14.2 抽样（八大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页14.2抽样课程标准学习目标（1）掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤．（2）掌握分层抽样的实施步骤.（3）了解简单随机抽样与分层抽样的区别和联系．（1）了解简单随机抽样的必要性和重要性.（2）理解简单随机抽样的目的和基本要求.（3）理解分层抽样的基本思想和适用情形.知识点01简单随机抽样1、简单随机抽样一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．2、简单随机抽样的方法（1）抽签法：把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数．（2）随机数法：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数．①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数；③用计算器生成随机数；④用电子表格软件生成随机数；⑤用R统计软件生成随机数．3、抽签法与随机数表法的异同点抽签法随机数表法不同点①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况相同点①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取【即学即练1】（2024·高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（

）A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【答案】B【解析】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的.对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意；对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意；对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意；对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意.故选：B.知识点02分层抽样1、分层抽样定义一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样．2、分层抽样适用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层抽样．3、分层抽样的步骤（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比．（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：（其中为第i层所包含的个体总数）．（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．4、两种抽样方法的区别和联系类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取从总体中逐个抽取最基本的抽样方法总体容量较少分层抽样抽样过程中各个个体被抽到的机会相等，且都是不放回抽取将总体分成几部分，每一部分按比例抽取每层抽样时采用简单随机抽样总体由差异明显的若干部分组成【即学即练2】（2024·内蒙古赤峰·一模）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高二年级的学生中抽取人，则应从高三年级抽取名学生．【答案】48【解析】因为某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，按照分层抽样的方法，则样本中高一、高二、高三年级的学生人数之比也为，所以高三应抽取人.故答案为：题型一：简单随机抽样的概念【典例1-1】（2024·高二·上海·期末）已知一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率（

）A．变小 B．变大 C．相等 D．无法确定【答案】C【解析】一个总体含有N个个体，要用简单随机抽样方法从中抽取一个个体，则在抽样过程中，每个个体被抽取的概率为.故选：C.【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列4个抽样中，简单随机抽样的个数是（）①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③不是简单随机抽样.因为50名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样.故选：B【变式1-1】（2024·高一·陕西宝鸡·阶段练习）某校在一次期中作业检查中，对高一（6）班61位同学的作业进行抽样调查，先采用抽签法从中剔除一个人，再从余下的60人中随机抽取6人，下列说法正确的是（

）A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会B．每个人被抽到的机会不相等C．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会相等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是相等的D．由于采用了两步进行的抽样，所以无法判断每个人被抽的可能性是多少【答案】C【解析】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取6人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.故选：C.【变式1-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期末）以下说法中正确的是（

）A．用简单随机抽样方法抽取样本，样本量越大越好B．抽签法是实现简单随机抽样的唯一方法C．通过查询获得的数据叫做二手数据D．通过调查获取的数据一定可以获得好的分析结果【答案】C【解析】对于A，用简单随机抽样方法抽取样本，样本容量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加,而且代表性较差的样本并不能真实反映总体的情况，所以A错误.

对于B，简单随机抽样除了抽签法外，还有随机数表法，所以B错误，对于C，通过查询获得的数据叫做二手数据，所以C正确.

对于D，通过调查获取的数据不一定可以获得好的分析结果，所以D错误.故选：C【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下列抽样方法是简单随机抽样的是（）A．从无数张高考试卷中抽取10份作为样本B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道【答案】D【解析】A项，总体容量无限，故A项错误；B项，是有放回抽取，故B项错误；C项，总体容量无限，故C项错误；D项，符合简单随机抽样的特点，故D项正确；故选：D.【方法技巧与总结】（简单随机抽样的判断方法）判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．题型二：抽签法的应用【典例2-1】（2024·高一·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（

）A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回【答案】B【解析】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性．故选：B【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（

）．A．先抽的概率大些B．三人的概率相等C．无法确定谁的概率大D．以上都不对【答案】B【解析】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断.∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故选：B．【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（

）A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验【答案】B【解析】根据抽签法适用样本容量少，并且样本需搅拌均匀，进行逐一判断即可.因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.故选：B【变式2-2】（2024·高二·新疆巴音郭楞·期中）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（

）A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少D．每个人被抽到的可能性不相等【答案】B【解析】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.故选：B.【变式2-3】（2024·高一·全国·课时练习）已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若每个个体被抽到的可能性是，则n等于（

）A．10 B．50 C．100 D．不确定【答案】C【解析】，解得n=100.故选：C.【方法技巧与总结】（抽签法的应用条件及注意点）（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．（2）应用抽签法时应注意以下几点：①分段时，如果已有分段可不必重新分段；②签要求大小、形状完全相同；③号签要均匀搅拌；④要逐一不放回的抽取．题型三：随机数法的应用【典例3-1】（2024·云南贵州·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（

）062743132432532709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360701400523261737263890512451793014231021182191A．51 B．25 C．32 D．12【答案】A【解析】根据随机数表读取，分别抽到的编号为31，32，43，25，12，51，26，04，01，11，所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51，故选：A【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（

）41792

71635

86089

32157

95620

92109

2914574955

82835

98378

83513

47870

20799

32122A．29 B．21 C．14 D．09【答案】A【解析】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29.故最终取得的第6个数字为29.故选：A【变式3-1】（2024·高一·全国·专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192907966925271932812458569683257393127556488730113537989431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【答案】D【解析】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为.故选：D【变式3-2】（2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（

）062743132432532709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617A．51 B．25 C．32 D．12【答案】A【解析】依题意，前6个编号依次为：31，32，43，25，12，51，所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51.故选：A【变式3-3】（2024·高一·全国·开学考试）某公司利用随机数表对生产的300支新冠疫苗第一针进行抽样测试，先将疫苗按000，001，，299进行编号，从中抽取15个样本，选定从第3行第4列的数开始向右读取3个数字（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），则选出来的第4个个体的编号为（

）167662276656502671073290797853135538585988975414101256859926969668273105037293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030A．135 B．141 C．101 D．290【答案】A【解析】从表中第3行第4列开始向右读取分别为662（舍），276，656（舍），502（舍），671（舍），073，290，797（舍），853（舍），135.故选：A.【变式3-4】（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．457【答案】A【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.【变式3-5】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）某班对上学期期末成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将个同学的成绩按进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，抽取一个容量为的样本，则选出的第个个体是（

）（注：如下为随机数表的第8行和第9行）63

01

63

78

59

16

95

55

67

19

98

10

50

71

75

12

86

73

5833

21

12

34

29

78

64

56

07

82

52

45

07

44

38

15

51

00

13A．07 B．25 C．42 D．52【答案】D【解析】依题意，抽取的前个个体是：，所以选出的第个个体是.故选：D【方法技巧与总结】（随机数法解题步骤）第一步，编号．第二步，生成随机数．第三步，记录样本编号．第四步，抽取样本．题型四：简单随机抽样的概率【典例4-1】（2024·高一·陕西西安·期中）对总数为200的一批零件，抽一个容量为的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则为（）A．50 B．100C．25 D．120【答案】A【解析】因为每个零件被抽到的可能性相等，所以由解得，故选：A【典例4-2】（2024·高二·新疆·学业考试）对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（

）A．150 B．120 C．100 D．40【答案】C【解析】由题意可得：，解得.故选：C.【变式4-1】（2024·高一·全国·课时练习）某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，若已知每人被抽取的机会为0.03，则样本容量n为（）A．54 B．21 C．18 D．15【答案】A【解析】总样本共，样本容量.故选:A.【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个容量为3的样本，若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为，那么（）A．8 B．24C．72 D．无法计算【答案】A【解析】因为用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中逐个抽取个样，个体a在第一次就被抽取的可能性为，所以，得，故选：A【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，故选：D.【变式4-4】（2024·高一·浙江温州·期末）利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为，故选：D.题型五：简单随机抽样估计总体【典例5-1】（2024·高二·全国·课时练习）我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒．则这批米内夹谷约为（

）．（结果精确到整数）A．133石 B．169石 C．337石 D．1364石【答案】B【解析】依题意，抽取的样本中，谷的频率为，由此估计1534石米内有谷(石)，所以这批米内夹谷约为169石.故选：B【典例5-2】（2024·高三·湖北·阶段练习）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类，全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类．题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献．《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1500石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得304粒夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（

）A．148石 B．149石 C．150石 D．151石【答案】A【解析】由题意可知这批米内夹谷约为（石）．故选：A.【变式5-1】（2024·高二·宁夏吴忠·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（

）A．222石 B．220石 C．230石 D．232石【答案】C【解析】根据米255粒内夹谷29粒，则频率为，则这批米内夹谷约为（石）.故选：C.【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）对于总数的一批零件，抽取一个容量为30的样本.若每个零件被抽到的可能性均为25%，则（

）A．120 B．150 C．200 D．240【答案】A【解析】根据每个个体被抽到的概率及样本容量,即可求得总体个数.∵对于总数为的一批零件,抽取一个容量为30的样本,每个零件被抽到的可能性均为25%,∴,解得.故选:A.【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名.具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2.表1

田径综合赛项目及积分规则表2

某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是:（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】根据积分规则，分别计算出甲乙丙丁四人的总得分，即可得解.由题，甲各项得分为:100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184乙各项得分为:100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为:100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为:100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182，综上，乙得分最多.故选:B.【变式5-4】（2024·辽宁朝阳·模拟预测）一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为A．39人 B．49人 C．59人 D．超过59人【答案】A【解析】根据随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，得到每十个个体被抽到的机会也是均等的，结合题中数据，即可估计出结果.因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以，，，，….，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，，，四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右；故选A题型六：分层抽样的概念【典例6-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（

）A．①②都采用简单随机抽样B．①②都采用分层随机抽样C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样【答案】C【解析】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.故选：C.【典例6-2】（2024·高二·内蒙古锡林郭勒盟·期末）树人中学高一年级有712名学生，男生有326名，女生有386名，想抽取样本了解高一年级的平均身高，为减少“极端”样本的出现，你认为比较合适的抽样方法为（

）A．抽签法 B．随机数法 C．分层抽样 D．其他方法【答案】C【解析】为减少“极端”样本的出现，可按照男生与女生的比例抽取，因此用分层抽样.故选：C.【变式6-1】（2024·高二·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（

）A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样【答案】C【解析】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；故选：C.【变式6-2】（2024·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（

）A．抽签法 B．按性别分层随机抽样C．按年龄段分层随机抽样 D．随机数法【答案】C【解析】依题意，“居民人数多”，“男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C【变式6-3】（2024·高三·陕西榆林·期中）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为60的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法【答案】B【解析】根据题意，第①项调查中，甲、乙、丙、丁四个地区情况不同，即总体中的个体差异较大，符合分层抽样的概念与方法，应采用分层抽样的抽法进行抽取；第②项调查中，从丙地区20个特大型销售点中抽7个，数量较小，且无差异，可采用简单的随机抽样进行抽取.故选：B.【变式6-4】（2024·高一·全国·课时练习）在个零件中，有一级品个，二级品个，三级品个，从中抽取个作为样本．方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号，用抽签法抽取个．方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取个，从二级品中随机抽取个，从三级品中随机抽取个．对于上述问题，下列说法正确的是（）①不论采用哪种抽样方法，这个零件中每一个零件被抽到的可能性都是；②采用不同的方法，这个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法抽到的样本比方法抽到的样本更能反映总体特征；④在上述抽样方法中，方法抽到的样本比方法抽到的样本更能反映总体的特征．A．①② B．①③C．①④ D．②③【答案】B【解析】对于①②，根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是，故①正确，②错误；对于③④，由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故③抽到的样本更有代表性，③正确，④错误．故选：B.【方法技巧与总结】（分层抽样的依据）（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．（2）样本能更充分地反映总体的情况．（3）等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．题型七：分层抽样中各层样本容量的计算【典例7-1】（2024·高一·江苏·专题练习）某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示.很满意满意一般不满意10800124001560011200为了调查网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，则每类帖子中各应抽选出份.【答案】108，124，156，112【解析】因为，所以，故每类帖子应分别抽取108，124，156，112份进行调查.故答案为：108，124，156，112【典例7-2】（2024·高三·辽宁·开学考试）据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则.【答案】200【解析】青年旅客抽到60人，则老、中年旅客的人数分别为和，故.故答案为：200【变式7-1】（2024·高三·四川巴中·阶段练习）某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为【答案】【解析】从教师中抽取的人数为30，则抽取学生的人数为，该校学生人数为，故答案为：．【变式7-2】（2024·高三·全国·专题练习）在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为.【答案】960【解析】设高一年级学生人数为人，由题意可知，从高一年级抽取的学生人数为人，所以，解得人.故答案为：960.【变式7-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）《中国医保药品管理改革进展与成效》蓝皮书发布，指出我国从2018年开始连续4年开展国家医保药品目录调整工作，现行版目录内西药和中成药共计2860种，其中中成药有1374种．用分层抽样的方法从中抽出143种医保药品，则从中成药目录中抽出的有种．（四舍五入精确到个位）【答案】【解析】由题意从中成药目录中抽出的有种.故答案为：.【方法技巧与总结】（分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法）（1）已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中为总体容量，为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数，其中为第层的个体数，为第层应抽取的个体数．（2）已知各层个体数之比为，样本容量为时，每层抽取的个体数为．题型八：分层抽样的应用【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中生500人.其中男生320人，女生180人.为了获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算得男生身高样本均值为173.5cm，方差为17，女生身高样本均值为163.83cm，方差为30.03，求所有数据的样本均值.【解析】所有数据的样本均值为（cm），【典例8-2】（2024·高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少?(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少?【解析】（1）男、女的样本量按比例分配，总样本的均值为cm.（2）男、女的样本量都是25，总样本的均值为cm，【变式8-1】（2024·高一·全国·课后作业）某公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收入者，800名属于低收入者．要对该公司员工的具体收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样抽样比较合理？【解析】可以采用分层随机抽样的方法．按照该公司员工的收入水平分成三层：高收入者、中等收入者、低收入者．高收入者为50名，占所有员工的比例为，为保证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的比例也应为5%，即，所以应抽取5名高收入者比较合理．同理，抽取15名中等收入者、80名低收入者，再对他们的具体收入状况分别进行调查．【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）某学校开展学生对教师任教满意度的调查活动．首先，通过问卷对全体学生进行普查，然后根据普查结果，抽取一部分学生进行访谈．下表是该学校在普查中对某位教师任教的所有班级（4个班级）的满意度调查结果：班级编号1234满意度/%98979091现在，想从这4个班级中选取一部分学生进行访谈．有4名同学是这样操作的：同学甲从2号班级、4号班级中抽取一部分同学进行访谈．同学乙从1号班级、2号班级中抽取一部分同学进行访谈．同学丙从1号班级、3号班级中抽取一部分同学进行访谈．同学丁从3号班级、4号班级中分别抽取一部分同学进行访谈．你认为哪名同学的调查更合理？【解析】在这个调查中，总体是该教师任教班级每一名同学对其任教的满意度．从普查结果来看，总体的分布呈现了满意度“高高低低”的现象．因此，在选取访谈学生的抽样时，既不能只选择两个满意度高的班级，也不能只选择两个满意度低的班级，而是要让样本的分布与总体的分布近似相同，也就是说同学甲和同学丙的抽样更合理一些．【变式8-3】（2024·高一·全国·随堂练习）为了评估某校的教学水平，将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下两种抽样方式（已知该校高三年级共有10个教学班400名学生，并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号，假定每班人数都相同）：方式1：从全年级10个班中任意抽取一个班，考察他们的成绩；方式2：把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别（若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有60名，良好学生有180名，普通学生有160名），从中按比例抽取40名学生进行考察．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法？(2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤．【解析】（1）根据题意可知，方式1采用的是简单随机抽样法，方式2采用的是分层抽样法；（2）方式1抽样的步骤如下：在全年级10个班中用抽签法任意抽取一个班级，考察他们的成绩；方式2抽样的步骤如下：第一步：分层把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别；第二步：确定各个层抽取的人数由于样本容量与总体个数比值为，所以每层抽取的个体数依次为人，人，人；第三步：按层分别抽取样本人数在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人，在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人，在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人，【变式8-4】（2024·高一·全国·课时练习）某企业共有1600名职工，其中，老年、中年、青年职工的比例为，现用分层随机抽样的方法从所有的职工中抽取一个样本容量为200的样本，那么从中年职工中抽取多少人？【解析】根据分层随机抽样的方法，即按照一定比例抽取，样本容量为200，根据题意从中年职工中抽取的人数为人.【方法技巧与总结】（分层抽样注意事项）（1）分层抽样实质是利用已知信息尽量使样本结构与总体结构相似．在实际操作时，并不排斥与其他抽样方法联合使用．（2）在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比．一、单选题1．（2024·高一·江苏·专题练习）为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（）A．总体 B．个体C．总体的一个样本 D．样本容量【答案】C【解析】100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本.故选：C2．（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（

）A．375支 B．350支 C．125支 D．500支【答案】A【解析】依题意，自来水式钢笔应抽取的数量为.故选：A3．（2024·高一·甘肃金昌·阶段练习）在北京冬奥会期间，共有超过1.8万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务.据统计某高校共有本科生1000人，硕士生200人，博士生20人申请报名做志愿者，现用分层随机抽样方法从中抽取一批志愿者，若抽取的博士生是4人，则从该高校抽取的志愿者总人数为（

）A．224人 B．244人 C．264人 D．294人【答案】B【解析】根据题意知分层抽样比例为，所以该高校抽取的志愿者总人数为（人）.故选：B.4．（2024·高一·全国·专题练习）高一某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取6位同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为（

）41792

71635

86089

32157

95620

92109

2914574955

82835

98378

83513

47870

20799

32122A．29 B．21 C．14 D．09【答案】A【解析】从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为27，16，35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），95（舍去），62（舍去），09，21（舍去），09（舍去），29.故最终取得的第6个数字为29.故选：A5．（2024·高一·全国·开学考试）调查显示，某地区一天共享电动车的使用者中，年龄在岁之间、岁之间、50岁以上的人数分别为280，180，40.现采用分层随机抽样的方法从中抽取名使用者参与调查，其中年龄在岁之间的人数为9，则（

）A．25 B．24 C．22 D．20【答案】A【解析】由题意得，，解得.故选：A.6．（2024·高一·全国·开学考试）某公司利用随机数表对生产的300支新冠疫苗第一针进行抽样测试，先将疫苗按000，001，，299进行编号，从中抽取15个样本，选定从第3行第4列的数开始向右读取3个数字（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），则选出来的第4个个体的编号为（

）167662276656502671073290797853135538585988975414101256859926969668273105037293155712101421882649817655595635643854824622316243099006184432532383013030A．135 B．141 C．101 D．290【答案】A【解析】从表中第3行第4列开始向右读取分别为662（舍），276，656（舍），502（舍），671（舍），073，290，797（舍），853（舍），135.故选：A.7．（2024·高一·江西·阶段练习）2023年度江西省大学生电子商务创新创业挑战赛启动以来，该比赛受到了全省各高校和广大师生的高度重视并得到积极响应，真实场景的竞赛内容与形式极大地激发了大学生的创新创业热情．已知参加该比赛的高校共63所，其中本科院校有30所，高职院校有33所．若采用分层随机抽样的方法从所有本次参赛的院校中，随机抽取21所高校的比赛风采照片进行展示，则被抽取到的本科院校有（

）A．9所 B．10所 C．11所 D．12所【答案】B【解析】由题意可知，被抽取到的本科院校有所.故选：B8．（2024·高一·湖南·期中）已知两个问题：（1）某学校为了了解2017年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科200名考生，理科800名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会．三种方法：Ⅰ简单随机抽样法．Ⅱ系统抽样法．Ⅲ分层抽样法．则问题（1）、（2）与方法Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ配对合理的是A．（1）Ⅲ，（2）Ⅰ B．（1）Ⅰ，（2）ⅡC．（1）Ⅱ，（2）Ⅰ D．（1）Ⅲ，（2）Ⅱ【答案】A【解析】（1）中由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别，故（1）适合采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而且样本容量不大，故（2）适合采用简单随机抽样．（1）中由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别，故（1）适合采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而且样本容量不大，故（2）适合采用简单随机抽样．故问题和方法配对合理的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选A．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（

）A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%C．派遣的老年教师有144人D．派遣的青年女教师有15人【答案】ABD【解析】因为，所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%，则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的，则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B正确；派遣的老年教师人数为，故C错误；派遣的青年女教师的人数为，故D正确．故选：ABD．10．（2024·高一·全国·课时练习）某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2400人、中部地区的学生有1600人、西部地区的学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（）A．用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人B．用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合C．西部地区学生小刘被选中的可能性为D．中部地区学生小张被选中的可能性为【答案】AC【解析】由题设可得东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为，故抽取100人时东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为：即，故A正确.用简单随机抽样的方法从新生中选出人数为均合适，故B错误.由分层抽样的性质可得无论哪一个地区的学生，被抽取到的概率为，故C正确，D错误.故选：AC.11．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（

）A．估计被调查者中约有人吸烟B．估计约有人对问题的回答为“是”C．估计该地区约有的中学生吸烟D．估计该地区约有的中学生吸烟【答案】BC【解析】根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为，其编号为奇数的概率也是，计算可得出随机抽出的名学生中回答第一个问题且为“是”的学生人数，由此可求出回答第二个问题且为“是”的学生人数，由此可估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进而可估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项即可得出结论.随机抽出的名学生中，回答第一个