21.21.3 因式分解法 数学人教版九年级上册知识清单＋例题讲解＋课后练习(含解析)

第四课时——因式分解法与整体法知识点一：因式分解法：1.因式分解法：利用因式分解求解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2.基本原理：左边为整式的乘积的形式，右边等于0，则让左边的整式分别等于0即可求解．即：，则0或0．3.因式分解的方法：①提公因式法；②公式法；包含平方差公式和完全平方公式．③十字相乘法．常用的因式分解法解方程的两种方法是提公因式法和十字相乘法．【类型一：直接利用等式等于0求解方程】1．方程x(x-6)=0的解是（

）A．x=6 B．x1=0，x2=6 C．x=-6 D．x1=0，x2=-62．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=03．一元二次方程的根是【类型二：提公因式解方程】4．方程（x﹣1）（x+3）＝x﹣1的根是（）A．x＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝05．用因式分解法把方程分解成两个一次方程，正确的是（

）A． B．C． D．6．一元二次方程的解是．7．解方程:.【类型三：十字相乘法解方程】8．方程x2+x﹣6＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝39．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（

）A．13 B．18 C．22 D．2610．已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（

）A．6 B．10 C．12 D．2411．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．12 B．14 C．16 D．12或16知识点一：整体法（换元法）1.整体法：通过把一元二次方程中某一部分看做一个整体进行求解一元二次方程的方法叫做整体法．通常会把看成整体的部分用其他未知数代替，所以又叫换元法．2.例题讲解：解(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．解：设2x+1＝y，则原方程可化为：y2+3y+2＝0，∴(y+1)(y+2)＝0，解得：y＝﹣1或y＝﹣2，即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，解得x1＝﹣1，x2＝．【类型一：利用整体法求值】12．若实数满足，则的值为（）A．1 B． C．3或 D．或113．若实数x，y满足（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为．14．若实数x，y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0．则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．﹣2或﹣115．如果（x2+y2）2+3(x2+y2)-4=0，那么x2+y2的值为．16．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（

）A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．5【类型一：利用整体法解方程】17．解方程，若设，则原方程可化为．18．解下列方程：(1)；(2)．【类型一：利用合适的方法解方程】19．选择适当的方法解下列一元二次方程(1)；(2)；(3)；(4)．20．解方程：(1)．(2)．(3)．(4)．一．选择题（共10小题）21．一元二次方程的根是（）A． B． C．， D．，22．方程（x﹣3）（x+4）＝0的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣4 C．x1＝3，x2＝﹣4 D．x1＝﹣3，x2＝423．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根．则该等腰三角形的周长是（

）A．2 B．8 C．10 D．10或824．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（

）A．24 B．48 C．24或 D．25．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．126．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（）A． B． C． D．27．若2x2+1与4x2－2x－5互为相反数，则x为A．－1或 B．1或 C．1或 D．1或28．定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）A．x=3 B．x=﹣1 C．x1=3，x2=1 D．x1=3，x2=﹣129．已知，，且，则的值为（）A．4 B． C．或1 D．或430．方程的解是（

）A．或 B．或 C．或 D．无实数根二．填空题（共6小题）31．小明在解一元二次方程时．只得到一个根，则被他漏掉的一个根是=．32．已知xy≠0，且3x2﹣2xy﹣8y2＝0，则＝．33．已知实数x满足（x2-x）2-4（x2-x）-12=0，则代数式x2-x+1的值为．34．若，则．35．等腰（非等边）三角形的边长都是方程的根，则此三角形的面积为．36．关于x的代数式+（m+2）x+（4m-7）中，当m=时，代数式为完全平方式．三．解答题（共4小题）37．解方程(1)(2)38．阅读下列材料：已知实数m，n满足(2m2+n2+1)(2m2+n2-1)=80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t-1)=80，整理得t2-1=80，t2=81，∴t=±9．因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2=9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x，y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27，求x2+y2的值．（2）若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．39．阅读下面的例题，范例：解方程，解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．∴原方程的根是，，请参照例题解方程40．解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0

①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．(2)解方程(x2+x)2－4(x2+x)－12=0．（3）解方程

x2-3｜x｜=18参考答案：1．B【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：，∴，，∴；故答案为：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解一元二次方程．2．A【分析】解答此题可以采用排除法，各选择答案都很简单，解方程即可．也可根据根与系数的关系求解．【详解】∵（x+5）（x﹣7）＝0∴x+5＝0或x﹣7＝0∴x1＝﹣5，x2＝7．故选A．【点睛】在解选择题是要注意方法的选择，有直接求解法，排除法等，在解题时要注意解题技巧与方法的积累．3．【分析】根据一元二次方程的解法可直接进行求解．【详解】解：由一元二次方程可得方程的解为；故答案为．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．4．C【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：∵（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，∴（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，则x﹣1＝0或x+2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．5．C【分析】此题是提公因式法，公因式为（y−3），解题时要注意先要移项，特别是移项要变号，所以原式变形为5y（y−3）＋（y−3）＝0．【详解】解：根据题意得，，∴，∴或．故选：C【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题时要注意方法的选择，此题渗透了数学思想中的整体思想．6．x1=-1，x2=2【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：方程整理得：x（x+1）-2（x+1）=0，分解因式得：（x+1）（x-2）=0，可得x+1=0或x-2=0，解得：x1=-1，x2=2．故答案为：x1=-1，x2=2．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．,【分析】先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可.【详解】解:移项，得

(x+1)²-(5x+5)=0提取公因式，得

(x+1)(x+1-5)=0所以有，x+1=0或者

x+1-5=0所以,.【点睛】本题考查了分解因式法解一元二次方程，有多种解法，可用自己熟悉的来解.8．B【分析】利用因式解法即可求解．【详解】原方程因式分解得：，∴．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．9．C【分析】先利用因式分解法解方程，再由三角形三边关系判断出第三边的长度范围，从而确定周长的范围，即可得出答案．【详解】解：∵x2−13x＋36＝0，∴（x−4）（x−9）＝0，则x−4＝0或x−9＝0，解得x1＝4，x2＝9，则此三角形的第三边的范围为，故其周长的范围为周长．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．C【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，解得：x＝4或x＝6，∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为×4×6＝12．故选：C．【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．11．C【分析】先求出方程的解，再根据菱形的性质求出边长，故可求解．【详解】解：方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得x﹣3＝0或x﹣4＝0，解得：x＝3或x＝4，当AB＝3时，3+3＝6，不能构成三角形，舍去；当AB＝4时，菱形周长为16．故选：C．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键熟知方程的解法及菱形的性质．12．D【分析】由题中，得到，把当作一个整体求出即可．【详解】解：，，∴，故选：D．【点睛】本题考查代数式求值，解方程，根据题中条件，掌握解方程的基本方法是解决问题的关键．13．﹣2或1【分析】将x＋y看作一个整体，求出x＋y的值即可．【详解】解：∵（x+y+2）（x+y﹣1）＝0，∴x+y+2＝0或x+y﹣1＝0，解得：x+y＝﹣2或x+y＝1，故答案为：﹣2或1【点睛】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，将x＋y看作一个整体是解本题的关键．14．B【分析】由（x2+y2+2）（x2+y2-2）=0，就可以得出x2+y2+2=0或x2+y2-2=0．直接求出x2+y2的值即可．【详解】∵（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，∴x2+y2+2=0或x2+y2﹣2=0，∴x2+y2=﹣2（舍去）或x2+y2=2，∴x2+y2的值为2．故选B．【点睛】本题考查了整体思想的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，非负数的性质的运用，解答时求出运用因式分解法求解是关键．15．1【分析】先设，则原方程可变形为：，解方程即可求得m的值，从而求得的值.【详解】设，则原方程可变形为：，分解因式得，∴m=-4，m=1，∵≥0∴=1故答案为：1.【点睛】此题主要考查了用换元法解一元二次方程，换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法，这种解题方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，被告等量代换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观.16．C【分析】设y＝x2﹣2x+1，将已知方程转化为关于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0，整理，得（y+5）（y﹣1）＝0，解得y＝﹣5（舍去）或y＝1，即x2﹣2x+1的值为1，故选C．【点睛】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法解和因式分解法．17．【分析】根据平方的性质，，然后把代入方程，即可得到答案．【详解】解：，整理得，把代入方程得，故答案为：．【点睛】本题考查换元法，涉及平方的性质，读懂题意，按照所给方程结构特征换元是解决问题的关键．18．(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝(2)【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解【详解】（1）解：设则或解得，∴或∴或解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；（2）解：设，则，或，解得，，或，或，解得，【点睛】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键．19．(1)(2)，(3)，(4)【分析】（1）根据因式分解法解答即可；（2）根据因式分解法解答即可；（3）根据公式法解答即可；（4）根据因式分解法解答即可；【详解】（1）解：原方程变形为：解得：；（2）解：原方程变形为：，解得：，；（3）解：∵，∴，∴，解得：，；（4）解：原方程变形为：，解得：．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．(1)(2)，(3)，(4)或【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；（2）利用配方法解出方程；（3）利用公式法解出方程；（4）利用因式分解法解出方程．【详解】（1）解：（1）所以（2）方程变形得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；（3）方程化为一般形式，得，∴，∴，；（4）方程分解得：可得或，解得：或．【点睛】本题考查直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解出方程，掌握这些方法是本题解题关键．21．D【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：，，或，所以，．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法是解题的关键．22．C【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：x﹣3＝0或x+4＝0，所以x1＝3，x2＝﹣4．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．23．C【分析】先求出方程的两根，然后进行分类讨论即可．【详解】解：，因式分解得：，∴或，∴，，∵是等腰三角形的两条边长，当等腰三角形的三条边长分别为时，，不能构成三角形；当等腰三角形的三条边长分别为时，等腰三角形的周长为，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程以及熟知有两条边相等的三角形是等腰三角形是解本题的关键，注意进行分类讨论．24．C【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．【详解】解：，，或，所以，，当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积，当第三边长为10时，∵,∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积．故选C．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用．25．D【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.26．D【分析】将原方程中的换成，再移项即可．【详解】解：根据题意，得，即；故选：D．【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．27．B【详解】本题考查一元二次方程的解法,根据题意可得:2x2+1+4x2－2x－5=0,解方程可得:,.28．D【详解】∵x♣2=3，∴x（x﹣2）=3，整理得x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0，所以x1=3，x2=﹣1．故选D．29．A【分析】将与的值代入，以为整体，求出它的值即可．【详解】解：，，，，，解得或4，，．故选：A．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键注意．30．A【详解】（1）当x＞0时，原方程可变形为，即，解得或；（2）当x＜0时，原方程可变形为，即，解得或，则方程的解是或.故选A.【点睛】解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可.31．0【详解】－2x=0x(x－2)=0则故答案为：032．或2【分析】首先对，因式分解得，，那么可以求出x与y得关系式，进而求出．【详解】解：∴3x＝﹣4y或x＝2y，∴或故答案为：或.【点睛】本题主要考查了因式分解解二元二次方程的应用，掌握因式分解的应用是解题的关键．33．7【详解】设x2-x=m，则原方程可化为：m2-4m-12=0，解得m=-2，m=6；当m=-2时，x2-x=-2，即x2-x+2=0，△=1-8＜0，原方程没有实数根，故m=-2不合题意，舍去；当m=6时，x2-x=6，即x2-x-6=0，△=1+24＞0，故m的值为6；∴x2-x+1=m+1=734．1【分析】设，则方程化为，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可．【详解】解：，，设，则化为，解得：，即，所以．故答案为：1．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是要将原式变形，设，得到一元二次方程．35．【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理得出此三角形的三边长，然后利用勾股定理、等腰三角形的性质求出AD的长，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解得由题意得：这个三角形的三边长分别为或（1）当这个三角形的三边长分别为时不满足三角形的三边关系定理，舍去（2）当这个三角形的三边长分别为时满足三角形的三边关系定理如图，设这个三角形为等腰，其中过点A作于点D则（等腰三角形的三线合一）即此三角形的面积为故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理、勾股定理等知识点，依据题意，正确求出等腰三角形的三边长是解题关键．36．4或8【分析】根据完全平方式中一次项系数等于二次项系数的算术平方根与常数项的算术平方根的积的2倍即可求解，但要注意完全平方式有两个，所以一次项系数有两个．【详解】解：由题意可知：，∴，整理得到：，解得：，∴当m=4或8时，代数式为完全平方式．【点睛】本题借助完全平方式的概念考查了一元二次方程的解法，读懂题意，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．37．(1)(2)【分析】根据解一元二次方程的方法﹣因式分解法解方程即可．【详解】（1）因式分解得，∴或，∴，；（2），，∴或，∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．38．（1）3；（2）9，10，11，12【分析】（1）设2x2+2y2=t，则原方程化为（t+3）（t-3）=27，求出t，再求出x2+y2即可；（2）设四个连续正整数为k-1，k，k+1，k+2（k≥2且k为整数），并同理利用换元法解方程即可．【详解】解：（1）设2x2+2y2=t，则原方程变为(t+3)(t-3)=27，整理得t2-