值是gx2x孚=竽，故④错误.

故答案为：①③.

10.(2022•石景山区一模)已知非空集合4,8满足：AU8=R，A「|B=0,函数

f(x)=P，，XeA对于下列结论：

3X-2,XGB

①不存在非空集合对(A,8),使得/(x)为偶函数;

②存在唯一非空集合对(A,8),使得/(x)为奇函数；

③存在无穷多非空集合对(A3),使得方程/(x)=0无解.

其中正确结论的序号为—.【答案】①③

【详解】①若xwA,-x&A,则/(犬)=/，f(-x)=-x3,/(x)/(-x),

若-xwB,则f(x)=3x-2,f(-x)=-3x-2,/(x)*f(-x),

若xwA,一xwB,则/'(xh%3,f(-x)--3x-2,/(x)f(-x),

若xe3,-xwA,贝！］f(x)=3x—2,f(-x)=-x3,/(x)*f(-x),

综上不存在非空集合对(A,B),使得/(x)为偶函数；

(2)^x3=3%-2,则x=l或x=—2,

当8={1},4=CM时，/(l)=3xl_2满足当x=l时丁=1,所以f(x)可统一为/(x)=v,

此时/(-X)=-%3=-/(x)为奇函数，

3

当8={-2},A=CRB时，/(一2)=3乂(一2)-2=-8满足当》=一2时％=-8,所以/(x)可统

一为/(%)=%3,此时/(-幻=-丁=-f(x)为奇函数，

所以存在非空集合对(48),使得f(x)为奇函数，且不唯一；

③13=0解的x=0,3x—2=o解的工=—,

3

当非空集合对(A8)满足。生A且4任8,则方程无解，

3

又因为A|j8=R，A0|B=。，所以存在无穷多非空集合对(AB),使得方程/(x)=0无解，

故答案为：①③.

11.(2022•西城区二模)已知四棱锥P-ABCD的高为1,A/个和APC。均是边长为血的

等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥尸-ABC。可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到「，A,B,C,。距离都相等的点；

③可能有平面BIDL平面ABCD-,

④四棱锥尸-A8C。的体积的取值范围是(；，|j.

其中所有正确结论的序号是—.

【答案】①②④

【详解】根据题意，设POLMCD,则PO=1,又因为A/V3和步8均是边长为友的

■JT

等边三角形，易得OA=OB=OC=OD=1,且NAO8=NCO£>=-,

2

对①，当A8=8C=CD=AD=血时，底面为正方形，且O为底面中心，此时四棱锥

P-ABC。可能为正四棱锥，故①正确；

对②，04=QB=OC=O£)=OP=I,故一定存在到「，A,B,C,力距离都相等的点O,

故②正确；

对③,当平面FAQJ_平面A8a)时，因为PO_LA88,故POu平面RW,此时NAOO=;r,

又因为NAOB=NCOD=工，此时5,C重合，不满足题意，③错误；

2

对④，设NBOC=e,则/MCO=LSA8co・尸。

r_/IOC3t\Dx^U

=-C-OAOB+-OCOD+-OBOCsmO+-OAODsm{7r-0y)=-(y+smO},

322223

因为6e(0,万)，故sinde(O,1],所以匕”_=；(l+sin6)wd,2],故④正确;

故答案为：①②④.

f(x)=\2x-a\-kx-3,给出下列四个结论：

①若4=1,则函数/(X)至少有一个零点；

②存在实数a,k,使得函数/(x)无零点；

③若a>0,则不存在实数%,使得函数/(x)有三个零点；

④对任意实数“，总存在实数后使得函数/(x)有两个零点.

其中所有正确结论的序号是—.

【答案】O®④

【详解】①当a=l时,f(x)=12x-a\-kx-3,令洋x)=0,得|2'-1|=履+3,

在同一坐标系中作出y=\2'-\\,y=kx+3的图象，如图所示：

由图象及直线丫=依+3过定点(0,3)知函数f(x)至少有一个零点，故正确;

确；

③当a=6,左=_2时，在同一坐标系中作出y=|2*-6|,y=-2x+3的图象，如图所示:

22

由图象知：函数/(x)有三个零点，故错误;

在实数上使得函数/(X)有两个零点，故正确.

故答案为：①②④

13.(2022•丰台区二模)如图，某荷塘里浮萍的面积y(单位：〃/)与时间f(单位：月)

满足关系式：y=为常数)，记y=/(f)(f..O).给出下列四个结论：

①设=/(")("eN*),则数列｛/｝是等比数列;

②存在唯一的实数(1,2),使得f(2)-/(1)=广仇)成立，其中(⑺是f(r)的导函

数；

③常数ae(1,2)；④记浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为仆f2,匕，则

其中所有正确结论的序号是

【答案】①②④

【详解】依题意f(t)=a!Ina,

因为/(0)=c^lna<1,所以Ovave且awl,

又7(3)=o,Ina=6,所以历a>0,所以Ivave,即a£(l,e),

令h(a)=o'Ina,aw(l,e),

贝(a)=3a2lna+a2>0,

则力(a)在。£(],«)上单调递增,

又〃(2)=23//?2<6,所以Q£(2,e),故③错误；

nn+｝

由已知可得勺=f(〃)=alna,则an+i=f(n+1)=alna,ax=/(I)=alna,

所以%!_=毕巴=4,

and'Ina

所以｛%｝是以Hw为首项，。为公比的等比数列，故①正确；

令/(r)=a!Ina,

则r«)(痴),f(2)=a2Ina,f(1)=alna,

令g(/())=6f/(>(Ina)2-a2Ina+alna,

则g&)=d°(/%)3joe(l,2),因为。£(2,e),所以g&)=疑(/也)3>0,

即g«o)=#(加a)?-cflna+alna,在Z()G(1,2)匕单调递增，

因为a£(2,e),所以历a—avO,Ina-1<0,alna>0,

令°(a)=lna—a+\,aw(2,e),

则--■-1=-——<0,

aa

所以。(a)=lna-a+\,在。w(2,e)上单调递减，且°(2)=/〃2—2+1-妨2—1vO,

即°(a)=Ina—tz+1<0>

令H(a)=alna-tz+1,ae(2,e),

则〃(a)=bia>0,

所以"(a)=4•一4+1在。£(2,6)上单调递增，

又”(2)=2加2—2+1=2加2—1>0,

所以”(a)=alna—a+1>0,

所以g(1)=a(liui)2-crlna+alna=alna(lna一〃)+alna=alna{lna-。+1)<0,

g(2)=a1(Ina)2-crbui+aliui=a2lna(lna-1)+alna=alna(alnci—a+1)〉0.

故存在jw(1,2)匕g/)=。，故②正确；

依题意2=a'Ina,3=a"Ina,6=a"Ina,

所以2x3=a"Inaxa1-Ina=ah1"(Ina)2,

所以a""(/"a)?=6,则L4=1,

a3Ina

即办*2f/w=],

-)

所以f1+/2_，3=T^-，

Ina

因为aw(2,e),所以加2v/〃a<l,

所以l<二-v3-<2<。，

Inaln2

仇(；)

所以O<_^L<1,

Ina

所以4+f2T3>0，即小故④正确；故答案为：①@④.

14.(2022•昌平区二模)刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小

王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案-即图中的阴影部分.它的设计方法是：

先画一个边长为3的正三角形A4G，取正三角形A与G各边的三等分点42，与，c2,得

到第一个阴影三角形4片与；在正三角形482G中，再取各边的三等分点4,B.,c},

得到第二个阴影三角形4鸟巴；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则A与=—；

图中螺旋形图案的面积为

Cl

【详解】设正三角形/WC的边长为q,后续各正三角形的边长依次为出，出，%，

设第一个阴影三角形面积为S「后续阴影三角形面积为.，$3，…，S„,