13.2.2 空间两条直线的位置关系（四大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页13.2.2空间两条直线的位置关系课程标准学习目标（1）能借助长方体，通过直观感知、操作确认，得出空间两条直线的位置关系.（2）理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.（1）会判断空间两条直线的位置关系.（2）能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．（3）理解异面直线所成的角的概念．知识点01平行线的传递性基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．【即学即练1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）下列命题中，真命题有（

）①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等；②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行；④，若，，则或.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】由等角定理知，①正确，④正确；对于②，如图正方体中，对于和，显然有，，但是，，故②错误；当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内，则也可以平行，也可以异面，故③错误.故正确的只有①④.故选：B知识点02等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．【即学即练2】（2024·高二·上海长宁·期末）已知和且，则．【答案】或【解析】如图1，此时，如图2，此时，故答案为：或.知识点03异面直线1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．2、画法：3、两异面直线所成角的常用方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．【即学即练3】（2024·高一·河南周口·期末）如图，在三棱锥中，，都为等边三角形，，，M为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．0【答案】D【解析】M为中点，取中点为N，连接，如图所示，则，即为异面直线与所成角，，都为等边三角形，，，则，在中，，，，故.故选：D.知识点04空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内有且只有一个公共点平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点【即学即练4】（2024·高二·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面，故ABD错误，C正确.故选：C.题型一：基本事实4的应用【典例1-1】（2024·全国·高一课时练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形．【解析】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．【典例1-2】（2024·全国·高一课时练习）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行．【解析】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC，而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直线MN与直线EF平行．【变式1-1】（2024·全国·高一课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画?并说明理由.【解析】如图，在平面A1B1C1D1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直线EF即为所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，则EF∥BC.【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．题型二：等角定理的应用【典例2-1】（2024·高一·新疆伊犁·期末）已知，的两边EF、FM分别平行于的两边AB与BC.则．【答案】或【解析】由等角定理，如果一个角的两边与另一个角的两边平行，则两个角相等或互补，所以或.故答案为：或.【典例2-2】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则．【答案】或【解析】根据等角定理知：或，若，则或.故答案为：或【变式2-1】（2024·高一·广西玉林·期末）设与的两边分别平行，若，则.【答案】或【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．所求角为或.故答案为：或.【变式2-2】（2024·高一·全国·课时练习）已知角的两边和角的两边分别平行且，则.【答案】或.【解析】由等角定理可知，或，或.故答案为：或.【变式2-3】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）已知空间中两个角，且，若，则.【答案】或【解析】因为两个角，且，则的两边分别平行，所以相等或互补，又，所以或故答案为：或【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．题型三：直线与直线的位置关系【典例3-1】（2024·高二·北京·学业考试）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（

）A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【答案】D【解析】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交，则a与b可能平行，也可能是异面直线，故选：D【典例3-2】（2024·高二·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（）A．共面 B．平行C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线【答案】C【解析】∵直线a和b没有公共点，∴直线a与b不是相交直线．∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．故选：C．【变式3-1】（2024·高二·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【解析】∵A、M、三点共面，且在平面，但平面，，∴直线AM与是异面直线，故①错误；因为平面，平面，但平面，，所以直线AM与BN也是异面直线，故②错误；因为平面，平面，但平面，，所以直线BN与是异面直线，故③正确；因为平面，平面，但平面，，所以直线AM与是异面直线，故④正确．故选：A．【方法技巧与总结】（判定两直线异面的常用方法）（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；（2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况．题型四：异面直线所成的角【典例4-1】（2024·高二·重庆·期末）在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，取中点，连接，取中点，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，所以或其补角是异面直线与所成角，设正方体棱长为2，则，在等腰中，是中点，所以，所以，即异面直线与所成角的正弦值为.故选：C【典例4-2】（2024·高二·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，连接，，因为，，所以四边形是平行四边形，，因此是异面直线与所成的角或其补角，设正方体的棱长为2，则，，在直角三角形中，，，即三角形是直角三角形，，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.【变式4-1】（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（

）A．1 B． C．1或2 D．2或【答案】D【解析】如图，过点作平面于点，则是母线，连接底面，，则四边形是平行四边形，，与所成的角就是或其补角．当时，是等边三角形，，在中，；当时，在中，，在中，．综上，或.故选：D．【变式4-2】（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（

）

A． B． C． D．或【答案】D【解析】取线段的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则且，同理可得且，所以，异面直线、所成的角为或其补角，①若，则是边长为的等边三角形，故；②若，因为，则为等腰三角形，且，取的中点，则，且.综上所述，或.故选：D.【变式4-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成的角.【解析】（1）依题意，得，解得；（2）如图，取的中点，连接，则，所以是两异面直线与所成的角，因为平面，所以平面，又平面，所以，在中，，则，所以，所以异面直线与所成的角为.【方法技巧与总结】（两异面直线所成角的常用方法）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．一、单选题1．（2024·高二·北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，，在正方体中，易得，故直线与直线所成角的大小与直线与直线所成角大小相等，又，故为等边三角形，故，即直线与直线所成角的大小为.故选：C.2．（2024·高一·新疆喀什·期末）正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方体中，连接，由分别是的中点，得，四边形是正方体的对角面，则四边形是矩形，于是，即有，因此是异面直线与所成角或其补角，在中，，则，所以与所成角为.故选：C3．（2024·高一·新疆阿克苏·阶段练习）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】D【解析】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误；当P与重合时，此时、面，故B错误；当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误；由正方体的特征可知四边形为平行四边形，而平面，平面，、平面，，故与始终异面，即D正确.故选：D4．（2024·高二·福建厦门·期中）如图，在正方体中，M是的中点，则异面直线，所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】连接,取，的中点,连接;在正方体内，因为分别为的中点，所以,故四边形为平行四边形；所以;又因为，的中点为，所以;所以为异面直线，所成的角或其补角.设正方体的棱长为2，则,，在直角中，，在中，利用余弦定理可得：.故选：D.5．（2024·上海·模拟预测）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意；同上，，即共面，易知平面，而平面，故B符合题意；当重合时，易知，则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意；同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意.故选：B6．（2024·高二·四川内江·阶段练习）如图是正方体的展开图，则还原图形后，下列说法正确的是（

）A．与平行 B．与异面C．与平行 D．与相交【答案】B【解析】如图为还原图，由图可知与为异面直线，与为异面直线，故选：B7．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，而分别为的中点，则，，因此或其补角是异面直线与所成的角，在中，，则，所以异面直线与所成角的大小是.故选：C8．（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图,取的中点,取的中点,连接则,且,,则就是异面直线与所成的角或其补角．易知平面,所以平面,所以.因为,,所以,所以由勾股定理得,又,,所以在△中,由余弦定理得,故异面直线与所成角的余弦值为．故选:A．二、多选题9．（2024·高一·河南·期中）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由题意可知M为的中点，故，，故，与均为相交直线，A，B错误；平面，平面直线，故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确，故选：CD10．（2024·高一·陕西西安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（

）A．直线与直线相交；B．直线与直线平行；C．直线BM与直线是异面直线；D．直线与直线成角.【答案】CD【解析】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以A不正确；对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），所以直线与为异面直线，所以B不正确；对于C中，平面平面，平面，平面，所以直线与不相交，连接，则，而与相交，所以与不平行，否则，不合题意，所以直线与是异面直线，所以C正确；对于D中，连接，则为正三角形，可得，又由，则为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为，所以D正确.故选：CD.11．（2024·高二·山东德州·阶段练习）已知，分别是三棱锥的棱，的中点，且，.若异面直线与所成角的大小为，则线段EF的长可能为（

）A． B． C．5 D．【答案】BD【解析】取中点，连接，，因为，分别为，的中点，，，所以，，，，所以异面直线与所成角与直线和所成角相等，即或，当时，根据余弦定理得，，解得；当时，根据余弦定理得，，解得.故答案为：BD.三、填空题12．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知正方体的棱长为，则异面直线与所成的角的余弦值．

【答案】/【解析】如图所示连接，根据正方体的特征易知，且为等边三角形，所以即异面直线与所成的角，且，.故答案为：13．（2024·高二·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】假设直线共面，平面，由，则平面，同理，平面，故共面，这与是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线异面.故答案为：异面.14．（2024·高二·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是.①②③④【答案】②【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意；因为，即共面，易知平面，而平面，，，故与异面，故②符合题意；当重合时，易知，则四边形是平行四边形，则此时，故③不符合题意；当重合时，显然，相交，故④不符合题意.故答案为：②四、解答题15．（2024·高三·全国·专题练习）已知正方体中，棱长为2，点E是棱AD的中点．连接CE，求证：直线