第9章 平面向量单元综合能力测试卷-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页第9章平面向量单元综合能力测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设向量，，若向量与共线，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】向量，，则，若向量与共线，有，解得，则，所以.故选：A.2．已知，且满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以在上的投影向量为.故选：D3．已知等边三角形边长为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的数量积的运算，可得.故选：A.4．已知，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，而，则，于是，则，而，所以与的夹角为.故选：A5．在中，是边上一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是边上一点，故可设，则，因为，则，，又，于是，解得，因此.故选：C．6．如图，在中，，，若，则的值为（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】由题意及图可得，∵，∴，∵，∴,．∵，∴，，解得：，，，故选：C．7．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：由题意可知，，且，，由勾股定理可得，因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间，则.故选：B.8．如图，在等腰梯形中，是线段上一点，且，动点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过点作，垂足为，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，则，其中，，当，即同向时，取最大值，所以的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，因为，，，则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.故选：ACD10．已知两个不等的平面向量满足，其中是常数，则下列说法正确的是（

）A．若，则或B．若，则在上的投影向量的坐标是C．当取得最小值时，D．若的夹角为锐角，则的取值范围为【答案】BC【解析】选项A：若，则，解得或，但当时，，与题意不符合，故A错误；选项B：若，则，解得，因此，，则在上的投影向量为，故B正确；选项C：，则当时，取得最小值，此时，，故C正确；选项D：若的夹角为锐角，则与不同向，得，解得且，故D错误．故选：BC11．设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则是边的中点B．若，则在边的延长线上C．若，则是的重心D．若，则的面积是面积的【答案】AC【解析】对于，因为，所以，即，则是边的中点，故正确；对于，由得，所以，则在边的延长线上，故错误；对于，设的中点为，则，故C正确；对于D，由知，，所以，故D错误.故选：AC.12．已知是两个不共线的向量，且，则下列结论正确的是（

）A．的取值范围是 B．C．在方向上的投影向量不可能为 D．与的夹角的最大值为【答案】BD【解析】选项A：由以及不共线可知，，故A错误；选项B：由于不共线，所以，又，因此，故B正确；选项C：当时，在方向上的投影向量为，故C错误；选项D：设与的夹角为，则，由于，所以，，因为，所以，即与的夹角的最大值为，故D正确．故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．则为．【答案】28【解析】因为：，,所以：，，，所以：，所以为锐角，且.所以：.故答案为：2814．设，为两个单位向量，且，若与垂直，则.【答案】/-0.4【解析】由题意知设，为两个单位向量，且，与垂直，故，即，故，解得，故答案为：15．如图所示，中为重心，过点，，，则．

【答案】3【解析】设根据题意，；，，，三点共线，则存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案为：316．在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.【答案】【解析】根据题意，以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，因为正方形的边长为，且是中点，则，则，所以；设，其中，则，则，所以，，则，，其中，，当时，有最小值为.所以的最小值是.故答案为：30；四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知，，与的夹角是.(1)计算；(2)当k为何值时，？【解析】（1），，与的夹角是，则，即有；（2）由可得，即，即，解得.则当k为时，；、综上，（1），（2）.18．（12分）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．【解析】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，则重力对物体做的功，支持力与位移方向垂直，做功为，摩擦力与位移方向相反，对物体做功．19．（12分）判断三点是否共线.(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.【解析】（1），所以，又因为有公共起点，故A，B，D三点共线.（2），所以，又因为有公共起点，故A，B，C三点共线.20．（12分）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.

(1)求、的长；(2)求的余弦值.【解析】（1）因为的中点，则，所以，，所以，，所以，，因为为的中点，所以，，则，故.（2）因为，所以，.21．（12分）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．(1)求的值；(2)求的最小值，并求此时，的值．【解析】（1）如图所示，因为G为重心，所以，所以，因为M，G，N三点共线，所以，即．（2）由题意可知，且，所以当且仅当，即时取等号，又∵，∴，时，取得最小值为．22．（12分）在中，已知，，，设点为边上一点，点为线段