15.3 互斥事件和独立事件（七大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页15．3互斥事件和独立事件课程标准学习目标（1）掌握互斥事件的概率加法计算公式．（2）能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．（1）理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系.（2）在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.知识点01互斥事件1、互斥事件不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2、互斥事件的加法公式如果事件A，B互斥，那么事件发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即3、对立事件如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为，对立事件概率公式．【即学即练1】（2024·高一·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（

）A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件【答案】D【解析】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有，所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误；对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误；对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确；故选：D．知识点02独立事件1、相互独立事件的概念（1）概念：一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．（2）结论：A，B相互独立．2、相互独立事件的性质如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立．【即学即练2】（2024·高一·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为．【答案】/【解析】系统能正常工作，则至少有个能正常工作且能正常公式，所以系统能正常工作的概率为.故答案为：题型一：互斥事件和对立事件的判定【典例1-1】（2024·高一·辽宁辽阳·期末）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（

）A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥【答案】D【解析】ABC选项，因为事件A与事件，事件与事件，事件与事件都可以同时发生，所以A，B，C错误.D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥.故选：D【典例1-2】（2024·高二·四川德阳·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件（

）A．既互斥又对立 B．互斥但不对立 C．对立但不互斥 D．既不互斥也不对立【答案】B【解析】由题意知事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件不会同时发生，故二者互斥，当M不发生时，N也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为2或4，故二者不对立，故选：B【变式1-1】（2024·高一·甘肃天水·期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球【答案】C【解析】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误；B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是红球的基本事件为AB，两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，两个事件不是互斥事件，故D错误.故选：C.【变式1-2】（2024·高三·广东·学业考试）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【解析】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故选：B．【变式1-3】（2024·高一·安徽蚌埠·期末）从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（

）A．任意两个事件均互斥B．任意两个事件均不互斥C．事件与事件对立D．事件与事件对立【答案】C【解析】从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，则可能情况有：件产品都是次品，件产品是次品，件产品是次品，件产品是次品；记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则事件、事件可能同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；事件与事件不可能同时发生，故事件与事件互斥，但是事件与事件可以都不发生，如出现件产品是次品或件产品是次品时，故事件与事件不对立，故B、D错误；事件“件产品不都是次品”，包含“件产品是次品”，“件产品是次品”，“件产品是次品”；故事件与事件对立，故C正确；故选：C【方法技巧与总结】（1）要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．（2）考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．题型二：互斥、对立事件的概率公式【典例2-1】（2024·高二·河南信阳·阶段练习）如果事件A与事件B互斥，，那么.【答案】/【解析】因为事件A与事件B互斥，，所以.故答案为：.【典例2-2】（2024·高二·新疆吐鲁番·期末）若事件A和B是互斥事件，且，则的取值范围是．【答案】【解析】事件A和B是互斥事件，故而且事件概率非负，故，故答案为：【变式2-1】（2024·高三·上海浦东新·期末）已知事件与事件互斥，且，，则．【答案】/【解析】因为随机事件与互斥，且，，所以.故答案：.【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·期中）已知事件与事件互斥，若，，那么.【答案】0.8【解析】.故答案为：0.8.【变式2-3】（2024·高二·山东淄博·期中）已知，，，则．【答案】0.6/【解析】,故答案为:.【变式2-4】（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知事件与事件互斥，如果，，那么.【答案】/【解析】事件与事件互斥，则，，故.故答案为：.【变式2-5】（2024·陕西汉中·高一统考期末）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，甲不输的情况有：和棋或获胜两种，故其不输的概率为：.故选：A.【变式2-6】（2024·全国·高一专题练习）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于互斥，且发生的概率均不为，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D【变式2-7】（2024·高一课时练习）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（

）A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98【答案】B【解析】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与是对立事件，所以．故选：B.【方法技巧与总结】只有当A，B互斥时，公式才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式才成立．题型三：概率公式的综合应用【典例3-1】（2024·高三·全国·专题练习）经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.150.30.30.10.05(1)2人或3人排队等候的概率是多少？(2)至多2人排队等候的概率是多少？【解析】（1）记“有0人排队等候”为事件A,“有1人排队等候”为事件B,“有2人排队等候”为事件C,“有3人排队等候”为事件D,“有4人排队等候”为事件E,“有5人及5人以上排队等候”为事件F,则易知事件A,B,C,D,E,F互斥.记“2人或3人排队等候”为事件G,则,所以.（2）记“至多2人排队等候”为事件H,则,所以.【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙3支队伍分到，，三个小组．(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．【解析】（1）当甲球队分到A组时，乙、丙两支球队分到的小组有，，，，，，，，共9种情况．同理，当甲球队分到B组或C组时，乙、丙两支球队分到的小组也分别有9种情况，故甲、乙、丙三支球队的分组情况共有（种）．又因为甲、乙、丙三支球队分到同一小组有，，和共3种情况，所以甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率为．（2）方法一

当甲、乙两支球队都分到A组而丙球队分到B组或C组时有2种情况．同理，当甲、乙两支球队都分到B组或C组而丙球队不与它们一组时也分别有2种情况．故甲、乙两支球队同组，而丙球队不与它们一组的概率为．同理，甲、丙两支球队同组，而乙球队不与它们一组的概率也为，乙、丙两支球队同组，而甲球队不与它们一组的概率也为．又因为上述三种情况互斥，所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为．方法二

甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的对立事件是甲、乙、丙三支球队都分到不同小组和甲、乙、丙三支球队都分到同一小组．甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的情况有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种，所以甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的概率为．所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为．【变式3-1】（2024·高二·贵州毕节·期中）为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【解析】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，由互斥事件的加法公式得.（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，由互斥事件概率的加法公式得.（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得.【变式3-2】（2024·高二·湖北恩施·期中）一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.(1)求第二次取到绿球的概率；(2)如果是个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为，那么是多少?【解析】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有种,即，设事件“两次取出的都是红球”,则，设事件“第一次取出红球,第二次取出绿球”，则，设事件“第一次取出绿球,第二次取出红球”，则，设事件“两次取出的都是绿球”，则，且事件两两互斥.第二次取到绿球的概率为.（2）由题意，则，又，或，，即.【方法技巧与总结】复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式求解．题型四：事件独立性的判断【典例4-1】（2024·高一·广西·开学考试）已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（

）A．与相互独立 B．与是对立事件C．与是对立事件 D．与相互独立【答案】D【解析】由题意可得基本事件总数为，设，由题意可得与可以同时发生，故不是对立事件，易知与不同时发生，为互斥事件，但不是对立事件，比如还可以有发生，则错误.，则，从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确.故选：D【典例4-2】（2024·高一·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"，"第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（

）A． B．R与G互斥但不对立C． D．S与T相互独立【答案】D【解析】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件，所以，故A正确；对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生，所以R与G互斥但不对立，故B正确；对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，所以，故C正确；对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有：，共12种结果，事件S包含这6种结果，，事件T包含这6种结果，，事件ST包含这2种结果，，，所以S与T不是相互独立事件，故D错误.故选：D.【变式4-1】（多选题）（2024·高二·浙江金华·阶段练习）有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（

）A．（丙） B．（丁） C．乙与丙相互独立 D．甲与丁相互独立【答案】AD【解析】依题意基本事件总数为个，“第一次取出的球的数字是”的基本事件有个，“第二次取出的球的数字是”的基本事件有个，“两次取出的球的数字之和为”的基本事件有共个，“两次取出的球的数字之和为”的基本事件有共个，所以（丙），（丁）；（甲）（乙），故A正确，B错误；又同时满足事件甲、丁的基本事件有共个，同时满足事件乙、丙的基本事件有共个，所以（乙丙）（乙）（丙），所以乙与丙不相互独立，故C错误；所以（甲丁）（甲）（丁），所以甲与丁相互独立，故D正确；故选：AD.【变式4-2】（多选题）（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩．通过判断或计算可知，下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥且对立 B．事件与事件互斥且对立C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立【答案】AD【解析】有三个小孩的家庭的样本空间：={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}，事件={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)}事件={(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}，事件={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)}，对于A，,且，则事件B与事件C互斥且对立，A正确；对于B，{(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男)}，则事件与事件不互斥，B错误；对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然，即事件与事件不相互独立，C错误；对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然，即事件与事件相互独立，D正确.故选：AD【变式4-3】（多选题）（2024·高一·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（

）．A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥【答案】ABC【解析】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生，由互斥事件定义，与不互斥，A正确；B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种，，，，，所以与不相互独立，B正确；C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情况，，，，，所以与相互独立，C正确；D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生，由互斥事件定义，与不互斥，D错误.故选：ABC【变式4-4】（多选题）（2024·高二·山东潍坊·期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（

）A．A与D相互独立. B．A与B相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立【答案】BCD【解析】不放回依次取出两个，基本事件有，共种，事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.事件，事件“”，事件“”，事件“”，则，，，，，，，所以，所以A与D不相互独立；，所以A与B相互独立；，所以B与D相互独立；，所以A与C相互独立；故选：BCD【方法技巧与总结】两个事件是否相互独立的判断（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件．题型五：相互独立事件概率的计算【典例5-1】（2024·高一·辽宁葫芦岛·开学考试）已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为.【答案】0.45/【解析】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则没有人命中的概率为，恰有一人命中的概率为，所以至多有一人命中的概率为.故答案为：0.45【典例5-2】（2024·高三·广东·开学考试）甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为，本次比赛甲获胜的概率为.【答案】//【解析】到第3局才分出胜负，则前两局甲､乙各赢一局，其概率为.若甲获胜，分2种情况：①甲连赢2局，其概率为，②前两局甲､乙各赢一局，第三局甲赢，其概率为.故甲获胜的概率为.故答案为：，【变式5-1】（2024·高一·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为．【答案】/【解析】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛.则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为；②再进行三场比赛甲队获胜的概率为；③再进行四场比赛甲队获胜的概率为，由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为．故答案为.【变式5-2】（2024·高一·北京延庆·期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为：该同学至少两次投中的概率为.【答案】【解析】因为甲同学每次投中的概率都是，连续投3次，则投不中的概率为，所以甲同学恰好只有第3次投中的概率为，至少两次投中的概率为.故答案为：；.【变式5-3】（2024·高一·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为.【答案】【解析】由题意可得，甲、乙的比分为后，甲、乙又进行了4场比赛，每场比赛结果相互独立，前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜.则甲以赢得比赛的概率为.故答案为：【变式5-4】（2024·高一·安徽亳州·期末）“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为．【答案】【解析】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得，，设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是．故答案为：【方法技巧与总结】（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．题型六：相互独立事件概率的综合应用【典例6-1】（2024·高二·广东·阶段练习）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．【解析】（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则．该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，各轮问题能否回答正确互不影响，所以所求概率是.（2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，所以所求概率为．【典例6-2】（2024·高二·辽宁·学业考试）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求：(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．【解析】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则事件，，相互独立，且，，.因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰，所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为.（2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥.所以该选手至多进入第二轮考核的概率为.【变式6-1】（2024·高一·全国·随堂练习）在某项1500m体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，求：(1)两人都通过体能测试的概率；(2)恰有一人通过体能测试的概率；(3)至少有一人通过体能测试的概率．【解析】（1）根据题意，记甲通过体能测试为事件，乙通过体能测试为事件，可得事件与事件相互独立.则两人都通过体能测试的概率.（2）由事件与事件相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为.（3）由事件与事件相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为.【变式6-2】（2024·高一·内蒙古通辽·阶段练习）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．(1)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；(2)求甲、乙、丙都不通过测试的概率；(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．【解析】（1）设事件“甲通过测试”，事件“乙通过测试”，事件“丙通过测试”,人之间的测试互不影响,相互独立,；（2）；（3）设事件“甲、乙、丙至少有一人通过”，则“甲、乙、丙三人都没通过”，【变式6-3】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）甲、乙、丙三名学生一起参加某高校的强基计划考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.7，0.5，0.6，能通过面试的概率分别是0.7，0.6，0.5.(1)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率（精确到0.01）.【解析】（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“至少有两人通过笔试”，则

=，即至少有两人通过笔试的概率是0.65；（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，则.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，，于是，即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.75【变式6-4】（2024·高一·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立.(1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.【解析】（1）A组在参加两场比赛后得分为3分的概率为（2）四组总积分一样，可以每次都是平局，也可以每组学生是一胜一负一平.如:A胜B负，A负C胜，AD平BC平，B胜D负，C负D胜不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的，所以只要去看可能出现的情况，A胜B负，A负C胜，AD平，A负B胜，A胜C负，AD平A胜B负，A负D胜，AC平，A负B胜，A胜D负，AC平A胜C负，A负D胜，

AB平，A负C胜，A胜D负，AB平共6+1=7种【变式6-5】（2024·全国·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.【解析】（1）甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，∴所求概率为.（2）由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑，，这三种回答顺序，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，按顺序回答，取得复赛资格的概率为，∵，∴按或顺序回答问题取得复资资格的概率最大.【变式6-6】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4，各场比赛相互独立，且无平局．记事件A为甲队和乙队比赛甲队输，事件B为甲队和乙队比赛乙队输，事件C为甲队和丙队比赛甲队输，事件D为乙队和丙队比赛乙队输，事件E为甲队和丙队比赛丙队输，事件F为乙队和丙队比赛丙队输．(1)求“乙队连胜四场”的概率；(2)写出用A，B，C，D，E，F表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．【解析】（1）依题意，，“乙队连胜四场”的事件为，．（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件，“乙队连胜四场”为事件；“丙队上场后连胜三场”为事件和事件，“比赛四场结束”的概率为．（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，需要进行第五场比赛的概率为【变式6-7】（2024·高一·河南焦作·期末）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一次.甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，假设甲、乙的射击相互独立.(1)求在一轮比赛中，两人均击中目标的概率；(2)求在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率；(3)若一人连续两轮未击中目标，对方这两轮均击中目标，则比赛结束，求比赛进行了四轮就结束，且乙比甲多击中目标1次的概率.【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式，可得两人均击中目标的概率为.（2）甲击中2次，乙击中1次的概率为，甲击中1次，乙击中2次的概率为，故在两轮比赛中，两人一共击中目标3次的概率为.（3）由题意知，第三轮和第四轮甲均未击中目标，乙均击中目标，若乙击中3次，甲击中2次，则前两轮乙击中1次，甲击中2次，概率为，若乙击中2次，甲击中1次，则前两轮甲击中1次，乙均未击中，概率为，故所求概率为.【变式6-8】（2024·高二·四川成都·期末）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.(1)求部件正常工作的概率；(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？【解析】（1）记事件分别表示元件正常工作，则，事件表示正常工作，由元件工作是相互独立的.则.（2）设方案一、二、三正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为元件，记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则.事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，则.所以；同理得：；.又因为，，所以选择方案三可以使部件正常工作的概率最大.【方法技巧与总结】求较复杂事件的概率的一般步骤如下（1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．（2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式．（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．题型七：方程思想在相互独立事件概率中的应用【典例7-1】（2024·高一·安徽·期末）与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响.(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率；(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值.【解析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则，，，，“甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立，则，所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为.（2）设“丙答对”，则，设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知，，解得，所以的值为.【典例7-2】（2024·高二·湖北荆州·期末）在第19届杭州亚运会上中国女篮以74:72战胜日本队，成功卫冕．甲、乙两名亚运选手赛前进行三分球投篮训练，甲每次投中三分的概率为0.8，乙每次投中三分的概率为p，在每次投篮中，甲和乙互不影响．已知两人各投篮一次至少有一人命中三分球的概率为0.94．(1)求p；(2)甲、乙两人各投篮两次，求两人共投中三分球3次的概率．【解析】（1），解得．（2）设分别表示事件甲投篮两次投中三分球一次、两次，设分别表示事件乙投篮两次投中三分球一次、两次．则，，，．设“甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次”，则．故甲、乙两人各投篮两次，两人共投中三分球3次的概率为0.4256．【变式7-1】（2024·高一·陕西渭南·期末）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚.学生多角度､多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为.(1)求的值；(2)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率.（结果用分数表示）【解析】（1）由题意知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，由小红使用四种解法全部答对的概率为，得，；（2）设小红小红使用解法一､二､三､四答对的事件为,有三种解法答对的事件为E，则,故.【变式7-2】（2024·高一单元测试）设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p,A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同,则事件A发生的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b，则有由②知，代入①得.故选：C.【变式7-3】（2024·高一课时练习）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则_______.【答案】【解析】由题意得，解得.故答案为：【变式7-4】（2024·高一课时练习）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【解析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有即解得，，．即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，；（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则．故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．【变式7-5】（2024·高一·山东潍坊·期末）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是.(1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率.【解析】（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立，由题意得，，所以，解得.（2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，则，所以.【变式7-6】（2024·江苏苏州·高一校联考期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.【解析】(1)由题意得：，，即，解得：或(2)设A、B、C只有一个发生的概率为P，当时，则；当时，同理可得：，综上：A、B、C只有一个发生的概率为【方法技巧与总结】对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养．一、单选题1．（2024·高一·全国·期末）袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（

）A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立【答案】B【解析】有放回摸出两张卡片的样本空间：，共25个结果，事件，共10个结果，，事件，共5个结果，，事件，共3个结果，，事件，共5个结果，，对于A，，，，事件M与Q不相互独立，A错误；对于B，，，，事件N与R相互独立，B正确；对于C，，，，事件N与Q不相互独立，C错误；，，，事件Q与R不相互独立，D错误.故选：B2．（2024·高一·辽宁抚顺·阶段练习）一个箱子中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因是随机取球，每个球被取到的可能性相同，故这是古典概型.从中随机取出三个球的方法总数为种，而“取出的三个球中至少有一个红球”的对立事件是“取出的三个球中全是白球”，其取法有种，故“取出的三个球中至少有一个红球”的概率为.故选：A.3．（2024·高一·全国·专题练习）已知事件两两互斥，若，，，则（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】两两互斥，，，，.故选：B.4．（2024·高一·全国·课后作业）对于事件，下列命题不正确的是（

）A．如果互斥，那么与也互斥B．如果对立，那么与也对立C．如果独立，那么与也独立D．如果不独立，那么与也不独立【答案】A【解析】对于选项A，如果互斥，与可以同时发生，由互斥事件的定义得与不一定互斥，所以选项A错误；对于选项B，如果对立，由对立事件的定义得与也对立，所以选项B正确；对于选项C，如果独立，由相互独立事件的定义得与也独立，所以选项C正确；对于选项D，如果不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，所以选项D正确；故选：A.5．（2024·高一·全国·课后作业）如果是互斥事件，那么（

）A．事件与必不互斥 B．是必然事件C．A与可能互斥 D．是必然事件【答案】B【解析】对于A：如果事件不仅互斥还对立，则事件与一定互斥，A错误；对于B：如图：，是必然事件，B正确；对于C：如图：A与不可能互斥，C错误；对于D：如图：不一定是必然事件，当互斥不对立时，不是必然事件，D错误；故选：B.6．（2024·高一·全国·专题练习）给出下列命题，其中说法正确的是（）A．若A，B为两个随机事件，则B．若事件A，B，C两两互斥，则C．若A，B为互斥事件，则D．若，则【答案】C【解析】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有，当A，B不互斥时，，A选项错误；对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误；对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确；对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误；故选：C.7．（2024·高一·江苏·阶段练习）端午节是我国传统节日，随着淄博烧烤的示范作用，徐州烧烤也备受游客欢迎，经过随机发放并回收调查问卷，在连云港、宿迁、淮安三个淮海经济圈城市中对广大市民的端午短途游进行了解，每个城市回收300份调查问卷，其中连云港市有100份勾选去徐州旅游，宿迁市有120份勾选去徐州旅游，淮安市有75份勾选去徐州旅游．端午节期间，连云港游客甲，宿迁游客乙，淮安游客丙打算外出旅游，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲来徐州旅游的概率约为，乙来徐州旅游的概率约为，丙来徐州旅游的概率约为，则三人都没有来徐州旅游的概率约为，故三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为.故选：B.8．（2024·高一·江西·开学考试）现有张完全相同的卡片，分别写有字母、、、、，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（

）A．乙与丁相互独立 B．甲与丙相互独立C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立【答案】D【解析】设事件甲、乙、丙、丁分别记为、、、，由题意可得，有放回的抽取卡片两次的基本事件数为，两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为、、、、、、、，共个，两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为个，则，，显然丙与丁为对立事件，C错误；对于A，乙与丁同时发生的基本事件为、、，有个，则，所以乙与丁不相互独立，A错误；对于B，甲与丙同时发生的基本事件、，有个，则，所以甲与丙不相互独立，B错误；对于D，甲与乙同时发生的基本事件为，只有个，则，所以甲与乙相互独立，D正确.故选：D.二、多选题9．（2024·高一·辽宁辽阳·阶段练习）甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛．设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥【答案】ACD【解析】由题意可得，，，.因为，所以与相互独立，故A正确；因为，所以与不相互独立，故B错误；因为，所以与相互独立，故C正确；因为，所以与互斥，故D正确.故选：ACD10．（2024·高一·江苏·专题练习）如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（

）A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为【答案】ACD【解析】依题意，，对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确；对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误；对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确；对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确.故选：ACD11．（2024·高一·全国·开学考试）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（

）A．与为对立事件 B．与不是互斥事件C． D．【答案】ABC【解析】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.与为对立事件，故A正确；{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确；，，故C正确；由上知，故D错误.故选：ABC三、填空题12．（2024·云南·一模）甲､乙两人独立地破译一份密码，若甲能破译的概率是，乙能破译的概率是，则甲､乙两人中至少有一人破译这份密码的概率是.【答案】【解析】两人均没能破译这份密码的概率